2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《數(shù)學(xué)方法選講》1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《數(shù)學(xué)方法選講》1 同學(xué)們?cè)陂喿x課外讀物的時(shí)候,或在聽老師講課的時(shí)候,書上的例題或老師講解的例題他都能聽懂,但一遇到?jīng)]有見過面的問題就不知從何處入手??磥?,要提高解決問題的能力,要能在競賽中有所作為,首先得提高分析問題的能力,這就需要學(xué)習(xí)一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。 例題講解 一、從簡單情況考慮 華羅庚先生曾經(jīng)指出:善于“退”,足夠的“退”,退到最原始而又不失去重要性的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。從簡單情況考慮,就是一種以退為進(jìn)的一種解題策略。 1. 兩人坐在一張長方形桌子旁,相繼輪流在桌子上放入同樣大小的硬幣。條件是硬幣一定要平放在桌子上,后放的硬幣不能壓在先放的硬幣上,直到桌子上再也放不下一枚硬幣為止。誰放入了最后一枚硬幣誰獲勝。問:先放的人有沒有必定取勝的策略? 2.線段AB上有xx個(gè)點(diǎn)(包括A,B兩點(diǎn)),將點(diǎn)A染成紅色,點(diǎn)B染成藍(lán)色,其余各點(diǎn)染成紅色或藍(lán)色。這時(shí),圖中共有1997條互不重疊的線段。 問:兩個(gè)端點(diǎn)顏色相異的小線段的條數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?為什么? 3.1000個(gè)學(xué)生坐成一圈,依次編號(hào)為1,2,3,…,1000?,F(xiàn)在進(jìn)行1,2報(bào)數(shù):1號(hào)學(xué)生報(bào)1后立即離開,2號(hào)學(xué)生報(bào)2并留下,3號(hào)學(xué)生報(bào)1后立即離開,4號(hào)學(xué)生報(bào)2并留下……學(xué)生們依次交替報(bào)1或2,凡報(bào)1的學(xué)生立即離開,報(bào)2的學(xué)生留下,如此進(jìn)行下去,直到最后還剩下一個(gè)人。問:這個(gè)學(xué)生的編號(hào)是幾號(hào)? 4.在66的正方形網(wǎng)格中,把部分小方格涂成紅色。然后任意劃掉3行和3列,使得剩下的小方格中至少有1個(gè)是紅色的。那么,總共至少要涂紅多少小方格? 二、從極端情況考慮 從問題的極端情況考慮,對(duì)于數(shù)值問題來說,就是指取它的最大或最小值;對(duì)于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)來說,指的是線段的端點(diǎn),三角形的頂點(diǎn)等等。極端化的假設(shè)實(shí)際上也為題目增加了一個(gè)條件,求解也就會(huì)變得容易得多。 5.新上任的宿舍管理員拿著20把鑰匙去開20個(gè)房間的門,他知道每把鑰匙只能打開其中的一個(gè)門,但不知道哪一把鑰匙開哪一個(gè)門,現(xiàn)在要打開所有關(guān)閉的20個(gè)門,他最多要開多少次? 6.有n名(n≥3)選手參加的一次乒乓球循環(huán)賽中,沒有一個(gè)全勝的。問:是否能夠找到三名選手A,B,C,使得A勝B,B勝C,C勝A? 7.n(n≥3)名乒乓球選手單打比賽若干場后,任意兩個(gè)選手已賽過的對(duì)手恰好都不完全相同。 試證明,總可以從中去掉一名選手,而使余下的選手中,任意兩個(gè)選手已賽過的對(duì)手仍然都不完全相同。 8.在一個(gè)88的方格棋盤的方格中,填入從1到64這64個(gè)數(shù)。問:是否一定能夠找到兩個(gè)相鄰的方格,它們中所填數(shù)的差大于4? 三、從整體考慮 從整體上來考察研究的對(duì)象,不糾纏于問題的各項(xiàng)具體的細(xì)節(jié),從而能夠拓寬思路,抓住主要矛盾,一舉解決問題。 9.右圖是一個(gè)44的表格,每個(gè)方格中填入了數(shù)字0或1。按下列規(guī)則進(jìn)行“操作”:每次可以同時(shí)改變某一行的數(shù)字:1變成0,0變成1。 問:能否通過若干次“操作”使得每一格中的數(shù)都變成1? 10.有三堆石子,每堆分別有xx,998,98?!,F(xiàn)在對(duì)這三堆石子進(jìn)行如下的“操作”:每次允許從每堆中各拿掉一個(gè)或相同個(gè)數(shù)的石子,或從任一堆中取出一些石子放入另一堆中。 按上述方式進(jìn)行“操作”,能否把這三堆石子都取光?如行,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種取石子的方案;如不行,請(qǐng)說明理由。 11.我們將若干個(gè)數(shù)x,y,z,…的最大值和最小值分別記為max(x,y,z,…)和min(x,y,z,…)。已知 a+b+c+d+e+f+g=1,求min[max(a+b+c,b+c+d,c+d+e,d+e+f,e+f+g)] 課后練習(xí) 1.方程x1+x2+x3+…+xn-1+xn=x1x2x3…xn-1xn一定有一個(gè)自然數(shù)解嗎?為什么? 2.連續(xù)自然數(shù)1,2,3,…,8899排成一列。從1開始,留1劃掉2和3,留4劃掉5和6……這么轉(zhuǎn)圈劃下去,最后留下的是哪個(gè)數(shù)? 3.給出一個(gè)自然數(shù)n,n的約數(shù)的個(gè)數(shù)用一個(gè)記號(hào)A(n)來表示。例如當(dāng)n=6時(shí),因?yàn)?的約數(shù)有1,2,3,6四個(gè),所以A(6)=4。已知a1,a2,…,a10是 10個(gè)互不相同的質(zhì)數(shù),又x為a1,a2,…,a10的積,求 A(x)。 4.平面上有100個(gè)點(diǎn),無三點(diǎn)共線。將某些點(diǎn)用線段連結(jié)起來,但線段不能相交,直到不能再連結(jié)時(shí)為止。問:是否存在一個(gè)以這些點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形,它的內(nèi)部沒有其余97個(gè)點(diǎn)中的任何一個(gè)點(diǎn)? 5.在一塊平地上站著5個(gè)小朋友,每兩個(gè)小朋友之間的距離都不相同,每個(gè)小朋友手上都拿著一把水槍。當(dāng)發(fā)出射擊的命令后,每人用槍射擊距離他最近的人。問:射擊后有沒有一個(gè)小朋友身上是干的?為什么? 6.把1600粒花生分給100只猴子,請(qǐng)你說明不管怎樣分,至少有4只猴子分的花生一樣多。 7.有兩只桶和一只空杯子。甲桶裝的是牛奶,乙桶裝的是酒精(未滿)。現(xiàn)在從甲桶取一滿杯奶倒入乙桶,然后從乙桶取一滿杯混合液倒入甲桶,這時(shí),是甲桶中的酒精多,還是乙桶中的牛奶多?為什么? 8.在黑板上寫上1,2,3,…,xx。按下列規(guī)定進(jìn)行“操作”:每次擦去其中的任意兩個(gè)數(shù)a和b,然后寫上它們的差(大減?。?,直到黑板上剩下一個(gè)數(shù)為止。 問:黑板上剩下的數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?為什么? 課后練習(xí)答案 1.有。 解:當(dāng)n=2時(shí),方程x1+x2=x1x2有一個(gè)自然數(shù)解:x1=2,x2=2; 當(dāng)n=3時(shí),方程x1+x2+x3=x1x2x3有一個(gè)自然數(shù)解:x1=1,x2=2,x3=3; 當(dāng)n=4時(shí),方程x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4有一個(gè)自然數(shù)解:x1=1,x2=1,x3=2,x4=4。 一般地,方程 x1+x2+x3+…+xn-1+xn=x1x2x3…xn-1xn有一個(gè)自然數(shù)解:x1=1,x2=1,…,xn-2=1,xn-1=2,xn=n。 2.3508。 解:仿例3。當(dāng)有3n個(gè)數(shù)時(shí),留下的數(shù)是1號(hào)。 小于8899的形如3n的數(shù)是38=6561,故從1號(hào)開始按規(guī)則劃數(shù),劃了8899-6561=2338(個(gè))數(shù)后,還剩下6561個(gè)數(shù)。下一個(gè)要?jiǎng)澋舻臄?shù)是238823+1=3507,故最后留下的就是3508。 3.1024。 解:質(zhì)數(shù)a1有2個(gè)約數(shù):1和a,從而A(a1)=2; 2個(gè)質(zhì)數(shù)a1,a2的積有4個(gè)約數(shù):1,a1,a2,a1a2,從而 3個(gè)質(zhì)數(shù)a1,a2,a3的積有8個(gè)約數(shù): 1,a1,a2,a3,a1a2,a2a3,a3a1,a1a2a3, 從而A(a1a2a3)=8=23; …… 于是,10個(gè)質(zhì)數(shù)a1,a2,…,a10的積的約數(shù)個(gè)數(shù)為 A(x)=210=1024。 4.存在。 提示:如果一個(gè)三角形內(nèi)還有別的點(diǎn),那么這個(gè)點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)還能連結(jié),與已“不能再連結(jié)”矛盾。 5.有。 解:設(shè)A和B兩人是距離最近的兩個(gè)小朋友,顯然他們應(yīng)該互射。此時(shí)如果有其他的小朋友射向他們中的一個(gè),即A,B中有一人挨了兩槍,那么其他三人中必然有一人身上是干的。如果沒有其他的小朋友射向A或B,那么我們?cè)倏紤]剩下的三個(gè)人D,E,F(xiàn):若D,E的距離是三人中最近的,則D,E互射,而F必然射向他們之間的一個(gè),此時(shí)F身上是干的。 6.假設(shè)沒有4只猴子分的花生一樣多,那么至多3只猴子分的花生一樣多。我們從所需花生最少情況出發(fā)考慮: 得1粒、2粒、3?!?2粒的猴子各有3只,得33?;ㄉ暮镒佑?只,于是100只猴子最少需要分得花生 3(0+1+2+…+32)+33=1617(粒), 現(xiàn)在只有1600粒花生,無法使得至多3只猴子分的花生一樣多,故至少有4只猴子分的花生一樣多。 7.一樣多。 提示:從整體看,甲、乙兩桶所裝的液體的體積沒有發(fā)生變化。甲桶里有多少酒精,就必然倒出了同樣體積的牛奶入乙桶。所以,甲桶中的酒精和乙桶中的牛奶一樣多。 8.奇數(shù)。 解:黑板上開始時(shí)所有數(shù)的和為 S=1+2+3+…+xx=1997001, 是一個(gè)奇數(shù),而每一次“操作”,將(a+b)變成了(a-b),實(shí)際上減少了2b,即減少了一個(gè)偶數(shù)。因?yàn)閺恼w上看,總和減少了一個(gè)偶數(shù),其奇偶性不變,所以最后黑板上剩下一個(gè)奇數(shù)。 例題答案: 1.分析與解:如果桌子大小只能容納一枚硬幣,那么先放的人當(dāng)然能夠取勝。然后設(shè)想桌面變大,注意到長方形有一個(gè)對(duì)稱中心,先放者將第一枚硬幣放在桌子的中心,繼而把硬幣放在后放者所放位置的對(duì)稱位置上,這樣進(jìn)行下去,必然輪到先放者放最后一枚硬幣。 2.分析:從最簡單的情況考慮:如果中間的1996個(gè)點(diǎn)全部染成紅色,這時(shí)異色線段只有1條,是一個(gè)奇數(shù)。然后我們對(duì)這種染色方式進(jìn)行調(diào)整:將某些紅點(diǎn)改成藍(lán)點(diǎn)并注意到顏色調(diào)整時(shí),異色線段的條數(shù)隨之有哪些變化。由于顏色的調(diào)整是任意的,因此與條件中染色的任意性就一致了。 解:如果中間的1996個(gè)點(diǎn)全部染成紅色,這時(shí)異色線段僅有1條,是一個(gè)奇數(shù)。將任意一個(gè)紅點(diǎn)染成藍(lán)色時(shí),這個(gè)改變顏色的點(diǎn)的左右兩側(cè)相鄰的兩個(gè)點(diǎn)若同色,則異色小線段的條數(shù)或者增加2條(相鄰的兩個(gè)點(diǎn)同為紅色),或者減少2條(相鄰的兩個(gè)點(diǎn)同為藍(lán)色);這個(gè)改變顏色的點(diǎn)的左右兩側(cè)相鄰的兩個(gè)點(diǎn)若異色,則異色小線段的條數(shù)不變。 綜上所述,改變?nèi)我鈧€(gè)點(diǎn)的顏色,異色線段的條數(shù)的改變總是一個(gè)偶數(shù),從而異色線段的條數(shù)是一個(gè)奇數(shù)。 3.分析:這個(gè)問題與上一講練習(xí)中的第8題非常相似,只不過本例是報(bào)1的離開報(bào)2的留下,而上講練習(xí)中相當(dāng)于報(bào)1的留下報(bào)2的離開,由上講練習(xí)的結(jié)果可以推出本例的答案。本例中編號(hào)為1的學(xué)生離開后還剩999人,此時(shí),如果原來報(bào)2的全部改報(bào)1并留下,原來報(bào)1的全部改報(bào)2并離開,那么,問題就與上講練習(xí)第8題完全一樣了。因?yàn)槭O?99人時(shí),第1人是2號(hào),所以最后剩下的人的號(hào)碼應(yīng)比上講練習(xí)中的大1,是 975+1=976(號(hào))。 為了加深理解,我們重新解這道題。 解:如果有2n個(gè)人,那么報(bào)完第1圈后,剩下的是2的倍數(shù)號(hào);報(bào)完第2圈后,剩下的是22的倍數(shù)號(hào)……報(bào)完第n圈后,剩下的是2n的倍數(shù)號(hào),此時(shí),只剩下一人,是2n號(hào)。 如果有(2n+d)(1≤d<2n)人,那么當(dāng)有d人退出圈子后還剩下2n人。因?yàn)橄乱粋€(gè)該退出去的是(2d+1)號(hào),所以此時(shí)的第(2d+1)號(hào)相當(dāng)于2n人時(shí)的第1號(hào),而2d號(hào)相當(dāng)于2n人時(shí)的第2n號(hào),所以最后剩下的是第2d號(hào)。 由1000=29+488知,最后剩下的學(xué)生的編號(hào)是 4882=976(號(hào))。 4.分析與解:先考慮每行每列都有一格涂紅,比較方便的涂法是在一條對(duì)角線上涂6格紅色的,如圖1。 任意劃掉3行3列,可以設(shè)想劃行劃列的原則是:每次劃掉紅格的個(gè)數(shù)越多越好。對(duì)于圖1,劃掉3行去掉3個(gè)紅格,還有3個(gè)紅格恰在3列中,再劃掉3列就不存在紅格了。 所以,必然有一些行有一些列要涂2個(gè)紅格,為了盡可能地少涂紅格,那么每涂一格紅色的,一定要使多出一行同時(shí)也多出一列有兩格紅色的。 先考慮有3行中有2格涂紅,如圖2。顯然,同時(shí)也必然有3個(gè)列中也有2格涂紅。這時(shí),我們可以先劃掉有2格紅色的3行,還剩下3行,每行上只有一格涂紅,每列上也只有一格涂紅,那么在劃掉帶紅格的3列就沒有紅格了。 為了使得至少余下一個(gè)紅格,只要再涂一格。此紅格要使圖中再增加一行和一列有兩個(gè)紅格的,如圖3。 結(jié)論是:至少需要涂紅10個(gè)方格。 5. 解:從最不利的極端情況考慮:打開第一個(gè)房間要20次,打開第二個(gè)房間需要19次……共計(jì)最多要開 20+19+18+…+1=210(次)。 6. 解:從極端情況觀察入手,設(shè)B是勝的次數(shù)最多的一個(gè)選手,但因B沒獲全勝,故必有選手A勝B。在敗給B的選手中,一定有一個(gè)勝A的選手C,否則,A勝的次數(shù)就比B多一次了,這與B是勝的次數(shù)最多的矛盾。 所以,一定能夠找到三名選手A,B,C,使得A勝B,B勝C,C勝A。 7. 證明:如果去掉選手H,能使余下的選手中,任意兩個(gè)選手已賽過的對(duì)手仍然都不完全相同,那么我們稱H為可去選手。我們的問題就是要證明存在可去選手。 設(shè)A是已賽過對(duì)手最多的選手。 若不存在可去選手,則A不是可去選手,故存在選手B和C,使當(dāng)去掉A時(shí),與B賽過的選手和與C賽過的選手相同。從而B和C不可能賽過,并且B和C中一定有一個(gè)(不妨設(shè)為B)與A賽過,而另一個(gè)(即C)未與A賽過。 又因C不是可去選手,故存在選手D,E,其中D和C賽過,而E和C未賽過。 顯然,D不是A,也不是B,因?yàn)镈與C賽過,所以D也與B賽過。又因?yàn)锽和D賽過,所以B也與E賽過,但E未與C賽過,因而選手E只能是選手A。 于是,與A賽過的對(duì)手?jǐn)?shù)就是與E賽過的對(duì)手?jǐn)?shù),他比與D賽過的對(duì)手?jǐn)?shù)少1,這與假設(shè)A是已賽過對(duì)手最多的選手矛盾。 故一定存在可去選手。 8. 解:考慮這個(gè)方格棋盤的左上角、右上角及右下角內(nèi)的數(shù)A,B,S。 設(shè)存在一個(gè)填數(shù)方案,使任意相鄰兩格中的數(shù)的差不大于4,考慮最大和最小的兩個(gè)數(shù)1和64的填法,為了使相鄰數(shù)的差不大于4,最小數(shù)1和最大數(shù)的“距離”越大越好,即把它們填在對(duì)角的位置上(A=1,S=64)。 然后,我們沿最上行和最右行來觀察:因?yàn)橄噜彅?shù)不大于4,從 A→B→S共經(jīng)過14格,所以 S≤1+414=57(每次都增加最大數(shù)4),與S=64矛盾。因而,1和64不能填在“最遠(yuǎn)”的位置上。顯然,1和64如果填在其他任意位置,那么從1到64之間的距離更近了,更要導(dǎo)致如上的矛盾。因此,不存在相鄰數(shù)之差都不大于4的情況,即不論怎樣填數(shù)必有相鄰兩數(shù)的差大于4。 9. 解:我們考察表格中填入的所有數(shù)的和的奇偶性:第一次“操作”之前,它等于9,是一個(gè)奇數(shù), 每一次“操作”,要改變一行或一列四個(gè)方格的奇偶性,顯然整個(gè)16格中所有數(shù)的和的奇偶性不變。 但當(dāng)每一格中所有數(shù)字都變成1時(shí),整個(gè)16格中所有數(shù)的和是16,為一偶數(shù)。故不能通過若干次“操作”使得每一格中的數(shù)都變成1。 10. 解:要把三堆石子都取光是不可能的。 按“操作”規(guī)則,每次拿掉的石子數(shù)的總和是3的倍數(shù),即不改變石子總數(shù)被 3除時(shí)的余數(shù)。而xx+998+98=3094,被3除余1,三堆石子被取光時(shí)總和被3除余0。所以,三堆石子都被取光是辦不到的。 11. 解:設(shè) M=max(a+b+c,b+c+d,c+d+e,d+e+f,e+f+g)。 因?yàn)閍+b+c,c+d+e,e+f+g都不大于M,所以- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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