高中數(shù)學 第二章 空間向量與立體幾何 5.3 直線與平面的夾角課件 北師大版選修2-1.ppt

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5.3 直線與平面的夾角,第二章 5 夾角的計算,1.理解直線與平面的夾角的概念. 2.會利用向量的方法求直線與平面的夾角.,,學習目標,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,知識點一 直線與平面的夾角 (1)平面外一條直線與它在該平面內(nèi)的 的夾角叫作該直線與此平面的夾角. (2)如果一條直線與一個平面平行或在平面內(nèi)，我們規(guī)定這條直線與平面的夾角為 . (3)如果一條直線與一個平面垂直，我們規(guī)定這條直線與平面的夾角是 . (4)直線與平面夾角的范圍： . (5)斜線與平面夾角的范圍： .,,答案,0,投影,,返回,知識點二 直線與平面夾角的向量求法 設平面α的斜線l的方向向量為a，平面的法向量為n. (1)當a，n與α，l的關系如圖所示時， 則l與α所成角θ與a，n所成的角互余. 即sin θ＝cos〈a，n〉. (2)當a，n與α，l的關系如圖所示時，,題型探究 重點突破,題型一 求直線與平面的夾角的基本方法 例1 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD的夾角.,,解析答案,反思與感悟,,解 方法一 連接BC1，B1C交于點O，連接A1O， 在正方體ABCD－A1B1C1D1中， ∵B1C⊥BC1，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1＝B1， ∴BC1⊥平面A1B1CD.故A1O為A1B在平面A1B1CD內(nèi)的投影，即∠BA1O為A1B與平面A1B1C的夾角.,解析答案,反思與感悟,∴∠BA1O＝30. A1B與平面A1B1CD的夾角是30.,,反思與感悟,方法二 如圖所示，建立空間直角坐標系， 設正方體的棱長為1，則有A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，,設平面A1B1CD的一個法向量為n＝(x，y，z).,令x＝1，則有y＝0，z＝－1，可取n＝(1,0,－1).,則A1B與平面A1B1CD的夾角是30.,反思與感悟,,求直線與平面的夾角的方法與步驟 思路一：找直線在平面內(nèi)的投影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值). 思路二：用向量法求直線與平面的夾角可利用向量夾角公式或法向量.利用法向量求直線與平面的夾角的基本步驟： (1)建立空間直角坐標系；,(3)求平面的法向量n；,,解析答案,跟蹤訓練1 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點. 求EB與平面ABCD夾角的余弦值.,,解析答案,解 取CD的中點M，則EM∥PD， 又∵PD⊥平面ABCD， ∴EM⊥平面ABCD， ∴BE在平面ABCD上的投影為BM， ∴∠MBE為BE與平面ABCD的夾角，如圖建立空間直角坐標系， 設PD＝DC＝1， 則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，,,解析答案,題型二 空間夾角的綜合應用 例2 四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD；AD＝PD，E、F分別為CD，PB的中點. (1)求證：EF⊥平面PAB；,又AB∩PA＝A，∴EF⊥平面PAB；,,解析答案,反思與感悟,,反思與感悟,設平面AEF的一個法向量為n＝(x，y，z)，,反思與感悟,,本題有兩問是一個綜合題，題目以四棱錐為背景構(gòu)造垂直的證明和線面角的求解，求解過程充分體現(xiàn)了向量的工具性作用.,,解析答案,跟蹤訓練2 在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中點. (1)求證：CM⊥EM； 證明 如圖，以點C為坐標原點，以CA，CB所在直線分別為x軸和y軸，過點C作與平面ABC垂直的直線為z軸，建立如圖空間直角坐標系， 設EA＝a，則A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，E(2a,0,a)，D(0,2a,2a)，M(a，a,0).,,解析答案,返回,(2)求CM與平面CDE的夾角. 解 設向量n＝(1，y0，z0)與平面CDE垂直，,所以y0＝2，z0＝－2，即n＝(1,2，－2)，,因此直線CM與平面CDE的夾角是45.,,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是棱CC1，BC，A1B1上的點，若∠B1MN＝90，則∠PMN的大小是( ) A.等于90 B.小于90 C.大于90 D.不確定 解析 A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，,A,解析答案,∴MP⊥MN，即∠PMN＝90. 也可由三垂線定理直接得MP⊥MN.,1,2,3,4,5,,解析答案,2.正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD夾角的正弦值為( ),1,2,3,4,5,解析 建系如圖，設正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，,答案 C,1,2,3,4,5,,解析答案,A.60 B.90 C.105 D.75 解析 建立如圖所示的空間直角坐標系，設BB1＝1，則A(0,0,1)，,B,即AB1與C1B所成角的大小為90.,,解析答案,4. 如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成的角的正弦值為( ),解析 以D點為坐標原點，以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(圖略)，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，,D,1,2,3,4,5,,解析答案,解 由于AC＝BC＝2，D是AB的中點，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).,1,2,3,4,5,,課堂小結(jié),利用空間向量求角的基本思路是把空間角轉(zhuǎn)化為求兩個向量之間的關系.首先要找出并利用空間直角坐標系或基向量(有明顯的線面垂直關系時盡量建系)表示出向量；其次理清要求角和兩個向量夾角之間的關系.,,返回,