2019-2020年高中數(shù)學(xué) 雙曲線知識精講 文 蘇教版選修1-1.doc
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2019-2020 年高中數(shù)學(xué) 雙曲線知識精講 文 蘇教版選修 1-1 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容: 雙曲線 二. 重點、難點: 重點:雙曲線的定義、方程、幾何性質(zhì).掌握雙曲線的標準方程的推導(dǎo)及標準方程. 難點:理解參數(shù) a、b、c、e 的關(guān)系及漸近線方程. 三. 主要知識點 1、雙曲線的定義: 平面內(nèi)到兩定點 F1、F 2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(小于|F 1F2|)的點的軌跡叫做 雙曲線. 這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點的距離叫做焦距. 說明:雙曲線的定義用代數(shù)式表示為||MF 1|-|MF 2||=2a,其中 2a<|F 1F2|,這里要注意 兩點: (1)距離之差的絕對值. (2)2a<|F 1F2|,這兩點與橢圓的定義有本質(zhì)的不同. 當|MF 1|-|MF 2|=2a 時,雙曲線僅表示焦點 F2所對應(yīng)的一支; 當|MF 1|-|MF 2|=-2a 時,雙曲線僅表示焦點 F1所對應(yīng)的一支; 當 2a=|F 1F2|時,軌跡是一直線上以 F1、F 2為端點向外的兩條射線; 當 2a>|F 1F2|時,動點軌跡不存在. 2、標準方程的推導(dǎo) (1)建系設(shè)點 建立坐標系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則,如使關(guān)鍵點的坐標、關(guān)鍵幾何量(距離、直線 斜率等)的表達式簡單化,注意充分利用圖形的對稱性,使學(xué)生認識到下列選取方法是恰 當?shù)? 以兩定點 F1、F 2的直線為 x 軸,線段 F1F2的垂直平分線為 y 軸,建立直角坐標系(如 圖) .設(shè)|F 1F2|=2c(c>0) ,M(x,y)為雙曲線上任意一點,則有 F1(-c,0) , F2(c,0) . (2)點的集合 由定義得出橢圓雙曲線集合為:P={M||MF 1-MF 2|=2a}. (3)代數(shù)方程 2()()xcyxcya????? (4)化簡方程(其中 c2=a 2+b2) 3、兩種雙曲線性質(zhì)的比較 焦點在 x 軸上的雙曲線 焦點在 y 軸上的雙曲線 幾何 條件 與兩個定點的距離差的絕對值等于常數(shù)(小于這兩個定點之間的距離) 標準 方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 圖形 o x y 范圍 |x|≥a |y|≥a 對稱性 x 軸,y 軸,原點 頂點 坐標 (a,0) (0,a) 實軸 虛軸 x 軸,實軸長 2a y 軸,虛軸長 2b y 軸,實軸長 2a x 軸,虛軸長 2b 焦點 坐標 (c,0)c= (0,c)c= 離心率 e=, e >1 漸近線 y=x y=x 4、方法小結(jié) (1)由給定條件求雙曲線的方程,常用待定系數(shù)法.首先是根據(jù)焦點位置設(shè)出方程的 形式(含有參數(shù)) ,再由題設(shè)條件確定參數(shù)值,應(yīng)特別注意: ①當焦點位置不確定時,方程可能有兩種形式,應(yīng)防止遺漏; ②已知漸近線的方程 bxay=0,求雙曲線方程,可設(shè)雙曲線方程為 b2x2-a 2y2=λ(λ≠0) ,根據(jù)其他條件確定 λ 的值.若求得 λ>0,則焦點在 x 軸上,若 求得 λ<0,則焦點在 y 軸上. (2)由已知雙曲線的方程求基本量,注意首先應(yīng)將方程化為標準形式,再計算,并要 特別注意焦點位置,防止將焦點坐標和準線方程寫錯. (3)雙曲線中有一個重要的 Rt△OAB(如下圖) ,它的三邊長分別是 a、b、c.易見 c2=a 2+b2,若記∠AOB=θ,則 e==. x y O FF a b cq B A21 (4)參數(shù) a、b 是雙曲線的定形條件,兩種標準方程中,總有 a>0,b>0;雙曲線焦 點位置決定標準方程的類型;a、b、c 的關(guān)系是 c2=a 2+b2;在方程 Ax2+By2=C 中,只要 AB<0 且 C≠0,就是雙曲線的方程. (5)給定了雙曲線方程,就可求得確定的兩條漸近線.但已知漸近線方程,只是限制 了雙曲線張口的大小,不能直接寫出雙曲線方程.但若已知漸近線方程是=0,則可把雙 曲線方程表示為-=λ(λ≠0) ,再根據(jù)已知條件確定 λ 的值,求出雙曲線的方程. 【典型例題】 例 1. 根據(jù)下列條件,求雙曲線方程: (1)與雙曲線-=1 有共同的漸近線,且過點(-3,2) ; (2)與雙曲線-=1 有公共焦點,且過點(3,2). (3)求中心在原點,兩對稱軸為坐標軸,并且經(jīng)過 P(3, )Q(,5) . 剖析:設(shè)雙曲線方程為-=1,求雙曲線方程,即求 a、b,為此需要關(guān)于 a、b 的兩個 方程,由題意易得關(guān)于 a、b 的兩個方程. 解法一:(1)設(shè)雙曲線的方程為-=1, 由題意得 22 43() - =1 ab?????? 解得 a2=,b 2=4. 所以雙曲線的方程為-=1. (2)設(shè)雙曲線方程為-=1. 由題意易求 c=2. 又雙曲線過點(3,2) , ∴-=1. 又∵a 2+b2=(2) 2, ∴a 2=12,b 2=8. 故所求雙曲線的方程為-=1. 解法二:(1)設(shè)所求雙曲線方程為-=λ(λ≠0) , 將點(-3,2)代入得 λ=, 所以雙曲線方程為-=. (2)設(shè)雙曲線方程為-=1, 將點(3,2)代入得 k=4,所以雙曲線方程為-=1. 評述:求雙曲線的方程,關(guān)鍵是求 a、b,在解題過程中應(yīng)熟悉各元素(a、b、c、e) 之間的關(guān)系,并注意方程思想的應(yīng)用.若已知雙曲線的漸近線方程 axby=0,可設(shè)雙曲線 方程為 a2x2-b 2y2=λ(λ≠0) .與-=1 同焦點的可設(shè)為-=1 (3)設(shè)雙曲線方程為(mn>0) 將 PQ 兩點坐標代入求得 m=-16,n=-9. 故所求方程為 說明:若設(shè)-=1 或-=1 兩種情況求解,比較繁瑣. 例 2. △ABC 中,A,B,C 所對的邊分別為 a,b,c,B(-1,0) ,C(1,0) ,求滿足 sinC-sinB=sinA 時,頂點 A 的軌跡方程,并畫出圖形. y O x 解:根據(jù)正弦定理得 c-b=a=1 即 AB-AC=1,所以點 A 的軌跡為雙曲線 又 c=1,a=,∴b=c 2-a 2= 故雙曲線方程為 34xy??(x>) 例 3. (xx 年全國,19)設(shè)點 P 到點 M(-1,0) 、N(1,0)距離之差為 2m,到 x 軸、 y 軸距離之比為 2,求 m 的取值范圍. 剖析:由|PM|-|PN|=2m,得||PM|-|PN||=2|m|.知點 P 的軌跡是雙曲線,由點 P 到 x 軸、y 軸距離之比為 2,知點 P 的軌跡是直線,由交軌法求得點 P 的坐標,進而可求得 m 的取值范圍. 解:設(shè)點 P 的坐標為(x,y) ,依題意得=2,即 y=2x(x≠0) . ① 因此,點 P(x,y) 、M(-1,0) 、N(1,0)三點不共線,得 ||PM|-|PN||0, ∴0<|m|0,∴1-5m 2>0. 解得 0<|m|<,即 m 的取值范圍為(-,0)∪(0, ) . 評述:本題考查了雙曲線的定義、標準方程等基本知識,考查了邏輯思維能力及分析 問題、解決問題的能力.解決此題的關(guān)鍵是用好雙曲線的定義. 例 4. (xx 年春季上海)已知橢圓具有的性質(zhì):若 M、N 是橢圓 C 上關(guān)于原點對稱的兩個 點,點 P 是橢圓上任意一點,當直線 PM、PN 的斜率都存在,并記為 kPM、k PN時,那么 kPM 與 kPN之積是與點 P 位置無關(guān)的定值.試對雙曲線 C’:-=1 寫出具有類似特性的性質(zhì), 并加以證明. 解:類似的性質(zhì)為若 MN 是雙曲線-=1 上關(guān)于原點對稱的兩個點,點 P 是雙曲線上任 意一點,當直線 PM、PN 的斜率都存在,并記為 kPM、k PN時,那么 kPM與 kPN之積是與點 P 位 置無關(guān)的定值. 設(shè)點 M 的坐標為(m,n) ,則點 N 的坐標為(-m,-n) ,其中-=1. 又設(shè)點 P 的坐標為(x,y) , 由 kPM=,k PN=,得 kPMkPN==, 將 y2=x 2-b 2,n 2=m 2-b 2,代入得 kPMkPN=. 評注:本題主要考查橢圓、雙曲線的基本性質(zhì),考查類比、歸納、探索問題的能力.它 是一道綜合橢圓和雙曲線基本知識的綜合性題目,對思維能力有較高的要求. 【模擬試題】 (完成時間 60 分鐘,滿分 100 分) 一、選擇題(每小題 4 分,共 40 分) 1. 到兩定點、的距離之差的絕對值等于 6 的點的軌跡是 ( ) A. 橢圓 B. 線段 C. 雙曲線 D. 兩條射線 2. 方程表示雙曲線,則的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 或 3. 雙曲線的焦距是 ( ) A. 4 B. C. 8 D. 與有關(guān) 4.(xx 年天津,4)設(shè) P 是雙曲線-=1 上一點,雙曲線的一條漸近線方程為 3x-2y=0,F(xiàn) 1、F 2分別是雙曲線的左、右焦點.若|PF 1|=3,則|PF 2|等于 A. 1 或 5 B. 6 C. 7 D. 9 5. (xx 年春季北京,5) “ab|PA|, 1PO),568,(P故即 ,…………11 答:巨響發(fā)生在接報中心的西偏北 45距中心處. …………12- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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