2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 課時(shí)分層作業(yè) 四十八 8.4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 文.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 課時(shí)分層作業(yè) 四十八 8.4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 文 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.若過(guò)點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x-2)2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍為 (　　) A.(-,) B.[-,] C. D. 【解析】選D.設(shè)直線l方程為y=k(x-4),則由題意知,≤1,所以-≤k≤. 2.設(shè)圓M的方程為(x-3)2+(y-2)2=2,直線L的方程為x+y-3=0,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),那么 (　　) A.點(diǎn)P在直線L上,但不在圓M上 B.點(diǎn)P在圓M上,但不在直線L上 C.點(diǎn)P既在圓M上,又在直線L上 D.點(diǎn)P既不在圓M上,也不在直線L上 【解析】選C.因?yàn)榘腰c(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線L方程,得2+1-3=0,所以點(diǎn)P在直線上,把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓M的方程,得(2-3)2+(1-2)2=2,,所以點(diǎn)P在圓M上.所以點(diǎn)P既在圓M上,又在直線L上. 【變式備選】直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為 (　　) A.相切 B.相交但直線不過(guò)圓心 C.直線過(guò)圓心 D.相離 【解析】選B.圓心為(0,0),到直線y=x+1即x-y+1=0的距離d==,而0<<1,但是圓心不在直線y=x+1上,所以直線與圓相交,但直線不過(guò)圓心. 3.已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長(zhǎng)度為4,則實(shí)數(shù)a的值是 (　　) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 【解析】選B.因?yàn)閳A心(-1,1)到直線x+y+2=0的距離為=,又截得的弦長(zhǎng)為4,所以圓的半徑為r==,所以2-a=6,所以a=-4. 【變式備選】設(shè)A,B為直線y=x與圓x2+y2=1的兩個(gè)交點(diǎn),則|AB|= (　　) A.1 B. C. D.2 【解析】選D.直線y=x過(guò)圓x2+y2=1的圓心C(0,0),則|AB|=2. 4.已知圓C的半徑為2,圓心在x軸的正半軸上,直線3x+4y+4=0與圓C相切,則圓C的方程為 (　　) A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0 C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2-4x=0 【解析】選D.由已知可設(shè)圓心為(a,0)(a>0),因?yàn)橹本€3x+4y+4=0與圓C相切,所以=2,解得a=2,所以圓的方程為(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0. 【變式備選】直線l:y=kx+1與圓O:x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則“k=1”是“△OAB的面積為”的 (　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選A.如圖, 當(dāng)k=1時(shí),△OAB的面積為,但是當(dāng)k=-1時(shí),△OAB的面積也為,所以“k=1”是“△OAB的面積為”的充分不必要條件. 5.直線l與圓x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B兩點(diǎn),若弦AB的中點(diǎn)為(-2,3),則直線l的方程為 (　　) A.x+y-3=0 B.x+y-1=0 C.x-y+5=0 D.x-y-5=0 【解析】選C.設(shè)直線的斜率為k,又弦AB的中點(diǎn)為(-2,3),所以直線l的方程為kx-y+2k+3=0,由x2+y2+2x-4y+a=0得圓的圓心坐標(biāo)為(-1,2),所以圓心到直線的距離為,所以=,解得k=1,所以直線l的方程為x-y+5=0. 【變式備選】過(guò)點(diǎn)(-4,0)作直線l與圓x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=8,則直線l的方程為 (　　) A.5x+12y+20=0 B.5x+12y+20=0或x+4=0 C.5x-12y+20=0 D.5x-12y+20=0或x+4=0 【解析】選B.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=25, 由|AB|=8知,圓心(-1,2)到直線l的距離d=3. 當(dāng)直線l的斜率不存在,即直線l的方程為x=-4時(shí),符合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x+4),即kx-y+4k=0,則有=3,所以k=-.此時(shí)直線l的方程為5x+12y+20=0. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.已知AC,BD為圓O:x2+y2=4的兩條相互垂直的弦,垂足為M(1,),則四邊形ABCD的面積的最大值為________. 【解析】設(shè)圓心O到AC,BD的距離分別為d1,d2,則+=OM2=3. 四邊形ABCD的面積是S = |AC||BD| = 2≤8-(+)=5. 答案:5 7.直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長(zhǎng)度相等的四段弧,則a2+b2=________. 【解析】由題設(shè)可知圓心到直線的距離為==,所以a2+b2=2. 答案:2 8.過(guò)原點(diǎn)O作圓x2+y2-6x-8y+20=0的兩條切線,設(shè)切點(diǎn)分別為P,Q,則線段PQ的長(zhǎng)為________. 【解析】由已知得圓的方程是(x-3)2+(y-4)2=5,如圖, 又由圓的切線性質(zhì)得|CP|=,|CO|=5, 得|PO|=2,因?yàn)镻Q⊥CO, 所以|PA||OC|=|CP||OP|,所以|PA|=2,所以|PQ|=4. 答案:4 【變式備選】直線l1和l2是圓x2+y2=2的兩條切線.若l1與l2的交點(diǎn)為(1,3),則l1與l2的夾角的正切值等于________. 【解析】如圖, 設(shè)A,B是切點(diǎn),所以l1與l2的夾角的正切值為tan 2∠APO===. 答案: 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.已知點(diǎn)A(1,a),圓x2+y2=4. (1)若過(guò)點(diǎn)A的圓的切線只有一條,求a的值及切線方程. (2)若過(guò)點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2,求a的值. 【解析】(1)由于過(guò)點(diǎn)A的圓的切線只有一條, 則點(diǎn)A在圓上,故12+a2=4,所以a=. 當(dāng)a=時(shí),A(1,),易知所求切線方程為x+y-4=0; 當(dāng)a=-時(shí),A(1,-),易知所求切線方程為x-y-4=0. (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線方程為x+y=b,則1+a=b,即a=b-1, 又圓心(0,0)到直線x+y=b的距離d=, 所以+=4,則b=, 因此a=b-1=-1. 10.已知定點(diǎn)M(0,2),N(-2,0),直線l:kx-y-2k+2=0(k為常數(shù)). (1)若點(diǎn)M,N到直線l的距離相等,求實(shí)數(shù)k的值. (2)對(duì)于l上任意一點(diǎn)P,∠MPN恒為銳角或零角,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)M,N到直線l的距離相等, 所以l∥MN或l過(guò)MN的中點(diǎn). 因?yàn)镸(0,2),N(-2,0),所以直線MN的斜率kMN=1, MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為C(-1,1).又因?yàn)橹本€l:kx-y-2k+2=0過(guò)定點(diǎn)D(2,2), 所以當(dāng)l∥MN時(shí),k=kMN=1;l過(guò)MN的中點(diǎn)時(shí), k=. 綜上可知,k的值為1或. (2)因?yàn)閷?duì)于l上任意一點(diǎn)P,∠MPN恒為銳角, 所以l與以MN為直徑的圓相離,即圓心(-1,1)到直線l的距離大于半徑, 所以d=>,解得k<-或k>1. 1.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線3x+4y-5=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長(zhǎng)等于 (　　) A.3 B.2 C. D.1 【解析】選B.圓心(0,0)到直線3x+4y-5=0的距離為d==1,所以弦AB的長(zhǎng)等于2=2. 【變式備選】過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長(zhǎng)為 (　　) A. B.2 C. D.2 【解析】選D. x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4, 所以A(0,2),OA=2,A到直線ON的距離是1, 所以O(shè)N=,所以弦長(zhǎng)為2. 2.(5分)若圓(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的距離為1,則半徑長(zhǎng)r的取值范圍是 (　　) A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6] 【解析】選A.因?yàn)閳A心(3,-5)到直線的距離為d==5,所以滿足題意的半徑r的取值范圍是(4,6). 3.(5分)在圓x2+y2-2x-6y=0內(nèi),過(guò)點(diǎn)E(0,1)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD,則四邊形ABCD的面積為 (　　) A.5 B.10 C.15 D.20 【解析】選B.圓x2+y2-2x-6y=0的圓心為M(1,3),半徑為,因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)E(0,1)的最長(zhǎng)弦AC為圓的直徑,所以|AC|=2,最短的弦BD垂直于AC,且E為BD的中點(diǎn),如圖, |ME|=,|MB|=,所以|BE|=,所以弦長(zhǎng)|BD|=2,所以四邊形ABCD的面積為|AC||BD|=22=10. 【變式備選】已知圓M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直線l:y=kx,下面四個(gè)命題: ①對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ,直線l和圓M相切; ②對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ,直線l和圓M有公共點(diǎn); ③對(duì)任意實(shí)數(shù)θ,必存在實(shí)數(shù)k,使得直線l與圓M相切; ④對(duì)任意實(shí)數(shù)k,必存在實(shí)數(shù)θ,使得直線l與圓M相切. 其中真命題的序號(hào)是________________. 【解析】圓心坐標(biāo)為(-cos θ,sin θ),d== =|sin(θ+φ)|≤1.②④正確. 答案:②④ 4.(12分)已知半徑為5的動(dòng)圓C的圓心在直線l:x-y+10=0上. (1)若動(dòng)圓C過(guò)點(diǎn)(-5,0),求圓C的方程. (2)是否存在正實(shí)數(shù)r,使得動(dòng)圓C滿足與圓O:x2+y2=r2相外切的圓有且僅有一個(gè)?若存在,請(qǐng)求出r;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】(1)依題意可設(shè)動(dòng)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=25,其中(a,b)滿足a-b+10=0. 又因?yàn)閯?dòng)圓C過(guò)點(diǎn)(-5,0),故(-5-a)2+(0-b)2=25. 解方程組 得或 故所求圓C的方程為(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25. (2)圓O的圓心(0,0)到直線l的距離d==5. 當(dāng)r滿足r+5d,即r>5-5時(shí),與圓O:x2+y2=r2相外切的圓有兩個(gè). 綜上,當(dāng)r=5-5時(shí),動(dòng)圓C中滿足與圓O:x2+y2=r2相外切的圓有且僅有一個(gè). 5.(13分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4,設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上. (1)若圓心C也在直線y=x-1上,過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程. (2)若圓C上存在點(diǎn)M,使|MA|=2|MO|,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍. 【解析】(1)由 得圓心C為(3,2),因?yàn)閳AC的半徑為 1,所以圓C的方程為:(x-3)2+(y-2)2=1, 顯然切線的斜率一定存在,設(shè)所求圓C的切線方程為y=kx+3,即kx-y+3=0, 所以=1,所以|3k+1|=,所以2k(4k+3)=0,所以k=0或k=-, 所以所求圓C的切線方程為:y=3或y=-x+3,即y=3或3x+4y-12=0. (2)因?yàn)閳AC的圓心在直線l:y=2x-4上,所以,設(shè)圓心C為(a,2a-4) , 則圓C的方程為:(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1, 又因?yàn)閨MA|=2|MO|,所以設(shè)M為(x,y),則=2,整理得:x2+(y+1)2=4,設(shè)為圓D, 所以點(diǎn)M應(yīng)該既在圓C上又在圓D上,即:圓C和圓D有交點(diǎn), 所以|2-1|≤≤|2+1|, 由5a2-12a+8≥0得a∈R, 由5a2-12a≤0得0≤a≤, 綜上所述,a的取值范圍為.