2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第23講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第23講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 新人教版 一．課標要求： 1．能畫出y=sin x, y=cos x, y=tan x的圖像，了解三角函數(shù)的周期性； 2．借助圖像理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]，正切函數(shù)在（－π/2，π/2）上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖像與x軸交點等）； 3．結(jié)合具體實例，了解y=Asin（wx+φ）的實際意義；能借助計算器或計算機畫出y=Asin（wx+φ）的圖像，觀察參數(shù)A，w，φ對函數(shù)圖像變化的影響。 二．命題走向 近幾年高考降低了對三角變換的考查要求，而加強了對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因為函數(shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個重要內(nèi)容，是學習高等數(shù)學和應用技術學科的基礎，又是解決生產(chǎn)實際問題的工具，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復習的重點。在復習時要充分運用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來，即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運用數(shù)形結(jié)合的思想方法。 預測07年高考對本講內(nèi)容的考察為： 1．題型為1道選擇題（求值或圖象變換），1道解答題（求值或圖像變換）； 2．熱點問題是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別是y=Asin（wx+φ）的圖象及其變換； 三．要點精講 1．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像 2．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： 的遞增區(qū)間是， 遞減區(qū)間是； 的遞增區(qū)間是， 遞減區(qū)間是， 的遞增區(qū)間是， 3．函數(shù) 最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心。 4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換。 利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。 途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換) 先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個單位，再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。 途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。 先將y＝sinx的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?ω＞0)，再沿x軸向左(＞0)或向右(＜0＝平移個單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。 5．由y＝Asin(ωx＋)的圖象求其函數(shù)式： 給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin（ωx+）的題型，有時從尋找“五點”中的第一零點（－，0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準第一個零點的位置。 6．對稱軸與對稱中心： 的對稱軸為，對稱中心為； 的對稱軸為，對稱中心為； 對于和來說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系。 7．求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標準式，要特別注意A、的正負利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間； 8．求三角函數(shù)的周期的常用方法： 經(jīng)過恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。 9．五點法作y=Asin（ωx+）的簡圖： 五點取法是設x=ωx+，由x取0、、π、、2π來求相應的x值及對應的y值，再描點作圖。 四．典例解析 題型1：三角函數(shù)的圖象 例1．（xx全國，5）函數(shù)y＝－xcosx的部分圖象是（ ） 解析：因為函數(shù)y＝－xcosx是奇函數(shù)，它的圖象關于原點對稱，所以排除A、C，當x∈（0，）時，y＝－xcosx＜0。答案為D。 例2．（xx上海，15）函數(shù)y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致圖象是（ ） 解析：由奇偶性定義可知函數(shù)y=x+sin|x|，x∈［－π，π］為非奇非偶函數(shù)。選項A、D為奇函數(shù)，B為偶函數(shù)，C為非奇非偶函數(shù)。 點評：利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運用數(shù)形結(jié)合的思想方法。 題型2：三角函數(shù)圖象的變換 例3．試述如何由y=sin（2x+）的圖象得到y(tǒng)=sinx的圖象。 解析：y=sin（2x+） 另法答案： （1）先將y=sin（2x+）的圖象向右平移個單位，得y=sin2x的圖象； （2）再將y=sin2x上各點的橫坐標擴大為原來的2倍（縱坐標不變），得y=sinx的圖象； （3）再將y=sinx圖象上各點的縱坐標擴大為原來的3倍（橫坐標不變），即可得到y(tǒng)=sinx的圖象。 例4．（xx上海春，15）把曲線ycosx+2y－1=0先沿x軸向右平移個單位，再沿y軸向下平移1個單位，得到的曲線方程是（ ） A．（1－y）sinx+2y－3=0 B．（y－1）sinx+2y－3=0 C．（y+1）sinx+2y+1=0 D．－(y+1)sinx+2y+1=0 解析：將原方程整理為：y=，因為要將原曲線向右、向下分別移動個單位和1個單位，因此可得y=－1為所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0. 點評：本題考查了曲線平移的基本方法及三角函數(shù)中的誘導公式。如果對平移有深刻理解，可直接化為：（y+1）cos（x－）+2（y+1）－1=0，即得C選項。 題型3：三角函數(shù)圖象的應用 例5．已知電流I與時間t的關系式為。 （１）右圖是（ω＞0，） 在一個周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求 的解析式； （２）如果t在任意一段秒的時間內(nèi)，電流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數(shù)值是多少？ 解析:本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎知識，考查運算能力和邏輯推理能力． （１）由圖可知 A＝300。 設t1＝－，t2＝， 則周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝。 ∴ ω＝＝150π。 又當t＝時，I＝0，即sin（150π＋）＝0， 而， ∴ ＝。 故所求的解析式為。 （２）依題意，周期T≤，即≤，（ω>0） ∴ ω≥300π＞942，又ω∈N*， 故最小正整數(shù)ω＝943。 點評:本題解答的開竅點是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言．其中，讀圖、識圖、用圖是形數(shù)結(jié)合的有效途徑。 圖 例6．（1）（xx上海春，18）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，求直線y=與函數(shù)f（x）圖象的所有交點的坐標。 解析：根據(jù)圖象得A=2，T=π－（－）=4π， ∴ω=，∴y=2sin（+）， 又由圖象可得相位移為－，∴－=－，∴=.即y=2sin（x+）。 根據(jù)條件=2sin（），∴=2kπ+(k∈Z)或=2kπ+π（k∈Z）， ∴x=4kπ+（k∈Z）或x=4kπ+π（k∈Z）。 ∴所有交點坐標為（4kπ+）或（4kπ+）（k∈Z）。 點評：本題主要考查三角函數(shù)的基本知識，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。 （2）（xx全國文5，理4）在（0，2π）內(nèi)，使sinx＞cosx成立的x取值范圍為（ ） A．（，）∪（π，） B．（，π） C．（，） D．（，π）∪（，） 解析：C； 解法一：作出在（0，2π）區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖象，解出兩交點的橫坐標和，由圖1可得C答案。 圖1 圖2 解法二：在單位圓上作出一、三象限的對角線，由正弦線、余弦線知應選C。（如圖2） 題型4：三角函數(shù)的定義域、值域 例7．（1）已知f（x）的定義域為［0，1］，求f（cosx）的定義域； （2）求函數(shù)y=lgsin（cosx）的定義域； 分析：求函數(shù)的定義域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，這里的cosx以它的值充當角。 解析：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。 ∴所求函數(shù)的定義域為{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。 （2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。 又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。 故所求定義域為{x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z}。 點評：求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線。 例8．（xx京春，18）已知函數(shù)f（x）=，求f（x）的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域。 解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠，k∈Z，所以f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠，k∈Z}， 因為f（x）的定義域關于原點對稱， 且f（－x）==f（x）。 所以f（x）是偶函數(shù)。 又當x≠（k∈Z）時， f（x）=。 所以f（x）的值域為{y|－1≤y<或
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