2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.7解三角形應(yīng)用舉例教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.7解三角形應(yīng)用舉例教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　考查利用正弦定理、余弦定理解決實際問題中和三角形有關(guān)的角度、方向、距離等測量問題． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.會從實際問題抽象中解三角形問題，培養(yǎng)建模能力；2.掌握解三角形實際應(yīng)用的基本方法，體會數(shù)學(xué)在實際問題中的應(yīng)用． 1． 用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型 測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等． 2． 實際問題中的常用角 (1)仰角和俯角 與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖①)． (2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西45等． (3)方位角 指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)． (4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值． 3． 解三角形應(yīng)用題的一般步驟 (1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系． (2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型． (3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解． (4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等． [難點正本　疑點清源] 解三角形應(yīng)用題的兩種情形 (1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的 三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解． 1． 在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60，C點的俯角是70，則∠BAC＝________. 答案　130 解析　由已知∠BAD＝60，∠CAD＝70， ∴∠BAC＝60＋70＝130. 2． (xx上海)在相距2千米的A，B兩點處測量目標(biāo)C，若∠CAB＝75，∠CBA＝60，則A，C兩點之間的距離是__________千米． 答案　 解析　如圖所示，由題意知∠C＝45， 由正弦定理得＝， ∴AC＝＝. 3． 江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺底部連線成30角，則兩條船相距________ m. 答案　10 解析　如圖，OA為炮臺，M、N為兩條船的位置，∠AMO＝45，∠ANO ＝60，OM＝AOtan 45＝30， ON＝AOtan 30＝30＝10， 由余弦定理得， MN＝＝＝10(m)． 4． 某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45，沿傾斜角為30的斜坡前進1 000 m后到達D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?0，則山的高度BC為____________ m. 答案　500(＋1) 解析　過點D作DE∥AC交BC于E，因為∠DAC＝30，故∠ADE＝150. 于是∠ADB＝360－150－60＝150. 又∠BAD＝45－30＝15， 故∠ABD＝15，由正弦定理得AB＝ ＝＝500(＋)(m)． 所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin 45＝500(＋1)(m)． 5． 兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的 (　　) A．北偏東10 B．北偏西10 C．南偏東10 D．南偏西10 答案　B 解析　燈塔A、B的相對位置如圖所示，由已知得∠ACB＝80， ∠CAB＝∠CBA＝50， 則α＝60－50＝10，即北偏西10. 題型一　測量距離問題 例1　要測量對岸A、B兩點之間的距離，選取相距 km的C、D兩點，并測得∠ACB＝75，∠BCD＝45，∠ADC＝30，∠ADB＝45，求A、B之間的距離． 思維啟迪：將題中距離、角度轉(zhuǎn)化到一個三角形中，再利用正、余弦定理解三角形． 解　如圖所示，在△ACD中， ∠ACD＝120，∠CAD＝∠ADC＝30， ∴AC＝CD＝ km. 在△BCD中，∠BCD＝45， ∠BDC＝75，∠CBD＝60. ∴BC＝＝. 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝()2＋2－2cos 75 ＝3＋2＋－＝5， ∴AB＝ (km)，∴A、B之間的距離為 km. 探究提高　這類實際應(yīng)用題，實質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解． 注意：①基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確；②選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng)． 如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為________米． 答案　50 解析　連接OC，在△OCD中， OD＝100， CD＝150，∠CDO＝60， 由余弦定理可得 OC2＝1002＋1502－2100150＝17 500， 解得OC＝50(米)． 題型二　測量高度問題 例2　某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0，求塔高． 思維啟迪：依題意畫圖，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進， CD＝40米，此時∠DBF＝45，從C到D沿途測塔的仰角，只有B 到測試點的距離最短時，仰角才最大，這是因為tan∠AEB＝，AB 為定值，BE最小時，仰角最大．要求出塔高AB，必須先求BE，而 要求BE，需先求BD(或BC)． 解　如圖所示，某人在C處，AB為塔高， 他沿CD前進，CD＝40，此時∠DBF＝45，過點B作BE⊥CD于E， 則∠AEB＝30， 在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30，∠DBC＝135，由正弦定理，得 ＝， ∴BD＝＝20(米)．∠BDE＝180－135－30＝15. 在Rt△BED中， BE＝DBsin 15＝20＝10(－1)(米)． 在Rt△ABE中，∠AEB＝30， ∴AB＝BEtan 30＝(3－)(米)． 故所求的塔高為(3－)米． 探究提高　在測量高度時，要正確理解仰角、俯角的概念，畫出準(zhǔn)確的示意圖，恰當(dāng)?shù)剡x取相關(guān)的三角形和正、余弦定理逐步進行求解．注意綜合應(yīng)用方程和平面幾何、立體幾何等知識． 如圖所示，B，C，D三點在地面的同一直線上，DC＝a，從C，D兩點測得A點的仰角分別為β和α(α<β)，則A點距地面的高AB為_______________． 答案　 解析　AB＝ACsin β，＝＝， 解得AB＝. 題型三　測量角度問題 例3　某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪在方位角為45，距離為10 n mile的C處，并測得漁輪正沿方位角為105的方向，以9 n mile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇立即以21 n mile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間． 思維啟迪：本題中所涉及的路程在不斷變化，但艦艇和漁輪相遇時所用時間相等，先設(shè)出所用時間t，找出等量關(guān)系，然后解三角形． 解　如圖所示，根據(jù)題意可知AC＝10，∠ACB＝120，設(shè)艦艇靠近漁輪 所需的時間為t h，并在B處與漁輪相遇，則AB＝21t，BC＝9t，在△ABC 中，根據(jù)余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos 120，所以212t2＝102 ＋81t2＋2109t，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以艦艇靠 近漁輪所需的時間為 h．此時AB＝14，BC＝6. 在△ABC中，根據(jù)正弦定理得＝， 所以sin∠CAB＝＝， 即∠CAB≈21.8或∠CAB≈158.2(舍去)． 即艦艇航行的方位角為45＋21.8＝66.8. 所以艦艇以66.8的方位角航行，需 h才能靠近漁輪． 探究提高　對于和航行有關(guān)的問題，要抓住時間和路程兩個關(guān)鍵量，解三角形時將各種關(guān)系集中在一個三角形中利用條件． 如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，則cos θ等于 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 答案　B 解析　如圖所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120，由 余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 120＝2 800，所以BC＝ 20. 由正弦定理，得 sin∠ACB＝sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120，知∠ACB為銳角，故cos∠ACB＝. 故cos θ＝cos(∠ACB＋30) ＝cos∠ACBcos 30－sin∠ACBsin 30＝. 正、余弦定理在實際問題中的應(yīng)用 典例：(12分)如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處(－1)海里 的B處有一艘走私船．在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處 的我方緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船，此時走私船 正以10海里/小時的速度，以B處向北偏東30方向逃竄．問：緝私 船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間． 審題視角　(1)分清已知條件和未知條件(待求)． (2)將問題集中到一個三角形中，如△ABC和△BCD. (3)利用正弦定理或余弦定理求解． 規(guī)范解答 解　設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里)，[1分] 在△ABC中，由余弦定理，有 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠BAC ＝(－1)2＋22－2(－1)2cos 120＝6. ∴BC＝(海里)．[3分] 又∵＝， ∴sin∠ABC＝＝＝， ∴∠ABC＝45，∴B點在C點的正東方向上， ∴∠CBD＝90＋30＝120，[5分] 在△BCD中，由正弦定理，得＝， ∴sin∠BCD＝＝＝. ∴∠BCD＝30，∴緝私船沿北偏東60的方向行駛．[8分] 又在△BCD中，∠CBD＝120，∠BCD＝30， ∴D＝30，∴BD＝BC，即10t＝. ∴t＝小時≈15(分鐘)．[11分] ∴緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘．[12分] 答題模板 解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟為 第一步：分析——理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖； 第二步：建?！鶕?jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型； 第三步：求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解； 第四步：檢驗——檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解． 溫馨提醒　(1)由實際出發(fā)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的基本思路．如果涉及三角形問題，我們可以把它抽象為解三角形問題進行解答，之后再還原成實際問題，即利用上述模板答題． (2)本題的易錯點：不能將已知和待求量轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，無法運用正、余弦定理求解. 方法與技巧 1．合理應(yīng)用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函數(shù)模型． 2．把生活中的問題化為二維空間解決，即在一個平面上利用三角函數(shù)求值． 3．合理運用換元法、代入法解決實際問題． 失誤與防范 在解實際問題時，應(yīng)正確理解如下角的含義． 1．方向角——從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角． 2．方位角——從正北方向線順時針到目標(biāo)方向線的水平角． 3．坡度——坡面與水平面所成的二面角的正切值． 4．仰角與俯角——與目標(biāo)視線在同一鉛直平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時稱為仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時稱為俯角． A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 如果在測量中，某渠道斜坡的坡度為，設(shè)α為坡角，那么cos α等于 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因為tan α＝，所以cos α＝. 2． 有一長為1的斜坡，它的傾斜角為20，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10，則斜坡長為(　　) A．1 B．2sin 10 C．2cos 10 D．cos 20 答案　C 解析　如圖，∠ABC＝20， AB＝1，∠ADC＝10， ∴∠ABD＝160. 在△ABD中，由正弦定理得＝， ∴AD＝AB＝＝2cos 10. 3． 一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45，沿點A向北偏東30前進100 m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是 (　　) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 答案　A 解析　設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在△ABC中，∠A＝60，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根據(jù)余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2h100cos 60，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m. 4. 如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一 點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，就可以計 算出A、B兩點的距離為 (　　) A．50 m B．50 m C．25 m D. m 答案　A 解析　∵∠ACB＝45，∠CAB＝105， ∴∠ABC＝180－105－45＝30. 在△ABC中，由正弦定理得＝， ∴AB＝＝＝50 (m)． 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0，則甲、乙兩樓的高分別是________________． 答案　20米、米 解析　如圖，依題意有甲樓的高度為AB＝20tan 60＝20(米)，又CM＝DB＝20(米)，∠CAM＝60，所以AM＝CM＝(米)，故乙樓的高度為CD＝20－＝(米)． 6． 一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15方向，這時船與燈塔的距離為______ km. 答案　30 解析　如圖所示，依題意有 AB＝154＝60，∠MAB＝30，∠AMB＝45， 在△AMB中， 由正弦定理得＝，解得BM＝30 (km)． 7. 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA ＝60，∠BCD＝135，則BC的長為________． 答案　8 解析　在△ABD中，設(shè)BD＝x，則BA2＝BD2＋AD2－2BDADcos∠BDA，即142＝x2＋102－210xcos 60，整理得x2－10x－96＝0，解之得x1＝16，x2＝－6(舍去)． 在△BCD中，由正弦定理：＝， ∴BC＝sin 30＝8. 三、解答題(共22分) 8． (10分)如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面 內(nèi)的兩個觀測點C與D，測得∠BCD＝15，∠BDC＝30，CD＝30 m，并在 點C處測得塔頂A的仰角為60，求塔高AB. 解　在△BCD中，∠CBD＝180－15－30＝135， 由正弦定理，得＝， 所以BC＝＝15 (m)． 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15tan 60 ＝15 (m)．所以塔高AB為15 m. 9． (12分)如圖，在△ABC中，已知∠B＝45，D是BC邊上的一點，AD ＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的長． 解　在△ADC中，AD＝10， AC＝14，DC＝6， 由余弦定理得cos∠ADC＝ ＝＝－， ∴∠ADC＝120，∴∠ADB＝60. 在△ABD中，AD＝10，∠B＝45，∠ADB＝60， 由正弦定理得＝， ∴AB＝＝＝＝5. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 在△ABC中，已知∠A＝45，AB＝，BC＝2，則∠C等于 (　　) A．30 B．60 C．120 D．30或150 答案　A 解析　利用正弦定理可得＝， ∴sin C＝，∴∠C＝30或150. 又∵∠A＝45，且∠A＋∠B＋∠C＝180， ∴∠C＝30，故選A. 2． 某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好是 km，那么x的值為 (　　) A. B．2 C.或2 D．3 答案　C 解析　如圖所示，設(shè)此人從A出發(fā)，則AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC ＝30， 由余弦定理得()2＝x2＋32－2x3cos 30， 整理，得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2. 3． 一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直 線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點間的距離是 (　　) A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 答案　A 解析　如圖，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30，∠ACB＝45，根據(jù)正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)． 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 一船由B處向正北方向航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔C、D恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后到達A處，看見燈塔C在它的南偏西60方向，燈塔D在它的南偏西75方向，則這艘船的速度是______海里/小時． 答案　10 解析　如圖所示，依題意有∠BAC＝60，∠BAD＝75，所以∠CAD＝∠CDA＝15，從而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是這艘船的速度是＝10(海里/小時)． 5． 某路邊一樹干被大風(fēng)吹斷后，折成與地面成45角，樹干也傾斜為與地面成75角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，則折斷點與樹干底部的距離是__________米． 答案　 解析　如圖，設(shè)樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點為A， 則∠ABO＝45，∠AOB＝75，∴∠OAB＝60. 由正弦定理知，＝， ∴AO＝(米)． 6． 在△ABC中，D為邊BC上一點，BD＝DC，∠ADB＝120，AD＝2.若△ADC的面積為3－，則∠BAC＝_____. 答案　60 解析　S△ADC＝2DC＝3－， 解得DC＝2(－1)， ∴BD＝－1，BC＝3(－1)． 在△ABD中，AB2＝4＋(－1)2－22(－1)cos 120＝6，∴AB＝. 在△ACD中，AC2＝4＋[2(－1)]2－222(－1)cos 60＝24－12， ∴AC＝(－1)，則cos∠BAC＝＝， ∴∠BAC＝60. 三、解答題 7． (13分)如圖，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D 為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船于水面A處測得B點和D點的仰 角分別為75、30，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60，AC ＝0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等， 然后求B、D的距離(計算結(jié)果精確到0.01 km，≈1.414，≈2.449)． 解　在△ACD中，∠DAC＝30， ∠ADC＝60－∠DAC＝30，所以CD＝AC＝0.1. 又∠BCD＝180－60－60＝60， 故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD＝BA. 在△ABC中，＝， 所以AB＝＝， 即BD＝≈0.33(km)． 故B、D的距離約為0.33 km.