2019-2020年高二數(shù)學(xué)上 7.4《數(shù)學(xué)歸納法解題》學(xué)案 滬教版.doc
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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上 7.4《數(shù)學(xué)歸納法解題》學(xué)案 滬教版 數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.類比與猜想是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想,抽象與概括,從特殊到一般是應(yīng)用的一種主要思想方法. ●難點(diǎn)磁場 (★★★★)是否存在a、b、c使得等式122+232+…+n(n+1)2=(an2+bn+c). ●案例探究 [例1]試證明:不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,當(dāng)n>1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí),均有:an+cn>2bn. 命題意圖:本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,屬★★★★級題目. 知識依托:等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟. 錯(cuò)解分析:應(yīng)分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立,不應(yīng)只證明一種情況. 技巧與方法:本題中使用到結(jié)論:(ak-ck)(a-c)>0恒成立(a、b、c為正數(shù)),從而ak+1+ck+1>akc+cka. 證明:(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列,a=,c=bq(q>0且q≠1) ∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)>2bn (2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列,則2b=a+c猜想>()n(n≥2且n∈N*) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)n=2時(shí),由2(a2+c2)>(a+c)2,∴ ②設(shè)n=k時(shí)成立,即 則當(dāng)n=k+1時(shí), (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) >(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c) >()k()=()k+1 [例2]在數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an,Sn,Sn-成等比數(shù)列. (1)求a2,a3,a4,并推出an的表達(dá)式; (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論; (3)求數(shù)列{an}所有項(xiàng)的和. 命題意圖:本題考查了數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識. 知識依托:等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明. 錯(cuò)解分析:(2)中,Sk=-應(yīng)舍去,這一點(diǎn)往往容易被忽視. 技巧與方法:求通項(xiàng)可證明{}是以{}為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式. 解:∵an,Sn,Sn-成等比數(shù)列,∴Sn2=an(Sn-)(n≥2) (*) (1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=- 由a1=1,a2=-,S3=+a3代入(*)式得:a3=- 同理可得:a4=-,由此可推出:an= (2)①當(dāng)n=1,2,3,4時(shí),由(*)知猜想成立. ②假設(shè)n=k(k≥2)時(shí),ak=-成立 故Sk2=-(Sk-) ∴(2k-3)(2k-1)Sk2+2Sk-1=0 ∴Sk= (舍) 由Sk+12=ak+1(Sk+1-),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk-) 由①②知,an=對一切n∈N成立. (3)由(2)得數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=,∴S=Sn=0. ●錦囊妙記 (1)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式 設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題,若 1P(n0)成立(奠基) 2假設(shè)P(k)成立(k≥n0),可以推出P(k+1)成立(歸納),則P(n)對一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立. (2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 具體常用數(shù)學(xué)歸納法證明:恒等式,不等式,數(shù)的整除性,幾何中計(jì)算問題,數(shù)列的通項(xiàng)與和等. ●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n),則最大的m的值為( ) A.30 B.26 C.36 D.6 2.(★★★★)用數(shù)學(xué)歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應(yīng)驗(yàn)證( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 二、填空題 3.(★★★★★)觀察下列式子:…則可歸納出_________. 4.(★★★★)已知a1=,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________,由此猜想an=_________. 三、解答題 5.(★★★★)用數(shù)學(xué)歸納法證明4+3n+2能被13整除,其中n∈N*. 6.(★★★★)若n為大于1的自然數(shù),求證:. 7.(★★★★★)已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn; (2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=loga(1+)(其中a>0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,試比較Sn與logabn+1的大小,并證明你的結(jié)論. 8.(★★★★★)設(shè)實(shí)數(shù)q滿足|q|<1,數(shù)列{an}滿足:a1=2,a2≠0,anan+1=-qn,求an表達(dá)式,又如果S2n<3,求q的取值范圍. 參考答案 難點(diǎn)磁場 解:假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立,這時(shí)令n=1,2,3,有 于是,對n=1,2,3下面等式成立 122+232+…+n(n+1)2= 記Sn=122+232+…+n(n+1)2 設(shè)n=k時(shí)上式成立,即Sk= (3k2+11k+10) 那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 = (3k2+5k+12k+24) =[3(k+1)2+11(k+1)+10] 也就是說,等式對n=k+1也成立. 綜上所述,當(dāng)a=3,b=11,c=10時(shí),題設(shè)對一切自然數(shù)n均成立. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1.解析:∵f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除. 證明:n=1,2時(shí),由上得證,設(shè)n=k(k≥2)時(shí), f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除,則n=k+1時(shí), f(k+1)-f(k)=(2k+9)3k+1-(2k+7)3k =(6k+27)3k-(2k+7)3k =(4k+20)3k=36(k+5)3k-2(k≥2) f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除,∴所求最大的m值等于36. 答案:C 2.解析:由題意知n≥3,∴應(yīng)驗(yàn)證n=3. 答案:C 二、3.解析: (n∈N*) (n∈N*) 、、、 三、5.證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),421+1+31+2=91能被13整除 (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),42k+1+3k+2能被13整除,則當(dāng)n=k+1時(shí), 42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+13 =42k+113+3(42k+1+3k+2) ∵42k+113能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除 ∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立. 由①②知,當(dāng)n∈N*時(shí),42n+1+3n+2能被13整除. 6.證明:(1)當(dāng)n=2時(shí), (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立,即 7.(1)解:設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得,∴bn=3n-2 (2)證明:由bn=3n-2知 Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+) =loga[(1+1)(1+)…(1+ )] 而logabn+1=loga,于是,比較Sn與logabn+1的大小比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小. 取n=1,有(1+1)= 取n=2,有(1+1)(1+ 推測:(1+1)(1+)…(1+)> (*) ①當(dāng)n=1時(shí),已驗(yàn)證(*)式成立. ②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)(*)式成立,即(1+1)(1+)…(1+)> 則當(dāng)n=k+1時(shí), ,即當(dāng)n=k+1時(shí),(*)式成立 由①②知,(*)式對任意正整數(shù)n都成立. 于是,當(dāng)a>1時(shí),Sn>logabn+1,當(dāng) 0<a<1時(shí),Sn<logabn+1 8.解:∵a1a2=-q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=-, ∵anan+1=-qn,an+1an+2=-qn+1 兩式相除,得,即an+2=qan 于是,a1=2,a3=2q,a5=2qn…猜想:a2n+1=-qn(n=1,2,3,…) 綜合①②,猜想通項(xiàng)公式為an= 下證:(1)當(dāng)n=1,2時(shí)猜想成立 (2)設(shè)n=2k-1時(shí),a2k-1=2qk-1則n=2k+1時(shí),由于a2k+1=qa2k-1 ∴a2k+1=2qk即n=2k-1成立. 可推知n=2k+1也成立. 設(shè)n=2k時(shí),a2k=-qk,則n=2k+2時(shí),由于a2k+2=qa2k, 所以a2k+2=-qk+1,這說明n=2k成立,可推知n=2k+2也成立. 綜上所述,對一切自然數(shù)n,猜想都成立. 這樣所求通項(xiàng)公式為an= S2n=(a1+a3…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n) =2(1+q+q2+…+qn-1)- (q+q2+…+qn) 由于|q|<1,∴= 依題意知<3,并注意1-q>0,|q|<1解得-1<q<0或0<q<- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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