2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練五 第1講 空間幾何體 理.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練五 第1講 空間幾何體 理 考情解讀　1.以三視圖為載體，考查空間幾何體面積、體積的計(jì)算.2.考查空間幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖及簡(jiǎn)單的組合體問(wèn)題． 1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長(zhǎng)方體之間的關(guān)系 2．空間幾何體的三視圖 (1)三視圖的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投影形成的平面圖形． (2)三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正視圖的下面，長(zhǎng)度與正視圖一樣；側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度和正視圖一樣，寬度與俯視圖一樣． (3)畫三視圖的基本要求：正俯一樣長(zhǎng)，俯側(cè)一樣寬，正側(cè)一樣高．看不到的線畫虛線． 3．直觀圖的斜二測(cè)畫法 空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來(lái)畫，其規(guī)則： (1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45(或135)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直． (2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半． 4．空間幾何體的兩組常用公式 (1)柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式： ①S柱側(cè)＝ch(c為底面周長(zhǎng)，h為高)； ②S錐側(cè)＝ch′(c為底面周長(zhǎng)，h′為斜高)； ③S臺(tái)側(cè)＝(c＋c′)h′(c′，c分別為上，下底面的周長(zhǎng)，h′為斜高)； ④S球表＝4πR2(R為球的半徑)． (2)柱體、錐體和球的體積公式： ①V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)； ②V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)； ③V臺(tái)＝(S＋＋S′)h(不要求記憶)； ④V球＝πR3. 熱點(diǎn)一　三視圖與直觀圖 例1　某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B．8 C. D．16 (2)(xx四川)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是(　　) 思維啟迪　(1)根據(jù)三視圖確定幾何體的直觀圖；(2)分析幾何體的特征，從俯視圖突破． 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)由三視圖可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，如圖： 則該幾何體的體積V＝224＝8. (2)由俯視圖易知答案為D. 思維升華　空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個(gè)平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果． 　(1)(xx課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為(　　) (2)將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(　　) 答案　(1)A　(2)D 解析　(1)根據(jù)已知條件作出圖形：四面體C1－A1DB，標(biāo)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)如圖(1)所示，可以看出正視圖為正方形，如圖(2)所示．故選A. (2)如圖所示，點(diǎn)D1的投影為C1，點(diǎn)D的投影為C，點(diǎn)A的投影為B，故選D. 熱點(diǎn)二　幾何體的表面積與體積 例2　(1)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)_______． (2)如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在C1D1與C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，連接EF，F(xiàn)B，DE，則幾何體EFC1－DBC的體積為(　　) A．66 B．68 C．70 D．72 思維啟迪　(1)由三視圖確定幾何體形狀；(2)對(duì)幾何體進(jìn)行分割． 答案　(1)　(2)A 解析　(1)由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)半圓錐，底面半圓半徑是1，半圓錐的高為1.由圓錐的體積公式，可以得該半圓錐的體積V＝π121＝. (2)如圖，連接DF，DC1，那么幾何體EFC1－DBC被分割成三棱錐D－EFC1及四棱錐D－CBFC1，那么幾何體EFC1－DBC的體積為V＝346＋(3＋6)66＝12＋54＝66. 故所求幾何體EFC1－DBC的體積為66. 思維升華　(1)利用三視圖求解幾何體的表面積、體積，關(guān)鍵是確定幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)，掌握應(yīng)用三視圖的“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”；(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用“割補(bǔ)”的思想． 　多面體MN－ABCD的底面ABCD為矩形，其正視圖和側(cè)視圖如圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則該多面體的體積是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　過(guò)M，N分別作兩個(gè)垂直于底面的截面，將多面體分割成一個(gè)三棱柱和兩個(gè)四棱錐，由正視圖知三棱柱底面是等腰直角三角形，面積為S1＝22＝2，高為2，所以體積為V1＝4，兩個(gè)四棱錐為全等四棱錐，棱錐的體積為V1＝2212＝，所以多面體的體積為V＝＋4＝，選D. 熱點(diǎn)三　多面體與球 例3　如圖所示，平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，將其沿對(duì)角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面體ABCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為(　　) A.π B．3π C.π D．2π 思維啟迪　要求出球的體積就要求出球的半徑，需要根據(jù)已知數(shù)據(jù)和空間位置關(guān)系確定球心的位置，由于△BCD是直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)：斜邊的中點(diǎn)到三角形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，只要再證明這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于這個(gè)點(diǎn)到B，C，D的距離即可確定球心，進(jìn)而求出球的半徑，根據(jù)體積公式求解即可． 答案　A 解析　如圖，取BD的中點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)O， 連接AE，OD，EO，AO. 由題意，知AB＝AD，所以AE⊥BD. 由于平面ABD⊥平面BCD，AE⊥BD， 所以AE⊥平面BCD. 因?yàn)锳B＝AD＝CD＝1，BD＝， 所以AE＝，EO＝. 所以O(shè)A＝. 在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝， 所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為. 所以該球的體積V＝π()3＝π.故選A. 思維升華　多面體與球接、切問(wèn)題求解策略 (1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解． (2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，則4R2＝a2＋b2＋c2求解． 　(1)(xx湖南)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示．將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的體積是________；若該幾何體的所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積是________． 答案　(1)B　(2)　3π 解析　(1)由三視圖可知該幾何體是一個(gè)直三棱柱，如圖所示．由題意知，當(dāng)打磨成的球的大圓恰好與三棱柱底面直角三角形的內(nèi)切圓相同時(shí)，該球的半徑最大，故其半徑r＝(6＋8－10)＝2.因此選B. (2)由三視圖可知，該幾何體是四棱錐P－ABCD(如圖)，其中底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝1，∴該四棱錐的體積為V＝111＝.又PC為其外接球的直徑，∴2R＝PC＝，則球的表面積為S＝4πR2＝3π. 1．空間幾何體的面積有側(cè)面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個(gè)空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計(jì)算時(shí)要注意區(qū)分是“側(cè)面積還是表面積”．多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和． 2．在體積計(jì)算中都離不開(kāi)空間幾何體的“高”這個(gè)幾何量(球除外)，因此體積計(jì)算中的關(guān)鍵一環(huán)就是求出這個(gè)量．在計(jì)算這個(gè)幾何量時(shí)要注意多面體中的“特征圖”和旋轉(zhuǎn)體中的軸截面． 3．一些不規(guī)則的幾何體，求其體積多采用分割或補(bǔ)形的方法，從而轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體，而補(bǔ)形又分為對(duì)稱補(bǔ)形(即某些不規(guī)則的幾何體，若存在對(duì)稱性，則可考慮用對(duì)稱的方法進(jìn)行補(bǔ)形)、還原補(bǔ)形(即還臺(tái)為錐)和聯(lián)系補(bǔ)形(某些空間幾何體雖然也是規(guī)則幾何體，不過(guò)幾何量不易求解，可根據(jù)其所具有的特征，聯(lián)系其他常見(jiàn)幾何體，作為這個(gè)規(guī)則幾何體的一部分來(lái)求解)． 4．長(zhǎng)方體的外接球 (1)長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于外接球的直徑，即＝2R； (2)棱長(zhǎng)為a的正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于外接球的直徑，即a＝2R. 真題感悟 1．(xx北京)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，)．若S1，S2，S3分別是三棱錐D－ABC在xOy，yOz，zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則(　　) A．S1＝S2＝S3 B．S2＝S1且S2≠S3 C．S3＝S1且S3≠S2 D．S3＝S2且S3≠S1 答案　D 解析　如圖所示，△ABC為三棱錐在坐標(biāo)平面xOy上的正投影，所以S1＝22＝2. 三棱錐在坐標(biāo)平面yOz上的正投影與△DEF(E，F(xiàn)分別為OA，BC的中點(diǎn))全等， 所以S2＝2＝. 三棱錐在坐標(biāo)平面xOz上的正投影與△DGH(G，H分別為AB，OC的中點(diǎn))全等， 所以S3＝2＝. 所以S2＝S3且S1≠S3.故選D. 2．(xx江蘇)設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且＝，則的值是________． 答案　 解析　設(shè)兩個(gè)圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由＝， 得＝，則＝. 由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2， 即r1h1＝r2h2，則＝， 所以＝＝. 押題精練 1．把邊長(zhǎng)為的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，連接AC，得到三棱錐C－ABD，其正視圖、俯視圖均為全等的等腰直角三角形(如圖所示)，則其側(cè)視圖的面積為(　　) A. B. C．1 D. 答案　B 解析　在三棱錐C－ABD中，C在平面ABD上的投影為BD的中點(diǎn)O，∵正方形邊長(zhǎng)為，∴AO＝OC＝1，∴側(cè)視圖的面積為S△AOC＝11＝. 2．在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面積分別為，，，則三棱錐A－BCD的外接球體積為(　　) A.π B．2π C．3π D．4π 答案　A 解析　如圖，以AB，AC，AD為棱把該三棱錐擴(kuò)充成長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體的外接球恰為三棱錐的外接球， ∴三棱錐的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)． 據(jù)題意解得 ∴長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為＝， ∴三棱錐外接球的半徑為. ∴三棱錐外接球的體積為V＝π()3＝π. (推薦時(shí)間：50分鐘) 一、選擇題 1．已知正三棱錐V－ABC的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖的面積為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　C 解析　如圖，作出正三棱錐V－ABC的直觀圖，取BC邊的中點(diǎn)D，連接VD，AD，作VO⊥AD于O. 結(jié)合題意，可知正視圖實(shí)際上就是△VAD，于是三棱錐的棱長(zhǎng)VA＝4，從俯視圖中可以得到底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)視圖是一個(gè)等腰三角形，此三角形的底邊長(zhǎng)為2，高為棱錐的高VO. 由于VO＝ ＝2. 于是側(cè)視圖的面積為22＝6，故選C. 2．右圖是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面展開(kāi)圖，則多面體ABCDE的體積為(　　) A．2 B. C. D. 答案　D 解析　多面體ABCDE為四棱錐，利用割補(bǔ)法可得其體積V＝4－＝，選D. 3．如圖，某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，側(cè)視圖是平行四邊形，則該幾何體的體積為(　　) A．15＋3 B．9 C．30＋6 D．18 答案　B 解析　由三視圖知幾何體是一個(gè)底面為3的正方形，高為的斜四棱柱，所以V＝Sh＝33＝9. 4．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，其側(cè)(左)視圖如圖所示．當(dāng)正(主)視圖的面積最大時(shí)，該正四棱錐的表面積為(　　) A．8 B．8＋8 C．8 D．4＋8 答案　B 解析　由題意可知該正四棱錐的直觀圖如圖所示，其主視圖與左視圖相同，設(shè)棱錐的高為h，則a2＋h2＝4.故其主視圖的面積為S＝2ah＝ah≤＝2，即當(dāng)a＝h＝時(shí)，S最大，此時(shí)該正四棱錐的表面積 S表＝(2a)2＋42a2 ＝8＋8，故選B. 5．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，側(cè)視圖是半徑為1的半圓，該幾何體的體積為(　　) A.π B.π C.π D.π 答案　A 解析　三視圖復(fù)原的幾何體是圓錐沿軸截面截成兩部分，然后把截面放在平面上，底面相對(duì)接的圖形，圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，故圓錐的高為h＝＝.易知該幾何體的體積就是整個(gè)圓錐的體積，即V圓錐＝πr2h＝π12＝π.故選A. 6．(xx大綱全國(guó))正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為(　　) A. B．16π C．9π D. 答案　A 解析　如圖，設(shè)球心為O，半徑為r， 則Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2， 解得r＝， ∴該球的表面積為4πr2＝4π()2＝π. 二、填空題 7．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為_(kāi)_______． 答案　2＋ 解析　如圖，在直觀圖中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E， 則在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45，∴BE＝. 而四邊形AECD為矩形，AD＝1， ∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1. 由此可還原原圖形如圖． 在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′， ∴這塊菜地的面積為S＝(A′D′＋B′C′)A′B′ ＝(1＋1＋)2＝2＋. 8．如圖，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正三棱錐V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40，過(guò)A作截面△AEF，則截面△AEF的周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)___________． 答案　6 解析　沿著側(cè)棱VA把正三棱錐V－ABC展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，如圖． 則AA′即為截面△AEF周長(zhǎng)的最小值，且∠AVA′＝340＝120. 在△VAA′中，由余弦定理可得AA′＝6，故答案為6. 9．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1－EDF的體積為_(kāi)_____． 答案　 解析　 ＝111＝. 10．已知矩形ABCD的面積為8，當(dāng)矩形周長(zhǎng)最小時(shí)，沿對(duì)角線AC把△ACD折起，則三棱錐D－ABC的外接球的表面積等于________． 答案　16π 解析　設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)度分別為a，b，則ab＝8，此時(shí)2a＋2b≥4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)四邊形ABCD為正方形，其中心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，均為2，無(wú)論怎樣折疊，其四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為2的球面上，這個(gè)球的表面積是4π22＝16π. 三、解答題 11．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形． (1)求該幾何體的體積V； (2)求該幾何體的側(cè)面積S. 解　由已知可得，該幾何體是一個(gè)底面為矩形，高為4，頂點(diǎn)在底面的投影是矩形中心的四棱錐E－ABCD. (1)V＝(86)4＝64. (2)四棱錐E－ABCD的兩個(gè)側(cè)面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高h(yuǎn)1＝ ＝4； 另兩個(gè)側(cè)面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高h(yuǎn)2＝ ＝5. 因此S＝2(64＋85)＝40＋24. 12．如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，點(diǎn)E在線段AB上．過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，將△AEF沿EF折起到△PEF的位置(點(diǎn)A與P重合)，使得∠PEB＝30. (1)求證：EF⊥PB； (2)試問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)E在何處時(shí)，四棱錐P—EFCB的側(cè)面PEB的面積最大？并求此時(shí)四棱錐P—EFCB的體積． (1)證明　∵EF∥BC且BC⊥AB， ∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE.又BE∩PE＝E， ∴EF⊥平面PBE，又PB?平面PBE， ∴EF⊥PB. (2)解　設(shè)BE＝x，PE＝y(tǒng)，則x＋y＝4. ∴S△PEB＝BEPEsin∠PEB ＝xy≤2＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時(shí)，S△PEB的面積最大． 此時(shí)，BE＝PE＝2. 由(1)知EF⊥平面PBE， ∴平面PBE⊥平面EFCB， 在平面PBE中，作PO⊥BE于O，則PO⊥平面EFCB. 即PO為四棱錐P—EFCB的高． 又PO＝PEsin 30＝2＝1. SEFCB＝(2＋4)2＝6. ∴VP—BCFE＝61＝2.