2019年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.1 拋物線及其標準方程學業(yè)分層測評（含解析）北師大版選修1-1.doc

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2019年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.1 拋物線及其標準方程學業(yè)分層測評（含解析）北師大版選修1-1 一、選擇題 1．(xx宜昌高二檢測)如果拋物線y2＝ax的準線是直線x＝1，那么它的焦點坐標為(　　) A．(1,0)　　　　　　 B．(2,0) C．(3,0) D．(－1,0) 【解析】　由準線方程x＝1可得a＝－4，所以焦點坐標為(－1,0)． 【答案】　D 2．到直線x＝2與到定點P(2,0)的距離相等的點的軌跡是(　　) A．拋物線 B．圓 C．橢圓 D．直線 【解析】　法一：根據(jù)拋物線的定義判斷，首先要看點P與直線的位置關(guān)系．點P(2,0)在直線x＝2上，故軌跡不是拋物線，而是經(jīng)過點P(2,0)且垂直于直線x＝2的一條直線． 法二：設(shè)動點M(x，y)，則有＝|x－2|，所以y2＝0，即y＝0，表示的是x軸這條直線．故選D. 【答案】　D 3．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為(　　) A. B．1 C．2 D．4 【解析】　由已知，可知拋物線的準線x＝－與圓(x－3)2＋y2＝16相切．圓心為(3,0)，半徑為4，圓心到直線的距離d＝3＋＝4，解得p＝2. 【答案】　C 4．(xx全國卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 【解析】　由拋物線方程y2＝x，知p＝，又因為|AF|＝x0＋＝x0＋＝x0，所以得x0＝1. 【答案】　A 5．已知F為拋物線x2＝2py(p>0)的焦點，M為其上一點，且|MF|＝2p，則直線MF的斜率為(　　) A．－ B． C．－ D． 【解析】　由題意，得F，準線為y＝－. 過點M作MN垂直于準線于N，過F作FQ垂直于MN于Q，則|MN|＝|MF|＝2p，|MQ|＝p.故∠MFQ＝30. 即直線MF的傾斜角為150或30，斜率為－或. 【答案】　B 二、填空題 6．拋物線y2＝2px過點M(2,2)，則點M到拋物線準線的距離為________． 【解析】　因為y2＝2px過點M(2,2)，于是p＝1，所以點M到拋物線準線的距離為2＋＝. 【答案】　 7．一動圓的圓心在拋物線y2＝8x上，并且動圓恒與直線x＋2＝0相切，則動圓必過定點________． 【解析】　直線x＋2＝0是拋物線y2＝8x的準線，根據(jù)拋物線的定義，動圓必過焦點(2,0)． 【答案】　(2,0) 8．若動圓與圓(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，則動圓圓心的軌跡方程是________． 【解析】　設(shè)動圓的半徑為r，圓心O′(x，y)，且O′到點(2,0)的距離為r＋1，O′到直線x＝－1的距離為r，所以O(shè)′到(2,0)的距離與到直線x＝－2的距離相等，由拋物線的定義知y2＝8x. 【答案】　y2＝8x 三、解答題 9．(1)求過點P(2，－4)的拋物線的標準方程； (2)拋物線的焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線相交于點A，|AF|＝5，求拋物線的標準方程. 【解】　(1)∵P(2，－4)在第四象限且坐標軸是對稱軸， ∴設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)． 將P點的坐標代入，得p＝4或p＝. ∴所求拋物線的方程為y2＝8x或x2＝－y. (2)設(shè)所求焦點在x軸上的拋物線的標準方程為： y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)． 則由拋物線的定義得5＝|AF|＝ 又(－3)2＝2pm.所以，p＝1或p＝9. 故所求拋物線的方程為y2＝2x或y2＝18x. 10．求與圓(x－3)2＋y2＝9外切，且與y軸相切的動圓圓心的軌跡方程． 【解】　設(shè)定圓圓心M(3,0)，半徑r＝3，動圓圓心P(x，y)，半徑為R，則由已知得下列等式 ∴|PM|＝|x|＋3. 當x>0時，上式幾何意義為點P到定點M的距離與它到直線x＝－3的距離相等， ∴點P軌跡為拋物線，焦點M(3,0)，準線x＝－3. ∴p＝6. 拋物線方程為y2＝12x. 當x<0時，|PM|＝3－x， 動點P到定點M的距離等于動點P到直線x＝3的距離， 點P軌跡為x軸負半軸， ∴所求軌跡方程為y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)． [能力提升] 1．已知點A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px(p>0)的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為(　　) A．－ B．－1 C．－ D．－ 【解析】　因為拋物線C：y2＝2px的準線為x＝－，且點A(－2,3)在準線上，故－＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦點F的坐標為(2,0)，這時直線AF的斜率kAF＝＝－. 【答案】　C 2．從拋物線y2＝4x上一點P引拋物線準線的垂線，垂足為M，且|PM|＝5，設(shè)拋物線的焦點為F，則△MPF的面積為(　　) A．5 B．10 C．20 D． 【解析】　由拋物線方程y2＝4x，易得拋物線的準線l的方程為x＝－1，又由|PM|＝5，可得點P的橫坐標為4，代入y2＝4x，可求得其縱坐標為4，故S△MPF＝54＝10，選B. 【答案】　B 3．設(shè)拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝________. 【解析】　如圖所示，直線AF的方程為y＝－(x－2)，與準線方程x＝－2聯(lián)立得A(－2,4)． 設(shè)P(x0,4)，代入拋物線y2＝8x，得8x0＝48， ∴x0＝6， ∴|PF|＝x0＋2＝8. 【答案】　8 4．如圖221，已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4，且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M. 圖221 (1)求拋物線方程； (2)過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標． 【解】　(1)拋物線y2＝2px的準線為x＝－， 于是，4＋＝5，p＝2. 所以拋物線方程為y2＝4x. (2)因為點A的坐標是(4,4)， 由題意得B(0,4)，M(0,2)． 又F(1,0)，所以kAF＝. 因為MN⊥FA，所以kMN＝－. 則FA的方程為y＝(x－1)， MN的方程為y＝－x＋2. 解方程組得 所以N .