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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形章末整合練習(xí)
一、選擇題(65分=30分)
1.△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a、b、c.若a=b,A=2B,則cosB=( )
A. B.
C. D.
解析:由題意得====2cosB,cosB=.
答案:B
2.(xx濟(jì)寧模擬)已知cosA+sinA=-,A為第四象限角,則tanA等于( )
A. B.
C.- D.-
解析:由已知可得sin2A=-,
所以(cosA-sinA)2=1-sin2A=,
故cosA-sinA=,又cosA+sinA=-,
所以,cosA=,sinA=-.所以tanA=-.
答案:C
3.在銳角三角形ABC中,設(shè)x=sinAsinB,y=cosAcosB,則x、y的大小關(guān)系為( )
A.x≤y B.x
y D.x≥y
解析:y-x=cosAcosB-sinAsinB
=cos(A+B)=-cosC,∵△ABC是銳角三角形,
∴cosC>0,∴y-x<0,∴y0),y=f(x)的圖象與直線y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.[kπ-,kπ+],k∈Z B.[kπ+,kπ+],k∈Z
C.[kπ-,kπ+],k∈Z D.[kπ+,kπ+],k∈Z
解析:f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+).因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象與y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為π,故函數(shù)y=f(x)的周期為π.所以=π.即ω=2.
所以f(x)=2sin(2x+).
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z
得2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z
即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
答案:C
二、填空題(35分=15分)
7.(xx煙臺(tái)模擬)若動(dòng)直線x=a與函數(shù)f(x)=sinx和g(x)=cosx的圖象分別交于M、N兩點(diǎn),則|MN|的最大值為________.
解析:設(shè)x=a與f(x)=sinx的交點(diǎn)為M(a,y1),
x=a與g(x)=cosx的交點(diǎn)為N(a,y2),
則|MN|=|y1-y2|=|sina-cosa|
=|sin(a-)|≤ .
答案:
8.(xx天津模擬)已知f(x)=sin(x+)-cos(x+),則f(1)+f(2)+…+f(2 008)+f(2 009)=________.
解析:∵f(x)=sin(x+)-cos(x+)
=2sin(x+-)=2sinx,
∴f(x)的周期T==8.
又f(1)+f(2)+…+f(8)=0,
∴f(1)+f(2)+…+f(2 008)+f(2 009)
=f(1)+2510=2sin=.
答案:
9.某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)O的距離為5 cm,秒針均勻地繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),當(dāng)時(shí)間t=0時(shí),點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合.將A、B兩點(diǎn)間的距離d(cm)表示成t(s)的函數(shù),則d=________,其中t∈[0,60].
解析:∵經(jīng)過t(s)秒針轉(zhuǎn)了弧度,
∴=5sin,∴d=10sin.
答案:10sin
三、解答題(共37分)
10.(12分)已知函數(shù)f(x)=1-2sin2(x+)+2sin(x+)cos(x+).求:
(1)函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
解析:f(x)=cos(2x+)+sin(2x+)
=sin(2x++)=sin(2x+)=cos2x.
(1)函數(shù)f(x)的最小正周期是T==π;
(2)當(dāng)2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ(k∈Z)時(shí),函數(shù)f(x)=cos2x是增函數(shù),
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-,kπ](k∈Z).
11.(12分)(xx安徽高考)設(shè)△ABC是銳角三角形,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng),并且sin2A=sin(+B)sin(-B)+sin2B.
(1)求角A的值;
(2)若=12,a=2,求b,c(其中bb知c=6,b=4.
12.(13分)(xx福建高考)如圖所示,某市擬在長(zhǎng)為8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道,賽道的前一部分為曲線段OSM,該曲線段為函數(shù)y=Asinωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的圖象,且圖象的最高點(diǎn)為S(3,2);賽道的后一部分為折線段MNP.為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全,限定∠MNP=120.
(1)求A,ω的值和M,P兩點(diǎn)的距離;
(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì),才能使折線段賽道MNP最長(zhǎng)?
解析:法一:(1)依題意,
有A=2,=3,
又T=,∴ω=.
∴y=2sinx.
當(dāng)x=4時(shí),y=2sin=3,
∴M(4,3),又P(8,0),∴MP==5.
(2)在△MNP中,∠MNP=120,MP=5.
設(shè)∠PMN=θ,則0<θ<60.
由正弦定理得==.
∴NP=sinθ,MN=sin(60-θ),
故NP+MN=sinθ+sin(60-θ)
=(sinθ+cosθ)=sin(θ+60).
∵0<θ<60,∴當(dāng)θ=30時(shí),折線段賽道MNP最長(zhǎng).
亦即,將∠PMN設(shè)計(jì)為30時(shí),折線段賽道MNP最長(zhǎng).
法二:(1)同法一;
(2)在△MNP中,∠MNP=120,MP=5,
由余弦定理得
MN2+NP2-2MNNPcos∠MNP=MP2,
即MN2+NP2+MNNP=25.
故(MN+NP)2-25=MNNP≤()2.
從而(MN+NP)2≤25,即MN+NP≤.
當(dāng)且僅當(dāng)MN=NP時(shí)等號(hào)成立.
亦即,設(shè)計(jì)為MN=NP時(shí),折線段賽道MNP最長(zhǎng).
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