高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 幾何證明選講 2 直線與圓的位置關(guān)系課件(理) 選修4-1.ppt

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第二節(jié) 直線與圓的位置關(guān)系,【知識(shí)梳理】 1.圓周角、圓心角、弦切角定理 (1)圓周角定理: ①內(nèi)容:圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角 的_____.,一半,②推論: 推論1:同弧或等弧所對的圓周角_____;同圓或等圓中, 相等的圓周角所對的弧也_____. 推論2:半圓(或直徑)所對的圓周角是_____;90的圓 周角所對的弦是_____.,相等,相等,直角,直徑,(2)圓心角定理:圓心角的度數(shù)等于它_______的度數(shù). (3)弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對的_______.,所對弧,圓周角,2.圓內(nèi)接四邊形及圓的切線的判定及性質(zhì)定理,互補(bǔ),內(nèi),角的對角,互補(bǔ),內(nèi)角的對角,垂直,垂直,切點(diǎn),圓心,3.與圓有關(guān)的比例線段,【特別提醒】 1.圓周角定理與弦切角定理多用于證明角的關(guān)系,從而證明三角形相似或全等. 2.利用圓內(nèi)接四邊形的判定和性質(zhì)定理解決四點(diǎn)共圓問題時(shí),要弄清四邊形的外角和它的內(nèi)對角的位置.,3.利用相交弦定理、切割線定理解決與圓有關(guān)的比例線段的計(jì)算與證明問題時(shí),要注意相似三角形的知識(shí)及相關(guān)圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用.,考向一 圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形 【典例1】如圖,CD為△ABC外接圓的切線,AB的延長線交直線CD于點(diǎn)D,點(diǎn)E,F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn),且BCAE=DCAF,B,E,F,C四點(diǎn)共圓.,(1)證明:CA是△ABC外接圓的直徑. (2)若DB=BE=EA,求過B,E,F,C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值.,【解題導(dǎo)引】(1)根據(jù)圓的性質(zhì)及相似知識(shí)證得∠CBA=90,可得CA是△ABC外接圓的直徑. (2)連接CE,利用圓的性質(zhì),尋求過B,E,F,C四點(diǎn)的圓的直徑長的平方與△ABC外接圓的直徑長的平方的比值,從而確立圓的面積之比.,【規(guī)范解答】(1)因?yàn)镃D為△ABC外接圓的切線, 所以∠DCB=∠A, 由題設(shè)知 故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因?yàn)锽,E,F,C四點(diǎn)共圓, 所以∠CFE=∠DBC,,故∠EFA=∠CFE=90, 所以∠CBA=90, 因此CA是△ABC外接圓的直徑.,(2)連接CE, 因?yàn)椤螩BE=90, 所以過B,E,F,C四點(diǎn)的圓的直徑為CE,,由DB=BE,有CE=DC, 又BC2=DBBA=2DB2, 所以CA2=4DB2+BC2=6DB2. 而DC2=DBDA=3DB2, 故過B,E,F,C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的 比值為 .,【規(guī)律方法】 1.圓周角定理常用的轉(zhuǎn)化 (1)圓周角與圓周角之間的轉(zhuǎn)化. (2)圓周角與圓心角之間的轉(zhuǎn)化. (3)弧的度數(shù)與圓心角和圓周角之間的轉(zhuǎn)化. (4)圓內(nèi)接四邊形的外角與其相對的內(nèi)角的轉(zhuǎn)化.,2.證明四點(diǎn)共圓的常用方法 (1)四點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等. (2)四邊形的一組對角互補(bǔ). (3)四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角. (4)如果兩個(gè)三角形有公共邊,公共邊所對的角相等且在公共邊的同側(cè),那么這兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.,【變式訓(xùn)練】(2016梧州模擬)如圖,已知AB是☉O的直徑,CD是☉O的切線,點(diǎn)C為切點(diǎn),連接AC,過點(diǎn)A作AD⊥CD于點(diǎn)D,交☉O于點(diǎn)E. (1)證明:∠AOC=2∠ACD. (2)證明:ABCD=ACCE.,【證明】(1)連接BC, 因?yàn)镃D是☉O的切線,C為切點(diǎn), 所以∠ACD=∠ABC. 因?yàn)镺B=OC,所以∠OCB=∠ABC. 又因?yàn)椤螦OC=∠OCB+∠OBC, 所以∠AOC=2∠ACD.,(2)因?yàn)锳B是☉O的直徑,所以∠ACB=90. 又因?yàn)锳D⊥CD于點(diǎn)D,所以∠ADC=90. 因?yàn)镃D是☉O的切線,C為切點(diǎn),OC為半徑, 所以O(shè)C⊥CD, 所以O(shè)C∥AD,又因?yàn)镺C=OA, 所以∠OAC=∠OCA=∠CAE=∠ECD,,所以Rt△ABC∽R(shí)t△CED,所以 所以ABCD=ACCE.,【加固訓(xùn)練】 1.(2016河南八校模擬)已知AB為半圓O的直徑, AB=4,C為半圓上一點(diǎn),過點(diǎn)C作半圓的切線CD,過點(diǎn) A作AD⊥CD于點(diǎn)D,交半圓于點(diǎn)E,DE=1. (1)求證:AC平分∠BAD. (2)求BC的長.,【解析】(1)連接OC. 因?yàn)镺A=OC,所以∠OAC=∠OCA. 因?yàn)镃D為半圓的切線,所以O(shè)C⊥CD. 因?yàn)锳D⊥CD,OC∥AD,所以∠OCA=∠CAD, 所以∠OAC=∠CAD,所以AC平分∠BAD.,(2)連接CE,由(1)得∠OAC=∠CAD, 所以BC=CE. 因?yàn)锳,B,C,E四點(diǎn)共圓,所以∠CED=∠ABC. 因?yàn)锳B是圓O的直徑,所以∠ACB是直角, 所以Rt△CDE∽R(shí)t△ACB, 所以 ,所以 ,所以BC=2.,2.(2014全國卷Ⅰ)如圖,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,AB的延長線與DC的延長線交于點(diǎn)E,且CB=CE. (1)證明:∠D=∠E. (2)設(shè)AD不是☉O的直徑,AD的中點(diǎn)為M, 且MB=MC,證明:△ADE為等邊三角形.,【證明】(1)由題設(shè)知,A,B,C,D四點(diǎn)共圓,所以∠D= ∠CBE,由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E. (2)設(shè)BC的中點(diǎn)為N,連接MN,由MB=MC知MN⊥BC,故O在直線MN上.,又AD不是☉O的直徑,AD的中點(diǎn)為M,故OM⊥AD, 所以AD∥BC,故∠A=∠CBE. 又∠CBE=∠E,故∠A=∠E, 由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE為等邊三角形.,考向二 圓的切線性質(zhì)與判定定理、弦切角定理 【典例2】(2015全國卷Ⅰ)如圖,AB是☉O的直徑,AC是☉O的切線,BC交☉O于點(diǎn)E. (1)若D為AC的中點(diǎn),證明:DE是☉O的切線. (2)若OA= CE,求∠ACB的大小.,【解題導(dǎo)引】(1)連接OE后證明∠OED是直角. (2)設(shè)出CE,AE的長度,在Rt△CAB中應(yīng)用射影定理求出AE的長度,可得∠ACB的大小.,【規(guī)范解答】(1)連接AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.,在Rt△ABC中, 由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.連接OE,則∠OBE=∠OEB. 又∠ACE+∠ABC=90,所以∠DEC+∠OEB=90, 所以∠OED=90,所以DE是☉O的切線.,(2)設(shè)CE=1,AE=x,由已知得AB=2 ,BE= ,由射 影定理可得,AE2=CEBE,所以x2= ,即x4+x2-12 =0.可得x= ,所以∠ACB=60.,【母題變式】1.在例題(1)的條件下,證明: △CDE∽△AOE. 【證明】由(1)知,∠DAO+∠DEO=180, 所以D,A,O,E四點(diǎn)共圓, 所以∠CDE=∠AOE, 又DC=DE,OA=OE,所以△CDE∽△AOE.,2.在(2)的條件下,求 的值. 【解析】由(2)知,∠ACB=60. 所以∠CAE=∠ABC=30, 所以CB=2CA=4CE,即 又O為AB的中點(diǎn), 所以,【規(guī)律方法】 1.判定切線的三種常用方法 (1)和圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線. (2)到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線. (3)過半徑外端點(diǎn)且和半徑垂直的直線是圓的切線.,2.弦切角問題的求解思路 轉(zhuǎn)化為求同弧上的圓周角. 3.切線長問題的求解思路 一般利用切線長定理和切割線定理. 易錯(cuò)提醒:利用弦切角定理時(shí),一定要注意弦切角與同弧上的圓周角相等.,【變式訓(xùn)練】(2015全國卷Ⅱ)如圖,O是等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),圓O與△ABC的底邊BC交于M,N兩點(diǎn),與底邊上的高交于點(diǎn)G,且與AB,AC分別相切于E,F兩點(diǎn). (1)證明:EF∥BC. (2)若AG等于圓O的半徑,且AE=MN=2 , 求四邊形EBCF的面積.,【解析】(1)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分線,又因?yàn)楱慜分別與AB,AC相切于點(diǎn)E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF,從而EF∥BC. (2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分線, 又EF為☉O的弦,所以圓心O在AD上.,連接OE,OM,則OE⊥AE. 由AG等于☉O的半徑得AO=2OE,所以∠OAE=30.因此△ABC和△AEF都是等邊三角形.,因?yàn)锳E=2 ,所以AO=4,OE=2. 因?yàn)镺M=OE=2,DM= MN= ,所以O(shè)D=1. 于是AD=5,AB= 所以四邊形EBCF的面積為,【加固訓(xùn)練】 1.如圖,直線PB與圓O相切于點(diǎn)B,點(diǎn)D是弦AC上的點(diǎn), ∠PBA=∠DBA.若AD=m,AC=n,求AB的長度.,【解析】因?yàn)镻B切☉O于點(diǎn)B, 所以∠PBA=∠ACB. 又∠PBA=∠DBA, 所以∠DBA=∠ACB, 又∠A是公共角, 所以△ABD∽△ACB.,所以 所以AB2=ADAC=mn, 所以AB=,2.如圖,AB,AC是☉O的切線,ADE是☉O的割線,求證: BECD=BDCE.,【證明】因?yàn)锳B是☉O的切線, 所以∠ABD=∠AEB. 又因?yàn)椤螧AD=∠EAB, 所以△BAD∽△EAB. 所以,同理 因?yàn)锳B,AC是☉O的切線, 所以AB=AC. 因此 即BECD=BDCE.,考向三 與圓有關(guān)的比例線段 【典例3】(2016南陽模擬)如圖所示,已知PA與☉O 相切,A為切點(diǎn),過點(diǎn)P的割線交圓于B,C兩點(diǎn),弦CD∥AP, AD,BC相交于點(diǎn)E,點(diǎn)F為CE上一點(diǎn),且DE2=EFEC.,(1)求證:CEEB=EFEP. (2)若CE∶BE=3∶2,DE=3,EF=2,求PA的長.,【解題導(dǎo)引】(1)由已知可得△DEF∽△CED,得到 ∠EDF=∠C,由平行線的性質(zhì)可得∠P=∠C,于是得 到∠EDF=∠P,再利用對頂角的性質(zhì)即可證明△EDF ∽△EPA.于是得到EAED=EFEP.利用相交弦定理 可得EAED=CEEB,進(jìn)而證明結(jié)論.,(2)利用(1)的結(jié)論可得BP= ,再利用切割線定理可得PA2=PBPC,即可得出PA.,【規(guī)范解答】(1)因?yàn)镈E2=EFEC,∠DEF=∠CED, 所以△DEF∽△CED,所以∠EDF=∠C. 又因?yàn)镃D∥AP,所以∠P=∠C, 所以∠EDF=∠P,又因?yàn)椤螪EF=∠PEA, 所以△EDF∽△EPA,,所以 ,所以EAED=EFEP. 又因?yàn)镋AED=CEEB, 所以CEEB=EFEP.,(2)因?yàn)镈E2=EFEC,DE=3,EF=2, 所以32=2EC,所以CE= . 因?yàn)镃E∶BE=3∶2,所以BE=3. 由(1)可知:CEEB=EFEP, 所以 3=2EP,解得EP=,所以BP=EP-EB= 因?yàn)镻A是☉O的切線,所以PA2=PBPC, 所以PA2= ,解得PA=,【規(guī)律方法】 1.與圓有關(guān)的比例線段解題思路 (1)見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理. (2)見到圓的兩條割線就要想到割線定理. (3)見到圓的切線和割線就要想到切割線定理.,2.應(yīng)用相交弦定理時(shí)的注意點(diǎn) 相交弦定理為圓中證明等積式和有關(guān)計(jì)算提供了有力的方法和工具,應(yīng)用時(shí)要注意:(1)要熟記定理的等積式的結(jié)構(gòu)特征.(2)當(dāng)與定理相關(guān)的圖形不完整時(shí),要用輔助線補(bǔ)齊相應(yīng)部分.,【變式訓(xùn)練】(2014全國卷Ⅱ)如圖,點(diǎn)P是☉O外一點(diǎn),PA是切線,點(diǎn)A為切點(diǎn),割線PBC與☉O相交于點(diǎn)B,C,PC=2PA,點(diǎn)D為PC的中點(diǎn),AD的延長線交☉O于點(diǎn)E.證明: (1)BE=EC. (2)ADDE=2PB2.,【證明】(1)因?yàn)镻C=2PA,PD=DC,所以PA=PD,△PAD為等腰三角形. 連接AB,則∠PAB=∠DEB=β,∠BCE=∠BAE=α. 因?yàn)椤螾AB+∠BCE=∠PAB+∠BAD=∠PAD=∠PDA= ∠DEB+∠DBE,所以β+α=β+∠DBE,所以α=∠DBE, 即∠BCE=∠DBE,所以BE=EC.,(2)因?yàn)锳DDE=BDDC,PA2=PBPC,PD=DC=PA,所以PA2=PBPC=PB2PA, 即PA=2PB, 所以ADDE=BDDC=(PA-PB)PA=PA2-PBPA=PBPC-PBPA=PB(PC-PA)=PBPA=PB2PB=2PB2.,【加固訓(xùn)練】 1.(2015湖北高考改編)如圖,PA是圓的切線,點(diǎn)A為 切點(diǎn),PBC是圓的割線,且BC=3PB,求 的值.,【解析】設(shè)PB=1,因?yàn)锽C=3PB,所以PC=4,又因?yàn)镻A 是圓的切線,所以∠PAB=∠BCA,∠P=∠P, PA2=PBPC=4,PA=2, 所以△PBA∽△PAC,所以,2.(2016山西四校聯(lián)考)如圖所示,PA為圓O的切線,點(diǎn) A為切點(diǎn),PO交圓O于B,C兩點(diǎn),PA=10,PB=5,∠BAC的平分 線與BC和圓O分別交于點(diǎn)D和E. (1)求證: (2)求ADAE的值.,【解析】(1)因?yàn)镻A為圓O的切線,所以∠PAB=∠ACP, 又∠P為公共角, 所以△PAB∽△PCA,所以 (2)因?yàn)镻A為圓O的切線,PC是過點(diǎn)O的割線, 所以PA2=PBPC,所以PC=20,BC=15,,又因?yàn)椤螩AB=90, 所以AC2+AB2=BC2=225, 又由(1)知 所以AC=6 ,AB=3 , 連接EC,則∠CAE=∠EAB,∠AEC=∠ABD, 所以△ACE∽△ADB, 所以ADAE=ABAC=3 6 =90.,