2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料《二次函數(shù)》(I).doc
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2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料《二次函數(shù)》(I) 二次方程問題其實質就是其相應二次函數(shù)的零點(圖象與x軸的交點)問題,因此,二次方程的實根分布問題,即二次方程的實根在什么區(qū)間內(nèi)的問題,借助于二次函數(shù)及其圖象利用形數(shù)結合的方法來研究是非常有益的。 設f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二實根為x1,x2,(x1<x2),Δ=b2-4ac,且α、β(α<β)是預先給定的兩個實數(shù)。 1.當兩根都在區(qū)間(α,β)內(nèi),方程系數(shù)所滿足的充要條件: ∵α<x1<x2<β,對應的二次函數(shù)f (x)的圖象有下列兩種情形(圖1) 當a>0時的充要條件是:Δ>0,α<-b/2a<β,f(α)>0,f (β)>0 當a<0時的充要條件是:Δ>0,α<-b/2a<β,f(α)<0,f (β)<0 兩種情形合并后的充要條件是: Δ>0,α<-b/2a<β,af(α)>0,af (β)>0 ① 2.當兩根中有且僅有一根在區(qū)間(α,β)內(nèi),方程系數(shù)所滿足的充要條件: ∵α<x1<β或α<x2<β,對應的函數(shù)f(x)的圖象有下列四種情形(圖2) 從四種情形得充要條件是: f (α)f (β)<0 ② 3.當兩根都不在區(qū)間[α,β]內(nèi)方程系數(shù)所滿足的充要條件: (1)兩根分別在區(qū)間[α,β]之外的兩旁時: ∵x1<α<β<x2,對應的函數(shù)f(x)的圖象有下列兩種情形(圖3): 當a>0時的充要條件是:f (α)<0,f (β)<0 當a>0時的充要條件是:f (α)>0,f (β)>0 兩種情形合并后的充要條件是: af (α)<0,af (β)<0 ?、? ?。?)兩根分別在區(qū)間[α,β]之外的同旁時: ∵x1<x2<α<β或α<β<x1<x2,對應函數(shù)f(x)的圖象有下列四種情形(圖4): 當 x1<x2<α時的充要條件是: Δ>0,-b/2a<α,af (α)>0 ④ 當β<x1<x2時的充要條件是: Δ>0,-b/2a>β,af (β)>0 ⑤ 二次函數(shù)與二次不等式 前面提到,一元二次不等式的解集相應于一元二次函數(shù)的正值、負值區(qū)間。解不等式與證明不等式成立,經(jīng)常要用到二次函數(shù)的極值性質、單調性、圖象與x軸的位置關系等。 例題講解 1. 已知方程x2+2px+1=0有一個根大于1,有一個根小于1,則P的取值為 。 2. 如果方程(1-m2)x2+2mx-1=0的兩個根一個小于零,另一個大于1,試確定m的范圍。 3. 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).若方程f(x)=x無實根,求證:方程f[f(x)]=x也無實根, 4. 對二次函數(shù)f(x)= ax2+bx+c(a≠0),求證,必存在x=M≠0,使f(M)均與a同號。 5. 若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是實數(shù),求證:(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n) 6.設二次函數(shù)f(x)= ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的兩個根x1,x2滿足0<x1<x2<1/a。 (1)當x∈(0,x1)時,證明x<f(x)<x1 ?。?)設函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=x0對稱,證明:x0<x1/2。 7.當K為什么實數(shù)時,關于X的二次方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的兩個實根α和β分別滿足0<α<1和1<β<2? 8.函數(shù)y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在[-3,3]上的最小值是 。 課后練習 1.f(x)是定義在全體實數(shù)上的偶函數(shù),它的圖象關于x=2為軸對稱,已知當x∈(-2,2]時f(x)的表達式為-x2+1,則當x∈(-6,-2)時,f(x)的表達式是:(A)-x2+1,(B)-(x-2)2+1,(C)-(x+2)2+1,(D)-(x+4)2+1。 ?。ā 。? 2.已知x2-4x+b=0的一個根的相反數(shù)為x2+4x-b=0的根,則x2+bx-4=0的正根為 。 3. 已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb且f(-1)=-2,又f(x)≥2x對一切x∈R都成立,求a+b=? 4.設θ∈[0,π],關于x的方程x2-2∣x∣cosθ+1=0有實根,則4x2+13∣x∣+23= 。 5.已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實根x1與x2,設P=x1xx+x2xx,q=x1xx+x2xx,r=x1xx+x2xx則ap+bq+cr= 。 6.若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a<0)滿足f(x+2)=f(2-x),那么f(0),f(-xx),f(xx)的大小關系是(A)f(0)<f(xx)<f(-xx),(B)f(xx)<f(0)<f(-xx),(C)f(-xx)<f(0)<f(xx),(D)f(-xx)<f(xx)<f(0) 7.若sin2x+cosx+a=0有實根,試確定實數(shù)a的取值范圍是什么? 8.已知x,y都是實數(shù),C=x2+y2-xy-x+y,則C的最小值等于 。 9.代數(shù)式2x2+2xy+2y2+2x+4y+5的最小值為:(A)0 (B)5 ?。–)9/2 (D)3 10.函數(shù)f(x)=x4-2x2+2的單調增區(qū)間是:(A)[1,+∞),(B)(-∞,-1)∪[1,+∞),(C)[-1,0]∪[1,+∞),(D)以上都不對 11.若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx,有f(x1)=f(x2)(x1≠x2)則f(x1+x2)= 。 12.給定函數(shù)f(x)=x2+ax+b設P,q是滿足P+q=1的實數(shù),證明,若對于任意的實數(shù)x,y,均有:pf(x)+qf(y)≥f(px+qy),則0≤p≤1 課后練習答案 1.(D);2.2;3.110;4.40;5.0;6.(D);7.[-5/4,1];8.-1/3;9.(D);10.(D);11.0;12.(略)。 例題答案: 1.解:記f(x)=x2+2px+1,則f(x)r的圖象開口向上,當f(x)與x軸的兩交點一個在(1,0)左方,另一個在(1,0)右方時,必有f(1)<0,即:12+2P+1<0,即P<-1 所以P的取值為(-∞,-1) 2.解:令f(x)=(1-m2)x2+2mx-1,根據(jù)題設條件,f(x)的圖形是下列兩種情形之一(圖5): 得充要條件:(1-m2)f(0)<0,(1-m2)f(1)<0;即1-m2>0,(1-m2)(2m-m2)<0 解得:-1<m<0 3.證明:已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0無實根,f(x)-x仍是二次函數(shù),f(x)-x=0仍是二次方程,它無實根即Δ=(b-1)2-4ac<0 若a>0,則函數(shù)y=f(x)-x的圖象在x軸上方, ∴y>0,即f(x)-x>0恒成立,即:f(x)>x對任意實數(shù)x恒成立。 ∴對f(x), 有f(f(x))>f(x)>x恒成立 ∴f(f(x))=x無實根 若a<0,函數(shù)y=f(x)-x的圖象在x軸下方 ∴y<0,即f(x)-x<0恒成立 ∴對任意實數(shù)x,f(x) <0恒成立 ∴對實數(shù)f(x),有:f(f(x))<f(x)<x恒成立 ∴f(f(x))=x無實根 綜上可知,當f(x)=x無實根時,方程f(f(x))=x也無實根 4.分析:這是一道證明題。從圖象上看,當a>0時,拋物線開口向上,f(x)>0的解集要么為全體實數(shù)集合R(△<0);要么為(-∞,x0)∪(x0,+ ∞)(Δ=0,f(x0)=0),要么為(-∞,x1)∪(x2,+∞) (Δ>0,f(x1)=f(x2)=0),故總可以找到M≠0,M∈R,或M∈(-∞,x0)∪(x0,+∞),或M∈(-∞,x1)∪(x2,+∞),使f(M)>0,因此af(M)>0,對于a<0的情形,也是如此,只不過f(M)<0,從代數(shù)的角度看問題,af(x)>0即a2x2+abx+ac>0?、偎薪馇医饧现邪鴛=M與x=-M(M≠0)一對相反數(shù),因此,需考慮①所對應的二次方程的判別式。 證明:∵f(x)= ax2+bx+c(a≠0) ∴af(x)= a2x2+abx+ac=1/4[4a2x2+4abx+4ac]=1/4(2ax+b)2-1/4(b2-4ac) ∴af(x)>0即:1/4(2ax+b)2-1/4(b2-4ac)>0 亦即(2ax+b)2-(b2-4ac)>0 (1)當Δ=b2-4ac<0時,af(x)>0的解集為(-∞,+∞) ?。?)當Δ=b2-4ac=0時,af(x)>0的解集為(-∞,-b/2a)∪(-b/2a,+∞) ?。?)當Δ=b2-4ac>0時,方程af(x)=0有兩個不等的實數(shù)根x1,x2(x1<x2),相應的不等式af(x)>0的解集合為:(-∞,x1)∪(x2,+∞) 因為三種情況下的解集合均為無窮區(qū)間,故均存在-M與M同屬于解集合,使af(M)>0,從而a與f(M)同號。 5.證明:構造二次函數(shù) f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+…+(anx-bn)2=(a12+a22+…+a2n)x2-2(a1b1+a2b2+…+anbn)x+(b12+b22+…+b2n) 當a12+a22+…+a2n≠0即a1,a2,…,an不全為零時,顯然有對x∈R,f(x)≥0,故f(x)=0的判別式:Δ=4(a1b1+a2b2+…+anbn)2-4(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n)≤0 即(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n) 當a1=a2=…=an=0時,結論顯然成立,故命題成立。 [評注]本例中的不等式即是著名的柯西不等式,有時它也寫作。等號當且僅當a1/b1=a2/b2=…=an/bn時成立。 6.[分析]該題是一九九七年全國普通高考理工類數(shù)學第24題,它綜合考查二次函數(shù)、二次方程和不等式的基礎知識,以及靈活運用數(shù)學知識和方法分析、解決問題的能力,當年沒有幾個考生能完整解答此題??梢詮拇鷶?shù)與幾何兩個角度展開思考: 從代數(shù)角度看,f(x)是二次函數(shù),從而方程f(x)-x=0即ax2+(b-1)x+c=0(a>0)是二次方程,由于x1,x2是它的兩個根,且方程中x2的系數(shù)是a,因此有表達式:f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)進而,利用二次函數(shù)的性質和題設條件,可得第(1)問的證明。 從幾何角度看,拋物線y=f(x)-x開口向上,因此在區(qū)間[x1,x2]的外部,f(x)-x>0,(1)的左端得證。其次,拋物線y=f(x)的開口也向上,又x1=f(x1),于是為了證得(1)的右端,相當于要求證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,x1]的最大值是f(x1),這相當于證明f(0)≤f(x1),也即C≤x1,利用韋達定理和題設,立即可得。 至于(Ⅱ)的證明,應用配方法可得x0=-b/2a,進而利用韋達定理與題設,即得證明。 證明:①欲證:x<f(x)<x 只須證:0<f(x)-x<x1-x ① 因為方程f(x)-x=0的兩根為x1,x2,f(x)=ax2+bx+c(a>0),∴f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) ?、偈郊? 0<a(x-x1)(x-x2)<x1-x ?、? ∵a>0,x∈(0,x1),x1-x>0,∴a(x1-x)>0 ?、谑絻蛇呁詀(x1-x)>0,得:0<x2-x<1/a,即:x<x2<1/a+x 這由已知條件:0<x<x1<x2<1/a,即得:x<x2<(1/a)<1/a+x, 故命題得證。 (2)欲證x0<x1/2,因為x0=-b/2a,故只須證:x0-x1/2=-b/2a-x1/2<0 ?、? 由韋達定理,x1+x2=(-b-1)/a,(x1+x2)/2=-(b-1)/2a,代入③式,有(-(b/2a))-(x1/2)=(x2/2)-(1/(2a))<0 ,即:x2<1/a 由已知:0<x1<x2<1/a,命題得證。 [評注]證(1)用到了二次函數(shù)的零點式f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) 證(2)用到了x0=-(b/(2a)),((x1+x2)/2)=-((b-1)/2a),都是二次函數(shù)二次方程的基礎知識。 7.[分析]它是一個一元二次方程的問題,利用求根公式解出α、β,再解不等式0<α<1和1<β<2順理成章,但計算變形較繁難。如果把此題的方程的左端看作是一個二次函數(shù)的話,結合函數(shù)的圖象和性質來解此題,那就簡便得多了。 解:設y=f(x)=7x2-(k+13)x+k2-k-2,則因為a=7>0,且方程f(x)=0有兩實根α,β,所以它的圖象是開口向上且與X軸相交于兩點(α,0)、(β,0)的拋物線。由于0<α<1,1<β<2,可知在x<α或x>β時,f(x)取正值;在α<x<β時,f(x)取負值。于是,當x分列取0,1,2時,有:f(0)=k2-k-2>0,f(1)=k2-2k-8<0,f(2)=k2-3k>0解這三個不等式組成的不等式組,可得-2<k<-1和3<k<4。 顯然,上述三個一元二次不等式解起來要容易得多。 8.[分析]這是1996年北京高中一年級數(shù)學競賽的復試題,是一個四次函數(shù)的最值問題。表面上看起來很難。但借助于配方法、換元法及二次函數(shù)極(最)值性質,可得結果。 解:∵y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 =[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+5 =(x2+5x+4)(x2+5x+6)+5 =(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+5 =(x2+5x+5)2+4 設Z=x2+5x+5,則y=Z2+4,對Z=x2+5x+5=(x+5/2)2-5/4,x∈[-3,3],易知Zmin=-5/4,Zmax=29 ∴y=Z2+4,Z∈[-5/4,29]拋物線開口向上,對稱軸Z=0∈[-5/4,29],∴ymin=4 故y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在[-3,3]上的最小值是4。- 配套講稿:
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