2019-2020年高三第三次模擬考試 數(shù)學(xué).doc
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2019-2020年高三第三次模擬考試 數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng): 1.本試卷共4頁,包括填空題(第1題~第14題)、解答題(第15題~第20題)兩部分.本試卷滿分為160分,考試時間為120分鐘. 2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校寫在答題卡上.試題的答案寫在答題卡上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi).考試結(jié)束后,交回答題卡. 參考公式: 方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],其中為x1,x2,…,xn的平均數(shù). 柱體的體積公式:V=Sh,其中S為柱體的底面積,h為柱體的高. 錐體的體積公式:V=Sh,其中S為錐體的底面積,h為錐體的高. 一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上. 1.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,4},B={3,4},則?(A∪B)= ▲ . (第4題圖) Read x If x≥0 Then y←2 Else y← 2-x2 End If Print y 2.甲盒子中有編號分別為1,2的2個乒乓球,乙盒子中有編號分別為3,4,5,6的4個乒乓球.現(xiàn)分別從兩個盒子中隨機(jī)地各取出1個乒乓球,則取出的乒乓球的編號之和大于6的概率為 ▲ . 3.若復(fù)數(shù)z滿足z+2=3+2i,其中i為虛數(shù)單位,為 復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z的模為 ▲ . 4.執(zhí)行如圖所示的偽代碼,若輸出y的值為1, 則輸入x的值為 ▲ . 7 7 9 0 8 9 4 8 1 0 3 5 甲 乙 (第5題圖) 5.如圖是甲、乙兩名籃球運(yùn)動員在五場比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖,則在這五場比賽中得分較為穩(wěn)定(方差較小)的那名運(yùn)動員的得分的方差為 ▲ . 6.在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=sin(x+) (x∈[0,2π])的圖象和直線y= 的交點(diǎn)的個數(shù)是 ▲ . 7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1的焦距為6,則所有滿足條件的實(shí)數(shù)m構(gòu)成的集合是 ▲ . 8.已知函數(shù)f(x)是定義在R上且周期為4的偶函數(shù).當(dāng)x∈[2,4]時,f(x)=|log4(x-)|, 則f()的值為 ▲ . 9.若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a3-a1=2,則a5的最小值為 ▲ . A C B A1 B1 C1 D (第10題圖) 10.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90,點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動點(diǎn).當(dāng)AD+DC1最小時, 三棱錐D-ABC1的體積為 ▲ . 11.若函數(shù)f(x)=ex(-x2+2x+a)在區(qū)間[a,a+1]上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的最大值為 ▲ . 12.在凸四邊形ABCD中, BD=2,且=0,(+)?(+)=5,則四邊形ABCD的面積為 ▲ . 13. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O:x2+y2=1,圓M:(x+a+3)2+(y-2a)2=1(a為實(shí)數(shù)).若圓O與圓M上分別存在點(diǎn)P,Q,使得∠OQP=30,則a的取值范圍為 ▲ . 14.已知a,b,c為正實(shí)數(shù),且a+2b≤8c,+≤,則的取值范圍為 ▲ . 二、解答題:本大題共6小題,共計(jì)90分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15.(本小題滿分14分) A B C F E D (第15題圖) 如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F(xiàn)分別為棱BC,CD上的點(diǎn),且BD∥平面AEF. (1)求證:EF∥平面ABD; (2)若BD⊥CD,AE⊥平面BCD,求證:平面AEF⊥平面ACD. 16.(本小題滿分14分) 已知向量a=(2cosα,sin2α),b=(2sinα,t),α∈(0,). (1)若a-b=(,0),求t的值; (2)若t=1,且a ? b=1,求tan(2α+)的值. 17.(本小題滿分14分) 在一水域上建一個演藝廣場.演藝廣場由看臺Ⅰ,看臺Ⅱ,三角形水域ABC,及矩形表演臺BCDE四個部分構(gòu)成(如圖).看臺Ⅰ,看臺Ⅱ是分別以AB,AC為直徑的兩個半圓形區(qū)域,且看臺Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍;矩形表演臺BCDE中,CD=10米;三角形水域ABC的面積為400平方米.設(shè)∠BAC=θ. (1)求BC的長(用含θ的式子表示); (2)若表演臺每平方米的造價為0.3萬元,求表演臺的最低造價. C B A 水域 看臺Ⅰ 表演臺 看臺 Ⅱ D E (第17題圖) 18.(本小題滿分16分) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓+=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A,B,M為線段AB的中點(diǎn),且=-b2. (1)求橢圓的離心率; x y O C B D M A (第18題圖) (2)已知a=2,四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓,AB∥DC.記直線AD,BC的斜率分別 為k1,k2,求證:k1k2為定值. 19.(本小題滿分16分) 已知常數(shù)p>0,數(shù)列{an}滿足an+1=|p-an|+2 an+p,n∈N. (1)若a1=-1,p=1, ①求a4的值; ②求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. (2)若數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)ar,as,at (r,s,t∈N,r<s<t)依次成等差數(shù)列, 求的取值范圍. 20.(本小題滿分16分) 已知λ∈R,函數(shù)f (x)=ex-ex-λ(xlnx-x+1)的導(dǎo)函數(shù)為g(x). (1)求曲線y=f (x)在x=1處的切線方程; (2)若函數(shù)g (x)存在極值,求λ的取值范圍; (3)若x≥1時,f (x)≥0恒成立,求λ的最大值. 南京市xx高三第三次模擬考試 一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,計(jì)70分.) 1.{2} 2. 3. 4.-1 5.6.8 6.2 7.{} 8. 9.8 10. 11. 12.3 13.[-,0] 14.[27,30] 二、解答題(本大題共6小題,計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明,證明過程或演算步驟) 15.(本小題滿分14分) 證明:(1)因?yàn)锽D∥平面AEF, BD平面BCD,平面AEF∩平面BCD=EF, 所以 BD∥EF. …………………… 3分 因?yàn)锽D平面ABD,EF平面ABD, 所以 EF∥平面ABD. …………………… 6分 (2)因?yàn)锳E⊥平面BCD,CD平面BCD, 所以 AE⊥CD. …………………… 8分 因?yàn)?BD⊥CD,BD∥EF, 所以 CD⊥EF, …………………… 10分 又 AE∩EF=E,AE平面AEF,EF平面AEF, 所以 CD⊥平面AEF. …………………… 12分 又 CD平面ACD, 所以 平面AEF⊥平面ACD. …………………… 14分 16.(本小題滿分14分) 解:(1)因?yàn)橄蛄縜=(2cosα,sin2α),b=(2sinα,t), 且a-b=(,0),所以cosα-sinα=,t=sin2α. …………………… 2分 由cosα-sinα= 得 (cosα-sinα)2=, 即1-2sinαcosα=,從而2sinαcosα=. 所以(cosα+sinα)2=1+2sinαcosα=. 因?yàn)棣痢?0,),所以cosα+sinα=. …………………… 5分 所以sinα==, 從而t=sin2α=. …………………… 7分 (2)因?yàn)閠=1,且a ? b=1, 所以4sinαcosα+sin2α=1,即4sinαcosα=cos2α. 因?yàn)棣痢?0,),所以cosα≠0,從而tanα=. …………………… 9分 所以tan2α==. …………………… 11分 從而tan(2α+)===. …………………… 14分 17.(本小題滿分14分) 解:(1)因?yàn)榭磁_Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍,所以AB=AC. 在△ABC中,S△ABC=AB?AC?sinθ=400, 所以AC2= . …………………… 3分 由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB?AC?cosθ, =4AC2-2AC2 cosθ. =(4-2cosθ) , 即BC= =40. 所以 BC=40 ,θ∈(0,π). …………………… 7分 (2)設(shè)表演臺的總造價為W萬元. 因?yàn)镃D=10m,表演臺每平方米的造價為0.3萬元, 所以W=3BC=120 ,θ∈(0,π). …………………… 9分 記f(θ)=,θ∈(0,π). 則f ′(θ)=. …………………… 11分 由f ′(θ)=0,解得θ=. 當(dāng)θ∈(0,)時,f ′(θ)<0;當(dāng)θ∈(,π)時,f ′(θ)>0. 故f(θ)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,π)上單調(diào)遞增, 從而當(dāng)θ= 時,f(θ)取得最小值,最小值為f()=1. 所以Wmin=120(萬元). 答:表演臺的最低造價為120萬元. …………………… 14分 18.(本小題滿分16分) 解:(1)A(a,0),B(0,b),由M為線段AB的中點(diǎn)得M(,). 所以=(,),=(-a,b). 因?yàn)椋剑璪2,所以(,)(-a,b)=-+=-b2, 整理得a2=4b2,即a=2b. …………………… 3分 因?yàn)閍2=b2+c2,所以3a2=4c2,即a=2c. 所以橢圓的離心率e==. …………………… 5分 (2)方法一:由a=2得b=1,故橢圓方程為+y2=1. 從而A(2,0),B(0,1),直線AB的斜率為-. …………………… 7分 因?yàn)锳B∥DC,故可設(shè)DC的方程為y=-x+m.設(shè)D(x1,y1),C(x2,y2). 聯(lián)立消去y,得x2-2mx+2m2-2=0, 所以x1+x2=2m,從而x1=2m-x2. ……………………… 9分 直線AD的斜率k1==,直線BC的斜率k2==, ……………………… 11分 所以k1k2= = = = ==, 即k1k2為定值. ………………………16分 方法二:由a=2得b=1,故橢圓方程為+y2=1. 從而A(2,0),B(0,1),直線AB的斜率為-. …………………… 7分 設(shè)C(x0,y0),則+y02=1. 因?yàn)锳B∥CD,故CD的方程為y=-(x-x0)+y0. 聯(lián)立消去y,得x2-(x0+2y0)x+2x0y0=0, 解得x=x0(舍去)或x=2y0. 所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2y0,x0). ……………………… 13分 所以k1k2==,即k1k2為定值. ……………………… 16分 19.(本小題滿分16分) 解:(1)因?yàn)閜=1,所以an+1=|1-an|+2 an+1. ① 因?yàn)?a1=-1,所以 a2=|1-a1|+2 a1+1=1, a3=|1-a2|+2 a2+1=3, a4=|1-a3|+2 a3+1=9. …………………………… 3分 ② 因?yàn)閍2=1,an+1=|1-an|+2 an+1, 所以當(dāng)n≥2時,an≥1, 從而an+1=|1-an|+2 an+1=an-1+2 an+1=3an, 于是有 an=3n-2(n≥2) . …………………………… 5分 當(dāng)n=1時,S1=-1; 當(dāng)n≥2時,Sn=-1+a2+a3+…+an=-1+= . 所以 Sn= 即Sn=,n∈N. ………………………… 8分 (2)因?yàn)閍n+1-an=|p-an|+an+p≥p-an+an+p=2 p>0, 所以an+1>an,即{an}單調(diào)遞增. ………………………… 10分 (i)當(dāng)≥1時,有a1≥p,于是an≥a1≥p, 所以an+1=|p-an|+2 an+p=an-p+2 an+p=3an,所以an=3n-1a1. 若{an}中存在三項(xiàng)ar,as,at (r,s,t∈N,r<s<t)依次成等差數(shù)列,則有2 as=ar+at, 即23s-1=3r-1+3t-1. () 因?yàn)閟≤t-1,所以23s-1=3s<3t-1<3r-1+3t-1, 即()不成立. 故此時數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)依次成等差數(shù)列. ……………………… 12分 (ii)當(dāng)-1< <1時,有-p<a1<p. 此時a2=|p-a1|+2 a1+p=p-a1+2 a1+p=a1+2 p>p, 于是當(dāng)n≥2時,an≥a2>p, 從而an+1=|p-an|+2 an+p=an-p+2 an+p=3an. 所以an=3n-2a2=3n-2(a1+2p) (n≥2). 若{an}中存在三項(xiàng)ar,as,at (r,s,t∈N,r<s<t)依次成等差數(shù)列, 同(i)可知,r=1, 于是有23s-2(a1+2 p)=a1+3t-2(a1+2p). 因?yàn)?≤s≤t-1, 所以=23s-2-3t-2=3s-3t-1<0. 因?yàn)?3s-2-3t-2是整數(shù),所以≤-1, 于是a1≤-a1-2p,即a1≤-p,與-p<a1<p相矛盾. 故此時數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)依次成等差數(shù)列. ………………… 14分 (iii)當(dāng)≤-1時,則有a1≤-p<p,a1+p≤0, 于是a2=| p-a1|+2a1+p=p-a1+2 a1+p=a1+2p, a3=|p-a2|+2a2+p=|p+a1|+2a1+5p=-p-a1+2a1+5p=a1+4p, 此時有a1,a2,a3成等差數(shù)列. 綜上可知:≤-1. ……………………………… 16分 20.(本小題滿分16分) 解:(1)因?yàn)閒′(x)=ex-e-λlnx, 所以曲線y=f (x)在x=1處的切線的斜率為f′(1)=0, 又切點(diǎn)為(1,f (1)),即(1,0), 所以切線方程為y=0. ………………………… 2分 (2)g (x)=ex-e-λlnx,g′(x)=ex-. 當(dāng)λ≤0時,g′(x)>0恒成立,從而g (x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增, 故此時g (x)無極值. ………………………… 4分 當(dāng)λ>0時,設(shè)h(x)=ex-,則h′(x)=ex+>0恒成立, 所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. ………………………… 6分 ①當(dāng)0<λ<e時, h(1)=e-λ>0,h()=e-e<0,且h(x)是(0,+∞)上的連續(xù)函數(shù), 因此存在唯一的x0∈(,1),使得h(x0)=0. ②當(dāng)λ≥e時, h(1)=e-λ≤0,h(λ)=eλ-1>0,且h(x)是(0,+∞)上的連續(xù)函數(shù), 因此存在唯一的x0∈[1,λ),使得h(x0)=0. 故當(dāng)λ>0時,存在唯一的x0>0,使得h(x0)=0. …………………… 8分 且當(dāng)0<x<x0時,h(x)<0,即g′(x)<0,當(dāng)x>x0時,h(x)>0,即g′(x)>0, 所以g (x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增, 因此g (x)在x=x0處有極小值. 所以當(dāng)函數(shù)g (x)存在極值時,λ的取值范圍是(0,+∞). …………………… 10分 (3)g (x)=f′(x)=ex-e-λlnx,g′(x)=ex-. 若g′(x)≥0恒成立,則有λ≤xex恒成立. 設(shè)φ(x)=xex(x≥1),則φ′(x)=(x+1) ex>0恒成立, 所以φ(x)單調(diào)遞增,從而φ(x)≥φ(1)=e,即λ≤e. 于是當(dāng)λ≤e時,g (x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增, 此時g (x)≥g (1)=0,即f′(x)≥0,從而f (x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增. 所以f (x)≥f (1)=0恒成立. …………………………… 13分 當(dāng)λ>e時,由(2)知,存在x0∈(1,λ),使得g (x)在(0,x0)上單調(diào)遞減, 即f′(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減. 所以當(dāng)1<x<x0時,f′(x)<f′(1)=0, 于是f (x)在[1,x0)上單調(diào)遞減,所以f (x0)<f (1)=0. 這與x≥1時,f (x)≥0恒成立矛盾. 因此λ≤e,即λ的最大值為e. …………………………… 16分 南京市xx高三第三次模擬考試 數(shù)學(xué)附加參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 21.【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計(jì)20分.請?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. A.選修4—1:幾何證明選講 A B C D E (第21(A)圖) 證明:連結(jié)BE. 因?yàn)锳D是邊BC上的高,AE是△ABC的外接圓的直徑, 所以∠ABE =∠ADC=90. …………… 4分 ∠AEB=∠ACD, …………… 6分 所以△ABE∽△ADC, …………… 8分 所以 = . 即ABAC=ADAE. …………… 10分 B.選修4—2:矩陣與變換 解:(1)AX= = . …………… 2分 因?yàn)锳X=,所以解得x=3,y=0. …………… 4分 (2)由(1)知A= ,又B= , 所以AB = = . …………… 6分 設(shè)(AB)-1 = ,則 = , 即 = . …………… 8分 所以 解得a=,b=-,c=0,d=, 即 (AB)-1= . …………… 10分 (說明:逆矩陣也可以直接使用公式求解,但要求呈現(xiàn)公式的結(jié)構(gòu)) C.選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 解:由于r2 = x2+y2,rcosθ = x, 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為 x2+y2-8x+15=0, 即 (x-4)2+y2=1,所以曲線C是以 (4,0) 為圓心,1為半徑的圓.…………… 3分 直線l的直角坐標(biāo)方程為 y=x ,即x-y=0. …………… 6分 因?yàn)閳A心 (4,0) 到直線l的距離d==2>1. …………… 8分 所以直線l與圓相離, 從而PQ的最小值為d-1=2-1.可2+y2() C 1313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313 …………… 10分 D.選修4—5:不等式選講 證明:因?yàn)閤>0,所以x3+2 = x3+1+1 ≥ 3 = 3x, 當(dāng)且僅當(dāng)x3=1,即x=1時取“=”. …………… 4分 因?yàn)閥2+1-2y=(y-1)2≥0,所以y2+1≥2y, 當(dāng)且僅當(dāng)y=1時取“=”. …………… 8分 所以 (x3+2)+(y2+1)≥3x+2y, 即x3+y2+3≥3x+2y,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=1時,取“=”. …………… 10分 【必做題】第22題、第23題,每題10分,共計(jì)20分.請?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 22.(本小題滿分10分) 解:(1)設(shè)P(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn) . 因?yàn)镻S⊥l,垂足為S,又直線l:x=-1,所以S(-1,y). 因?yàn)門(3,0),所以=(x,y), =(4,-y). 因?yàn)椋?,所以4x-y2=0,即y2=4x. 所以曲線C的方程為y2=4x. …………… 3分 (2)因?yàn)橹本€PQ過點(diǎn)(1,0), 故設(shè)直線PQ的方程為x=my+1.P(x1,y1),Q(x2,y2). 聯(lián)立消去x,得y2―4my―4=0. 所以y1+y2=4m,y1y2=―4. …………… 5分 因?yàn)镸為線段PQ的中點(diǎn),所以M的坐標(biāo)為(,),即M (2m2+1,2m). 又因?yàn)镾(-1,y1),N(-1,0), 所以=(2m2+2,2m-y1),=(x2+1,y2)=(my2+2,y2). …………… 7分 因?yàn)?2m2+2) y2-(2m-y1)(my2+2)=(2m2+2) y2-2m2y2+my1y2-4m+2y1 =2(y1+y2)+my1y2-4m=8m-4m-4m=0. 所以向量與共線. …………… 10分 23.(本小題滿分10分) 解:(1)由題意,當(dāng)n=2時,數(shù)列{an}共有6項(xiàng). 要使得f(2)是2的整數(shù)倍,則這6項(xiàng)中,只能有0項(xiàng)、2項(xiàng)、4項(xiàng)、6項(xiàng)取1, 故T2=C+C+C+C=25=32. ……………………… 3分 (2)Tn=C+C+C+…+C . ……………………… 4分 當(dāng)1≤k≤n,k∈N*時, C=C+C=C+C+C+C=2C+C+C =2 (C+C)+C+C+C+C =3 (C+C)+C+C, ……………………… 6分 于是Tn+1=C+C+C+…+C =C+C+3(C+C+C+C+…+C+C)+Tn-C+Tn-C =2 Tn+3(23n-Tn) =38n-Tn. ……………………… 8分 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明Tn=[8n+2(-1)n]. 當(dāng)n=1時,T1=C+C=2=[81+2(-1)1],即n=1時,命題成立. 假設(shè)n=k (k≥1,k∈N*) 時,命題成立,即Tk=[8k+2(-1)k]. 則當(dāng)n=k+1時, Tk+1=38k-Tk=38k-[8k+2(-1)k]=[98k-8k-2(-1)k]=[8k+1+2(-1)k+1], 即n=k+1時,命題也成立. 于是當(dāng)n∈N*,有Tn=[8n+2(-1)n]. ……………………… 10分- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 2019-2020年高三第三次模擬考試 數(shù)學(xué) 2019 2020 年高 第三次 模擬考試
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