2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.6《函數(shù)的單調(diào)性》教案 舊人教版必修.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.6《函數(shù)的單調(diào)性》教案 舊人教版必修 課時安排 1課時 從容說課 本節(jié)教學(xué)安排，應(yīng)是在學(xué)生已有的單調(diào)性的概念基礎(chǔ)上進(jìn)一步建構(gòu)完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生充分認(rèn)識學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的作用.可以從如下三個方面進(jìn)行教學(xué)： （1）從函數(shù)圖象出發(fā)給出了用導(dǎo)數(shù)的符號判別函數(shù)增減性的方法.先從y=x2,y=x3，y=x4等常見的函數(shù)入手，讓學(xué)生進(jìn)行歸納概括出一般的問題. （2）學(xué)生在高一學(xué)習(xí)函數(shù)時，已經(jīng)知道了增函數(shù)、減函數(shù)和單調(diào)函數(shù)的意義，用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性要簡捷得多.在教學(xué)時，要從學(xué)生的已有知識出發(fā)，并且要引導(dǎo)學(xué)生對新舊方法進(jìn)行比較，例如，可以讓學(xué)生用導(dǎo)數(shù)法重新證明《數(shù)學(xué)》第一冊（上）的例題“證明函數(shù)f（x）=在（0，+∞）上是減函數(shù)”.通過比較，可以提高學(xué)生對導(dǎo)數(shù)與微分的學(xué)習(xí)意義的認(rèn)識. （3）本小節(jié)的內(nèi)容是與后面兩小節(jié)有著直接聯(lián)系的.特別地，關(guān)于本小節(jié)習(xí)題的演練，帶有一定的過渡性，較為系統(tǒng)、全面的解題方法將在后續(xù)各小節(jié)中逐步介紹.要讓學(xué)生總結(jié)概括利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的增減區(qū)間的具體步驟，這樣為以后的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ). 還應(yīng)向?qū)W生交待，以往是證明函數(shù)在某個區(qū)間是單調(diào)的，但他們不知道這些區(qū)間是如何劃分的，這時可以補(bǔ)充例題：求y=ax+（ab＞0）的單調(diào)區(qū)間. 第十二課時 課　　題 3.6　函數(shù)的單調(diào)性 教學(xué)目標(biāo) 一,教學(xué)知識點(diǎn) 1.函數(shù)單調(diào)性的概念. 2.增函數(shù)的概念與判別方法. 3.減函數(shù)的概念與判別方法. 4.常數(shù)函數(shù)的概念與判別方法. 二,能力訓(xùn)練要求 1.根據(jù)增函數(shù)的定義，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間或進(jìn)行證明. 2.根據(jù)減函數(shù)的定義，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間或進(jìn)行證明. 三,德育滲透目標(biāo) 1.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 2.使學(xué)生認(rèn)識到新知識的學(xué)習(xí)，會為我們解決實際問題帶來方便，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望. 教學(xué)重點(diǎn) 增函數(shù)與減函數(shù)的新定義,新的判別方法的應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn) 增減函數(shù)的定義的理解，如何利用導(dǎo)數(shù)去判別函數(shù)的增減性.從函數(shù)圖象出發(fā)給出增減函數(shù)的定義以及用導(dǎo)數(shù)的符號判別函數(shù)單調(diào)性的方法.關(guān)鍵是先求導(dǎo)，解不等式得單調(diào)區(qū)間，或者證明導(dǎo)數(shù)與0的大小關(guān)系來判別單調(diào)性. 教學(xué)方法 建構(gòu)主義式 通過讓學(xué)生觀察圖象，根據(jù)曲線y=f（x）的切線的斜率就是函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，來判斷斜率的正負(fù)，從而得到f′（x）的正負(fù)與增減函數(shù)的關(guān)系，讓學(xué)生自己重新定義增減函數(shù). 教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 ［師］我們在高一時已經(jīng)學(xué)習(xí)了增、減函數(shù)，它們是如何定義的？ ［生］對于任意的兩個數(shù)x1,x2∈I,且當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）,那么函數(shù)f（x）就是區(qū)間I上的增函數(shù). 對于任意的兩個數(shù)x1,x2∈I,且當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）,那么函數(shù)f（x）就是區(qū)間I上的減函數(shù). ［師］那我們?nèi)绾蝸砼袛嘁粋€函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)呢？ ［生］可以根據(jù)定義，在區(qū)間內(nèi)任取兩個數(shù)x1,x2,先假設(shè)x1＜x2，然后比較f（x1）與f（x2）的大小.f（x1）＜f（x2）,則是增函數(shù)；f（x1）＞f（x2）,則是減函數(shù). ［師］回答得很好.什么叫函數(shù)的單調(diào)性？ ［生］1.如果函數(shù)f（x）在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說f（x）在這個區(qū)間上具有單調(diào)性.（板書） ［師］這節(jié)課我們來重新研究一下函數(shù)的單調(diào)性. Ⅱ.講授新課 （一）函數(shù)的單調(diào)性 ［師］我們一起來觀察一下這個函數(shù)圖象. y=f（x）=x2-4x+3. 圖3-14 ［師］曲線的切線與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？ ［生］曲線y=f（x）的切線的斜率就是函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù). ［師］y=f（x）=x2-4x+3在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)？ ［生］y=f（x）=x2-4x+3在（2,+∞）內(nèi)為增函數(shù)，在（-∞,2）內(nèi)是減函數(shù). ［師］在（2,+∞）內(nèi)，切線的斜率和f（x）的導(dǎo)數(shù)有什么特征呢？ ［生］在（2,+∞）內(nèi)，切線的斜率為正，f′（x）＞0. ［師］在（-∞,2）內(nèi)呢？ ［生］在（-∞,2）內(nèi)，切線的斜率為負(fù)，f′（x）＜0. （根據(jù)學(xué)生的回答，填寫下列表格） y=f（x）=x2-4x+3 切線的斜率 f′（x） （2,+∞） 增函數(shù) 正 ＞0 （-∞,2） 減函數(shù) 負(fù) ＜0 ［師］我們能否根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的增減性的關(guān)系來重新定義增減函數(shù)呢？ （學(xué)生回答，老師板書） 2.設(shè)函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)， （1）如果f′（x）＞0,則f（x）為增函數(shù)； （2）如果f′（x）＜0,則f（x）為減函數(shù). ［師］現(xiàn)在我們判斷函數(shù)的增減性的方法是什么？ ［生］也是根據(jù)定義，先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再判斷f′（x）在某個區(qū)間上是大于0還是小于0.大于0，是增函數(shù);小于0，是減函數(shù). ［師］如果f′（x）=0，f（x）是什么函數(shù)？ ［生］∵C′=0（C是常數(shù)）,∴f′（x）=0. 則f（x）=C（C是常數(shù)）.∴f（x）是常數(shù)函數(shù). ［板書］3.如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′（x）=0,則f（x）為常數(shù)函數(shù). ［師］我們要判斷一個函數(shù)是否是常數(shù)函數(shù)，只要看它的導(dǎo)數(shù)是否恒等于0. （二）課本例題 ［例1］確定函數(shù)f（x）=x2-2x+4在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù). 圖3-15 解：f′（x）=（x2-2x+4）′=2x-2. 令2x-2＞0, 解得x＞1. ∴當(dāng)x∈（1,+∞）時，f′（x）＞0,f（x）是增函數(shù). 令2x-2＜0,解得x＜1. ∴當(dāng)x∈（-∞,1）時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù). （總結(jié)）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： ①求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）; ②令f′（x）＞0，解不等式，得x的范圍，就是遞增區(qū)間; ③令f′（x）＜0，解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間. ［例2］確定函數(shù)f（x）=2x3-6x2+7在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù). 解：f′（x）=（2x3-6x2+7）′=6x2-12x. 令6x2-12x＞0,解得x＞2或x＜0. ∴當(dāng)x∈（-∞,0）時，f′（x）＞0,f（x）是增函數(shù); 當(dāng)x∈（2,+∞）時，f′（x）＞0,f（x）是增函數(shù). 令6x2-12x＜0,解得0＜x＜2. ∴當(dāng)x∈（0,2）時，f′（x）＜0,f（x）是減函數(shù). 圖3-16 （三）精選例題 ［例1］證明函數(shù)f（x）=在（0,+∞）上是減函數(shù). 證法一：（用以前學(xué)的方法證）任取兩個數(shù)x1,x2∈（0,+∞）,且x1＜x2, f（x1）-f（x2）=. ∵x1＞0,x2＞0, ∴x1x2＞0. ∵x1＜x2, ∴x2-x1＞0. ∴＞0. ∴f（x1）-f（x2）＞0,即f（x1）＞f（x2）. ∴f（x）=在（0,+∞）上是減函數(shù). 證法二：f′（x）=（）′=（-1）x-2=-， x＞0,  ∴x2＞0.∴-＜0. ∴f′（x）＜0. ∴f（x）=在（0,+∞）上是減函數(shù). ［師］比較一下兩種方法，用求導(dǎo)證明是不是更簡捷一些,如果是更復(fù)雜一些的函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)的符號判別函數(shù)的增減性更能顯示出它的優(yōu)越性. ［例2］（xx年全國Ⅰ,理19）已知a∈R,求函數(shù)f（x）=x2eax的單調(diào)區(qū)間. 解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax, （1）當(dāng)a=0時,f（x）=x2,若x＜0,則f′（x）＜0,若x＞0,則f′（x）＞0. ∴當(dāng)a=0時,函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞,0）內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間（0,+∞）內(nèi)為增函數(shù). （2）當(dāng)a＞0時,令f′（x）=0,∴（ax2+2x）eax=0. ∵eax＞0,∴ax2+2x=0. ∴x1=-,x2=0. 若x＜-,則f′（x）＞0; 若-＜x＜0,則f′（x）＜0; 若x＞0,則f′（x）＞0. ∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞,-）內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間（-,0）內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間（0,+∞）內(nèi)為增函數(shù). （3）當(dāng)a＜0時,令f′（x）=0, ∴（ax2+2x）eax=0. ∵eax＞0,∴ax2+2x=0. ∴x1=0,x2=-＞0. 若x＜0,∵a＜0, ∴ax2+2x＜0,則f′（x）＜0; 若0＜x＜-2[　]a,則ax2+2x＞0, ∴f′（x）＞0; 若x＞-,ax2+2x＜0,則f′（x）＜0. ∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞,0）內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間（0,- ）內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間（-,+∞）內(nèi)為減函數(shù). 解題回顧:本題通過求單調(diào)區(qū)間,考查學(xué)生求導(dǎo)運(yùn)算的法則,考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),f′（x）＞0即可求增區(qū)間,f′（x）＜0即可求減區(qū)間;通過解不等式考查了學(xué)生的運(yùn)算能力及分類討論的數(shù)學(xué)思想.本題中注意對參數(shù)a的分類.特別是a＜0時,ax2+2x的符號與a＞0的情況相反,不少考生都以為相同了.考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力. ［例3］（xx年全國Ⅱ,21）若函數(shù)f（x）=x3-ax2+（a-1）x+1在區(qū)間（1,4）內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間（6,+∞）上為增函數(shù),試求實數(shù)a的取值范圍. 解：f′（x）=x2-ax+（a-1）=（x-1）［x-（a-1）］,令f′（x）=0,得 x1=1,x2=a-1. ①當(dāng)a=2時,x1=x2=1,若x＜1,則f′（x）＞0; 若x＞1,則f′（x）＞0. 又f（x）在x=1處是連續(xù)的, ∴f（x）在R上是增函數(shù),故a=2時不合題意. ②當(dāng)a-1＜1,即a＜2時,列出下表: x （-∞,a-1） a-1 （a-1,1） 1 （1,+∞） f′（x） + 0 - 0 + f（x） 單調(diào)遞增 極大 單調(diào)遞減 極小 單調(diào)遞增 又f（x）在區(qū)間（1,4）內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間（6,+∞）上為增函數(shù),∴當(dāng)a＜2時不合題意,故舍去. ③當(dāng)a-1＞1,即a＞2時,得出下表: x （-∞,1） 1 （1,a-1） a-1 （a-1,+∞） f′（x） + 0 - 0 + f（x） 單調(diào)遞增 極大 單調(diào)遞減 極小 單調(diào)遞增 依題意知 ∴5≤a≤7. 綜上得5≤a≤7. ［例4］當(dāng)x＞0時，證明不等式1+2x＜e2x. 分析：假設(shè)令f（x）=e2x-1-2x. ∵f（0）=e0-1-0=0, 如果能夠證明f（x）在（0,+∞）上是增函數(shù)，那么f（x）＞0,則不等式就可以證明. 證明：令f（x）=e2x-1-2x. ∴f′（x）=2e2x-2=2（e2x-1）. ∵x＞0,∴e2x＞e0=1. ∴2（e2x-1）＞0, 即f′（x）＞0. ∴f（x）=e2x-1-2x在（0,+∞）上是增函數(shù). ∵f（0）=e0-1-0=0, ∴當(dāng)x＞0時，f（x）＞f（0）=0，即e2x-1-2x＞0. ∴1+2x＜e2x. ［師］所以以后要證明不等式時，可以利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，把特殊點(diǎn)找出來使函數(shù)的值為0. Ⅲ.課堂練習(xí) 1.已知函數(shù)y=x+,試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 解：y′=（x+）′=1-1x-2 =, 令＞0, 解得x＞1或x＜-1. ∴y=x+的單調(diào)增區(qū)間是（-∞,-1）和（1,+∞）. 令＜0,解得-1＜x＜0或0＜x＜1. ∴y=x+的單調(diào)減區(qū)間是（-1,0）和（0,1）. 2.若x＞0時，f′（x）＞g′（x）,當(dāng)f（x）和g（x）滿足條件f（0）=g（0）時，一定有f（x）＞g（x）（當(dāng)x＞0時）. ［師生共析］要證f（x）＞g（x）,當(dāng)x＞0時, 可以令F（x）=f（x）-g（x）. ∵當(dāng)x＞0時，f（x）、g（x）都可導(dǎo), ∴F（x）可導(dǎo). ∴F′（x）=f′（x）-g′（x）＞0. ∴F（x）在（0,+∞）上是增函數(shù). 當(dāng)x＞0時,F（x）＞F（0）.如果F（0）=0， 那么f（x）＞g（x）. ∴f（0）-g（0）=0,即f（0）=g（0）. 3.求證: （x-1）＞x-1,其中x∈（1,+∞）. 證明：令f（x）=（x-1）-x+1， f′（x）=［（x-1）-x+1］′ =-x=（1-）. ∵x＞1,∴＜1. ∴（1-）＞0, 即f′（x）＞0. ∴f（x）在（1,+∞）上是增函數(shù). ∴當(dāng)x＞1時，f（x）＞f（1）=（1-1）-1+1=0, 即（x-1）＞x-1. Ⅳ.課時小結(jié) （學(xué)生總結(jié)）這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了增減函數(shù)的新定義:f（x）在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),f′（x）＞0時是增函數(shù)，f′（x）＜0時是減函數(shù)（可以根據(jù)f′（x）＞0或f′（x）＜0求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，或判斷函數(shù)的單調(diào)性，或證明不等式）以及如果在某個區(qū)間上恒有f′（x）=0，那么f（x）在這個區(qū)間上是常數(shù)函數(shù). Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P128習(xí)題3.6　1、2. （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P128～129函數(shù)的極值. 2.預(yù)習(xí)提綱： （1）極大值的定義，判別方法. （2）極小值的定義，判別方法. （3）求可導(dǎo)函數(shù)f（x）的極值的步驟. 板書設(shè)計 3.6　函數(shù)的單調(diào)性 1.函數(shù)單調(diào)性的定義. 2.增減函數(shù)的定義. 3.如果某區(qū)間內(nèi)恒有f′（x）=0,則f（x）為常數(shù)函數(shù). 課本例題 例1.確定f（x）=x2-2x+4在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù). 總結(jié)解題步驟 例2.確定f（x）=2x3-6x2+7在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù). 精選例題 例1.證明函數(shù)f（x）=在（0,+∞）上是減函數(shù).（兩種方法） 例2. 例3. 例4.當(dāng)x＞0時，證明不等式1+2x＜e2x. 課堂練習(xí) 1.求y=x+的單調(diào)區(qū)間. 2.若x＞0時，f′（x）＞g′（x）,當(dāng)f（x）與g（x）滿足條件__________時，一定有f（x）＞g（x）（x＞0）. 3.求證: （x-1）＞x-1（x∈（1,+∞））.