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2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)課后提升訓(xùn)練（含解析）新人教A版選修1-1
一、選擇題(每小題5分,共40分)
1.函數(shù)f(x)=x2++2的極小值是 ( )
A.1 B.2 C.5 D.不存在
【解析】選C.f′(x)=2x-,令f′(x)=0,解得x=1,當(dāng)x∈(0,1)時函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1,+∞)時函數(shù)單調(diào)遞增,因此x=1是函數(shù)的極小值點,極小值為f(1)=5.
2.(xx涼山模擬)函數(shù)f(x)=mlnx-cosx在x=1處取得極值,則m的值為
( )
A.sin1 B.-sin1
C.cos1 D.-cos1
【解析】選B.因為f′(x)=+sinx,
由題意得:f′(1)=m+sin1=0,
所以m=-sin1.
3.函數(shù)f(x)=2-x2-x3的極值情況是 ( )
A.有極大值,沒有極小值
B.有極小值,沒有極大值
C.既無極大值也無極小值
D.既有極大值又有極小值
【解析】選D.f′(x)=-2x-3x2,令f′(x)=0有x=0或x=-.當(dāng)x<-時,f′(x)<0;當(dāng)-
0;當(dāng)x>0時,f′(x)<0.從而在x=0時,f(x)取得極大值,在x=-時,f(x)取得極小值.
4.下列說法正確的是 ( )
A.函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值大
B.函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值小
C.函數(shù)f(x)=|x|只有一個極小值
D.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上一定存在極值
【解析】選C.函數(shù)的極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系,單調(diào)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上沒有極值,故A,B,D錯誤,C正確,函數(shù)f(x)=|x|只有一個極小值為0.
5.若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1處有極值,則+的最小值為
( )
A. B. C. D.
【解析】選C.因為函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1處有極值,所以f′(1)
=12-2a-2b=0,即a+b=6,則+=(a+b)=≥=(當(dāng)且僅當(dāng)=且a+b=6,即a=2b=4時取“=”).
6.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則a的取值范圍為 ( )
A.(-1,2)
B.(-3,6)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.(-∞,-3)∪(6,+∞)
【解析】選D.f′(x)=3x2+2ax+(a+6),因為f(x)既有極大值又有極小值,那么
Δ=(2a)2-43(a+6)>0,解得a>6或a<-3.
7.(xx廣州高二檢測)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(sinx-cosx)(0≤x≤xxπ),則函數(shù)f(x)的各極大值之和為 ( )
A. B.
C. D.
【解析】選D.由題意,得
f′(x)=(ex)′(sinx-cosx)+ex(sinx-cosx)′
=2exsinx,所以x∈(2kπ,2kπ+π)時f(x)遞增,
x∈(2kπ+π,2kπ+2π)時,f(x)遞減,
故當(dāng)x=2kπ+π時,f(x)取極大值,
其極大值為
f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)-cos(2kπ+π)]
=e2kπ+π,
又0≤x≤xxπ,
所以函數(shù)f(x)的各極大值之和為
S=eπ+e3π+e5π+…+exxπ=
=
8.已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且滿足f(x)+xf′(x)=,f(e)=,則下列結(jié)論正確的是 ( )
A.f(x)有極大值無極小值
B.f(x)有極小值無極大值
C.f(x)既有極大值又有極小值
D.f(x)沒有極值
【解析】選D.因為f(x)+xf′(x)=,
所以[xf(x)]′=,
所以xf(x)=(lnx)2+c.又因為f(e)=,
所以e=(lne)2+c,解得c=,
所以f(x)=[(lnx)2+1],
f′(x)=
=≤0,
所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),
所以f(x)在(0,+∞)上沒有極值.
二、填空題(每小題5分,共10分)
9.(xx銀川高二檢測)函數(shù)f(x)=x3-x4在區(qū)間上的極值點為 .
【解析】因為f(x)=x3-x4,所以f′(x)=x2-x3=-x2(x-1),令f′(x)=0,則x=0或x=1,因為x∈,所以x=1,并且在x=1左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,所以函數(shù)f(x)=x3-x4在區(qū)間上的極值點為1.
答案:1
【警示誤區(qū)】函數(shù)的極值點都是其導(dǎo)數(shù)等于0的根,但須注意導(dǎo)數(shù)等于0的根不一定都是極值點,應(yīng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)圖象分析再下結(jié)論是不是其極值點.
10.已知函數(shù)f(x)=x4+9x+5,則f(x)的圖象在(-1,3)內(nèi)與x軸的交點的個數(shù)為 .
【解析】因為f′(x)=4x3+9,當(dāng)x∈(-1,3)時,f′(x)>0,所以f(x)在(-1,3)上單調(diào)遞增,又f(-1)=-3<0,f(0)=5>0,所以f(x)在(-1,3)內(nèi)與x軸只有一個交點.
答案:1個
三、解答題(每小題10分,共20分)
11.已知函數(shù)y=x3+3ax2+3bx+c在x=2處有極值,且其圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)求函數(shù)的極大值與極小值的差.
【解析】y′=3x2+6ax+3b,因為x=2是函數(shù)的極值點,
所以12+12a+3b=0,
即4+4a+b=0.①
又圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行,
所以y′|x=1=3+6a+3b=-3,
即2a+b+2=0.②
由①②解得a=-1,b=0.
此時,y′=3x2-6x=3x(x-2).
(1)令y′>0,得x(x-2)>0,所以x<0或x>2;
令y′<0,得x(x-2)<0,所以00,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.
當(dāng)a>0,x∈時,g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,
x∈時,g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.
綜上:當(dāng)a≤0時,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).
當(dāng)a>0時,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為,
函數(shù)g(x)單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)由(1)知f′(1)=0.
①當(dāng)a≤0,f′(x)單調(diào)遞增,所以
x∈時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
x∈時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意.
②當(dāng)01時,由(1)知f′(x)在內(nèi)單調(diào)遞增,
所以x∈時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
x∈時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意.
③當(dāng)a=,=1時,f′(x)在內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以x∈時,f′(x)≤0,f(x)單調(diào)遞減,不合題意.
④當(dāng)a>,0<<1時,x∈,f′(x)>0,
f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
所以f(x)在x=1處取得極大值,符合題意.
綜上可知a>.
【補償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=x3-bx2+2cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.
(1)求b的值.
(2)若函數(shù)f(x)無極值,求c的取值范圍.
【解析】(1)f′(x)=3x2-2bx+2c,
因為函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,
所以-=2,即b=6.
(2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+2cx,
f′(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,
當(dāng)2c-12≥0,即c≥6時,f′(x)≥0恒成立,此時函數(shù)f(x)無極值.
【能力挑戰(zhàn)題】
已知函數(shù)f(x)=(c>0且c≠1,k∈R)恰有一個極大值點和一個極小值點,其中一個是x=-c.
(1)求函數(shù)f(x)的另一個極值點.
(2)求函數(shù)f(x)的極大值M和極小值m,并求M-m≥1時k的取值范圍.
【解析】(1)f′(x)=
=,
由題意知f′(-c)=0,即得c2k-2c-ck=0,(*)
因為c≠0,所以k≠0.
由f′(x)=0得-kx2-2x+ck=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系知另一個極值點為x=1(或x=c-).
(2)由(*)式得k=,即c=1+.
當(dāng)c>1時,k>0;當(dāng)00時,
f(x)在(-∞,-c)和(1,+∞)內(nèi)是減函數(shù),
在(-c,1)內(nèi)是增函數(shù).
所以M=f(1)==>0,
m=f(-c)==<0,
由M-m=+≥1及k>0,
解得k≥.
(ii)當(dāng)k<-2時,f(x)在(-∞,-c)和(1,+∞)內(nèi)是增函數(shù),在(-c,1)內(nèi)是減函數(shù).
所以M=f(-c)=>0,m=f(1)=<0,
M-m=-=1-≥1恒成立.
綜上可知,所求k的取值范圍為(-∞,-2)∪[,+∞).
2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)課后提升訓(xùn)練（含解析）新人教A版選修1-1.doc
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