高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、解三角形 5.3 解三角形課件(理) 新人教B版.ppt

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5.3 解三角形,高考理數(shù),1.正弦定理、余弦定理 (1)正弦定理 在△ABC中, = = =2R (R為△ABC的外接圓半徑). (2)余弦定理 a2= b2+c2-2bccos A , b2= a2+c2-2accos B , c2= a2+b2-2abcos C ; 推論:cos A= ,cos B= ,cos C= . 2.解三角形的類型 (1)已知兩角一邊,用正弦定理,有解時(shí),只有一解.,知識清單,(2)已知兩邊及其一邊的對角,用正弦定理,有解的情況可分為以下幾種(在△ABC中,已知a、b和 角A):,上表中,若A為銳角,當(dāng)absin A時(shí),無解;若A為鈍角,當(dāng)a=b,ab時(shí)均無解. (3)已知三邊,用余弦定理,有解時(shí),只有一解. (4)已知兩邊及夾角,用余弦定理,必有一解. 3.三角形的面積 設(shè)△ABC的三邊為a、b、c,所對的三個(gè)角分別為A、B、C,其面積為S. (1)S= ah(h為BC邊上的高); (2)S= absin C= acsin B= bcsin A;,(3)S=2R2sin Asin Bsin C(R為△ABC的外接圓半徑); (4)S= (R為△ABC的外接圓半徑); (5)S= . 4.實(shí)際問題中的常用角 (1)仰角和俯角 與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平線 上方 的角叫 仰角,目標(biāo)視線在水平線 下方 的角叫俯角(如圖a).,(2)方位角 從 正北 方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角,如點(diǎn)B的方位角為α(如圖b). 【知識拓展】 判斷三角形形狀的基本思想:利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一,即將條件化為只含角的關(guān)系 式,然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式;或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式,然后利用 常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系.結(jié)論一般為特殊的三角形,如等邊三角形,等腰三角形,直角三 角形,等腰直角三角形等.另外,在變形過程中要注意A、B、C的范圍對三角函數(shù)值的影響.,應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其推論.解三角形時(shí),可用正弦定理,也可用余弦定理,應(yīng)注意用 哪一個(gè)定理更方便、簡捷. 例1 (2015東北三省四市教研聯(lián)合體第一次模擬,17)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c, 且bsin A= acos B. (1)求角B的大小; (2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值. 解析 (1)由bsin A= acos B及正弦定理, 得sin B= cos B, 所以tan B= ,所以B= . (2)由sin C=2sin A及 = ,得c=2a,① 由b=3及b2=a2+c2-2accos B,,突破方法,方法1 正、余弦定理的應(yīng)用,得9=a2+c2-ac.② 聯(lián)立①②可得a= ,c=2 . 1-1 (2015貴州六盤水第一次聯(lián)考,17)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,asin Asin B +bcos2A= a. (1)求 ; (2)若c2=b2+ a2,求B. 解析 (1)由正弦定理得, sin2Asin B+sin Bcos2A= sin A, 即sin B(sin2A+cos2A)= sin A. 故sin B= sin A,所以 = = . (2)由余弦定理和c2=b2+ a2,得cos B= . 由(1)知b2=2a2, 故c2=(2+ )a2,可得cos2B= ,,又易知cos B0,故cos B= ,所以B=45.,1.靈活運(yùn)用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化. 2.合理運(yùn)用三角函數(shù)公式,如同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式等. 3.三角形的面積公式形式多樣,選擇合適的形式入手是順利解題的關(guān)鍵. 例2 (2016皖南八校聯(lián)考,8,5分)在△ABC中, =3,S△ABC∈ ,則B的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 解題思路 由已知及三角形面積 公式得S△ABC= tan B 由S△ABC的范圍得 tan B∈ B∈ 解析 由題意知accos B=3,,方法2 有關(guān)三角形面積問題的求解方法,所以ac= , S△ABC= acsin B= sin B= tan B. 因?yàn)镾△ABC∈ , 所以tan B∈ , 所以B∈ . 答案 C 2-1 (2016北京豐臺期末)已知在△ABC中,AB= ,BC=1,sin C= cos C,則△ABC的面積為 . 答案 解析 由sin C= cos C得tan C= ,又C∈(0,π),所以C= .,根據(jù)正弦定理可得 = =2,所以sin A= ,因?yàn)锳BBC,所以AC,所以A= ,所以B= ,所以 △ABC為直角三角形,所以S△ABC= 1= .,例3 (2016安徽合肥三檢,14,5分)如圖,一棟建筑物AB的高為(30-10 )m,在該建筑物的正東方 向有一個(gè)通信塔CD.在它們之間的地面點(diǎn)M(B,M,D三點(diǎn)共線)處測得樓頂A,塔頂C的仰角分別是 15和60,在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30,則通信塔CD的高為 m. 解析 如圖,在Rt△ABM中,AM= = = = =20 (m). 又易知∠MAN=∠AMB=15,所以∠MAC=30+15=45,又∠AMC=180-15-60=105,從而∠,方法3 實(shí)際應(yīng)用問題中的解三角形,ACM=30.在△AMC中,由正弦定理得 = ,解得MC=40 (m). 在Rt△CMD中,CD=40 sin 60=60(m),故通信塔CD的高為60 m. 答案 60 3-1 (2016東北三校聯(lián)考(二))一艘船向正北方向航行,看見它的正西方向有兩個(gè)相距10海里的 燈塔恰好與它在一條直線上.船繼續(xù)航行半小時(shí)后,看見這兩個(gè)燈塔中,一個(gè)燈塔在船的南偏西6 0方向上,另一個(gè)燈塔在船的南偏西75方向上,則這艘船的速度是每小時(shí) ( ) A.5 海里 B.5海里 C.10 海里 D.10海里,如圖,依題意有∠BAC=60,∠BAD=75,∠ABD=90,CD=10海里,所以∠CAD=∠CDA=15,從而 CA=CD=10海里.在Rt△ABC中,AB=ACcos 60=5(海里),所以這艘船的速度是 =10(海里/小 時(shí)).,答案 D 解析,