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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 平面向量的數(shù)量積（含解析）
1、 (1)(xx威海期末考試)已知a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)，則ab＝( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)(xx江西卷)設(shè)e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，則向量a在b方向上的射影為________．
解析 (1)∵a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)
∴b＝2a－(3,1)＝2(1,2)－(3,1)＝(－1,3)．
∴ab＝(1,2)(－1,3)＝－1＋23＝5.
(2)由于a＝e1＋3e2，b＝2e1，
所以|b|＝2，ab＝(e1＋3e2)2e1＝2e＋6e1e2
＝2＋6＝5，
所以a在b方向上的射影為|a|cos
＝＝.
答案 (1)D (2)
2、 (1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)滿足條件(8a－b)c＝30，則x＝( )．
A．6 B．5 C．4 D．3
(2)(xx山東卷)已知向量與的夾角為120，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為______．
解析 (1)8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，
所以(8a－b)c＝(6,3)(3，x)＝30，
即18＋3x＝30，解得x＝4.故選C.
(2)∵⊥，∴＝0，
∴(λ＋)＝0，即(λ＋)(－)＝(λ－1)－λ2＋2＝0.
∵向量與的夾角為120，||＝3，||＝2，
∴(λ－1)||||cos 120－9λ＋4＝0，解得λ＝.
答案 (1)C (2)
3.向量a＝(1,2)，b＝(0,2)，則ab＝( )．
A．2 B．(0,4) C．4 D．(1,4)
解析 ab＝(1,2)(0,2)＝10＋22＝4.
答案 C
4．在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD＝120，則在方向上的投影為( )．
A. B. C．1 D．2
解析 如圖所示，在方向上的投影為||cos 60＝2＝1.
答案 C
5．已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)．若a＋2b與c垂直，則k＝( )．
A．－3 B．－2 C．－1 D．1
解析 由題意知(a＋2b)c＝0，即ac＋2bc＝0.
所以k＋＋2＝0，解得k＝－3.
答案 A
6．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，且(2a＋b)b＝0，則向量a，b的夾角為( )．
A. B. C. D.
解析 由(2a＋b)b＝0，得2ab＋|b|2＝0.
∴2|b|2cos＋|b|2＝0，∴cos＝－，
又∈[0，π]，∴＝.
答案 A
7．(xx新課標(biāo)全國Ⅰ卷)已知兩個單位向量a，b的夾角為60，c＝ta＋(1－t)b.若bc＝0，則t＝________.
解析 bc＝b[ta＋(1－t)b]＝tab＋(1－t)b2
＝t|a||b|cos 60＋(1－t)|b|2
＝＋1－t＝1－.
由bc＝0，得1－＝0，所以t＝2.
答案 2
8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知＝(3，－1)，＝(0,2)．若＝0，＝λ，則實(shí)數(shù)λ的值為________．
解析 設(shè)C(x，y)，則＝(x，y)，又＝－＝(0,2)－(3，－1)＝(－3,3)，所以＝－3x＋3y＝0，解得x＝y(tǒng).又＝(x－3，y＋1)＝λ(0,2)，得結(jié)合x＝y(tǒng)，解得λ＝2.
答案 2
9.(xx濰坊二模)如圖，在△ABC中，O為BC中點(diǎn)，若AB＝1，AC＝3，<，>＝60，則||＝________.
解析 因?yàn)?，>＝60，所以＝||||cos 60＝13＝，又＝，所以2＝(＋)2＝(2＋2＋2)，即2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝.
答案
考點(diǎn)：向量的夾角與向量的模
1、(1)若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________．
(2)已知向量a，b滿足ab＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝________.
解析 (1)等式平方得|a|2＝9|b|2
＝|a|2＋4|b|2＋4ab，
則|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4|a||b|cos θ，
即0＝4|b|2＋43|b|2cos θ，
得cos θ＝－.
(2)因?yàn)閨2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2＋b2－4ab＝4a2＋b2＝4＋4＝8，故|2a－b|＝2.
答案 (1)－ (2)2
2、已知向量a，b夾角為45，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________.
(2)若平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|≤1，且以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為，則a和b的夾角θ的取值范圍是________．
解析 (1)由|2a－b|＝平方得，
4a2－4ab＋b2＝10，
即|b|2－4|b|cos 45＋4＝10，
亦即|b|2－2|b|－6＝0，
解得|b|＝3或|b|＝－(舍去)．
(2)依題意有|a||b|sin θ＝，
即sin θ＝，由|b|≤1，得
≤sin θ≤1，又0≤θ≤π，
故有≤θ≤.
答案 (1)3 (2)
3．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解 (1)若a⊥b，
則ab＝1(2x＋3)＋x(－x)＝0.
整理得x2－2x－3＝0，故x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，則有1(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
當(dāng)x＝0時，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，
∴|a－b|＝＝2.
當(dāng)x＝－2時，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，
∴|a－b|＝2.
綜上，可知|a－b|＝2或2.
4．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61，
(1)求a與b的夾角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面積．
解 (1)∵(2a－3b)(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4ab－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4ab－27＝61，
∴ab＝－6.∴cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2ab＋|b|2
＝42＋2(－6)＋32＝13，
∴|a＋b|＝.
(3)∵與的夾角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝43＝3.
5．(xx青島一模)若兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a＋b與a的夾角為( )．
A. B. C. D.
解析 由|a＋b|＝|a－b|，得a2＋2ab＋b2＝a2－2ab＋b2，即ab＝0，所以(a＋b)a＝a2＋ab＝|a|2.
故向量a＋b與a的夾角θ的余弦值為
cos θ＝＝＝.所以θ＝.
答案 B
6．設(shè)兩向量e1，e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夾角為60，若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解 由已知得e＝4，e＝1，e1e2＝21cos 60＝1.
∴(2te1＋7e2)(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1e2＋7te＝2t2＋15t＋7.
欲使夾角為鈍角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.
設(shè)2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，
∴∴2t2＝7.
∴t＝－，此時λ＝－.
即t＝－時，向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為π.
∴當(dāng)兩向量夾角為鈍角時，t的取值范圍是
∪.
考點(diǎn)：向量的垂直關(guān)系
1、已知平面向量a＝(，－1)，b＝.
(1)證明：a⊥b；
(2)若存在不同時為零的實(shí)數(shù)k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，試求函數(shù)關(guān)系式k＝f(t)．
(1)證明 ∵ab＝－1＝0，∴a⊥b.
(2)解 ∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，
∴cd＝[a＋(t2－3)b](－ka＋tb)
＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]ab＝0.
又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，ab＝0，
∴cd＝－4k＋t3－3t＝0，
∴k＝f(t)＝(t≠0)．
考點(diǎn)：坐標(biāo)法的應(yīng)用
1、 (xx上海卷)在矩形ABCD中，設(shè)AB，AD的長分別為2,1.若M，N分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且滿足＝，則的取值范圍是________．
解：如圖，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)，
設(shè)＝＝k(0≤k≤1)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，k)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2－2k,1)，
則＝(2，k)，＝(2－2k,1)，＝2(2－2k)＋k＝4－3k，而0≤k≤1，故1≤4－3k≤4.
答案 [1,4]
2、(xx江蘇卷)如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若＝，則的值是________．
解析：以A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(xiàn)(x,2)，∴＝(x,2)，＝(，0)，＝(，1)，＝(x－，2)，∴＝x＝，解得x＝1，∴F(1,2)，∴＝.
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