2019-2020年高中數(shù)學(xué)3.1回歸分析(一)教案北師大選修2-3.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)3.1回歸分析(一)教案北師大選修2-3 教學(xué)目標(biāo) (1)通過(guò)實(shí)例引入線(xiàn)性回歸模型,感受產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因; (2)通過(guò)對(duì)回歸模型的合理性等問(wèn)題的研究,滲透線(xiàn)性回歸分析的思想和方法; (3)能求出簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的線(xiàn)性回歸方程. 教學(xué)重點(diǎn),難點(diǎn) 線(xiàn)性回歸模型的建立和線(xiàn)性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值的探求方法. 教學(xué)過(guò)程 一.問(wèn)題情境 1. 情境:對(duì)一作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程觀測(cè)了次,得到如下表所示的數(shù)據(jù),試估計(jì)當(dāng)x=9時(shí)的位置y的值. 時(shí)刻/s 位置觀測(cè)值/cm 根據(jù)《數(shù)學(xué)(必修)》中的有關(guān)內(nèi)容,解決這個(gè)問(wèn)題的方法是: 先作散點(diǎn)圖,如下圖所示: 從散點(diǎn)圖中可以看出,樣本點(diǎn)呈直線(xiàn)趨勢(shì),時(shí)間與位置觀測(cè)值y之間有著較好的線(xiàn)性關(guān)系.因此可以用線(xiàn)性回歸方程來(lái)刻畫(huà)它們之間的關(guān)系.根據(jù)線(xiàn)性回歸的系數(shù)公式, 可以得到線(xiàn)性回歸方為,所以當(dāng)時(shí),由線(xiàn)性回歸方程可以估計(jì)其位置值為 2.問(wèn)題:在時(shí)刻時(shí),質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置一定是嗎? 二.學(xué)生活動(dòng) 思考,討論:這些點(diǎn)并不都在同一條直線(xiàn)上,上述直線(xiàn)并不能精確地反映與之間的關(guān)系,的值不能由完全確定,它們之間是統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系,的實(shí)際值與估計(jì)值之間存在著誤差. 三.建構(gòu)數(shù)學(xué) 1.線(xiàn)性回歸模型的定義: 我們將用于估計(jì)值的線(xiàn)性函數(shù)作為確定性函數(shù); 的實(shí)際值與估計(jì)值之間的誤差記為,稱(chēng)之為隨機(jī)誤差; 將稱(chēng)為線(xiàn)性回歸模型. 說(shuō)明:(1)產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有: ①所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差; ②忽略了某些因素的影響; ③存在觀測(cè)誤差. (2)對(duì)于線(xiàn)性回歸模型,我們應(yīng)該考慮下面兩個(gè)問(wèn)題: ①模型是否合理(這個(gè)問(wèn)題在下一節(jié)課解決); ②在模型合理的情況下,如何估計(jì),? 2.探求線(xiàn)性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值: 對(duì)于問(wèn)題②,設(shè)有對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù),根據(jù)線(xiàn)性回歸模型,對(duì)于每一個(gè),對(duì)應(yīng)的隨機(jī)誤差項(xiàng),我們希望總誤差越小越好,即要使越小越好.所以,只要求出使取得最小值時(shí)的,值作為,的估計(jì)值,記為,. 注:這里的就是擬合直線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離. 用什么方法求,? 回憶《數(shù)學(xué)3(必修)》“2.4線(xiàn)性回歸方程”P(pán)71“熱茶問(wèn)題”中求,的方法:最小二乘法. 利用最小二乘法可以得到,的計(jì)算公式為 , 其中, 由此得到的直線(xiàn)就稱(chēng)為這對(duì)數(shù)據(jù)的回歸直線(xiàn),此直線(xiàn)方程即為線(xiàn)性回歸方程.其中,分別為,的估計(jì)值,稱(chēng)為回歸截距,稱(chēng)為回歸系數(shù),稱(chēng)為回歸值. 在前面質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)性回歸方程中,,. 3. 線(xiàn)性回歸方程中,的意義是:以為基數(shù),每增加1個(gè)單位,相應(yīng)地平均增加個(gè)單位; 4. 化歸思想(轉(zhuǎn)化思想) 在實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)兩個(gè)變量之間的關(guān)系并不是線(xiàn)性關(guān)系,這就需要我們根據(jù)專(zhuān)業(yè)知識(shí)或散點(diǎn)圖,對(duì)某些特殊的非線(xiàn)性關(guān)系,選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,把非線(xiàn)性方程轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性回歸方程,從而確定未知參數(shù).下面列舉出一些常見(jiàn)的曲線(xiàn)方程,并給出相應(yīng)的化為線(xiàn)性回歸方程的換元公式. (1),令,,則有. (2),令,,,則有. (3),令,,,則有. (4),令,,,則有. (5),令,,則有. 四.?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 1.例題: 例1.下表給出了我國(guó)從年至年人口數(shù)據(jù)資料,試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)我國(guó)年的人口數(shù). 年份 人口數(shù)/百萬(wàn) 解:為了簡(jiǎn)化數(shù)據(jù),先將年份減去,并將所得值用表示,對(duì)應(yīng)人口數(shù)用表示,得到下面的數(shù)據(jù)表: 作出個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的散點(diǎn)圖, 由圖可知,這些點(diǎn)在一條直線(xiàn)附近,可以用線(xiàn)性回歸模型來(lái)表示它們之間的關(guān)系. 根據(jù)公式(1)可得 這里的分別為的估 計(jì)值,因此線(xiàn)性回歸方程 為 由于年對(duì)應(yīng)的,代入線(xiàn)性回歸方程可得(百萬(wàn)),即年的人口總數(shù)估計(jì)為13.23億. 例2. 某地區(qū)對(duì)本地的企業(yè)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查,下表是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本(萬(wàn)元)與人均產(chǎn)出(萬(wàn)元)的數(shù)據(jù): 人均 資本 /萬(wàn)元 人均 產(chǎn)出 /萬(wàn)元 (1)設(shè)與之間具有近似關(guān)系(為常數(shù)),試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)和的值; (2)估計(jì)企業(yè)人均資本為萬(wàn)元時(shí)的人均產(chǎn)出(精確到). 分析:根據(jù),所具有的關(guān)系可知,此問(wèn)題不是線(xiàn)性回歸問(wèn)題,不能直接用線(xiàn)性回歸方程處理.但由對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可知,只要對(duì)的兩邊取對(duì)數(shù),就能將其轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性關(guān)系. 解(1)在的兩邊取常用對(duì)數(shù),可得,設(shè),,,則.相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算如圖所示. 1 人均資本/萬(wàn)元 3 4 5.5 6.5 7 8 9 10.5 11.5 14 2 人均產(chǎn)出/萬(wàn)元 4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 14.43 17.5 25.46 26.66 45.2 3 0.47712 0.60206 0.74036 0.81291 0.8451 0.90309 0.95424 1.02119 1.0607 1.14613 4 0.6149 0.66932 0.93852 1.04179 1.11528 1.15927 1.24304 1.40586 1.42586 1.65514 仿照問(wèn)題情境可得,的估計(jì)值,分別為由可得,即,的估計(jì)值分別為和. (2)由(1)知.樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線(xiàn)的圖形如圖(見(jiàn)書(shū)本 頁(yè)) 當(dāng)時(shí),(萬(wàn)元),故當(dāng)企業(yè)人均資本為萬(wàn)元時(shí),人均產(chǎn)值約為萬(wàn)元. 2.練習(xí):練習(xí)第題. 五.回顧小結(jié): 1. 線(xiàn)性回歸模型與確定性函數(shù)相比,它表示與之間是統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系(非確定性關(guān)系)其中的隨機(jī)誤差提供了選擇模型的準(zhǔn)則以及在模型合理的情況下探求最佳估計(jì)值,的工具; 2. 線(xiàn)性回歸方程中,的意義是:以為基數(shù),每增加1個(gè)單位,相應(yīng)地平均增加個(gè)單位; 3.求線(xiàn)性回歸方程的基本步驟. 六.課外作業(yè):第題. 回歸分析(2) 教學(xué)目標(biāo) (1)通過(guò)實(shí)例了解相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì),感受相關(guān)性檢驗(yàn)的作用; (2)能對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn),并解決簡(jiǎn)單的回歸分析問(wèn)題; (3)進(jìn)一步了解回歸的基本思想、方法及初步應(yīng)用. 教學(xué)重點(diǎn),難點(diǎn) 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)及其顯著性檢驗(yàn)的基本思想、操作步驟. 教學(xué)過(guò)程 一.問(wèn)題情境 1.情境:下面是一組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,若求出相應(yīng)的線(xiàn)性回歸方程,求出的線(xiàn)性回歸方程可以用作預(yù)測(cè)和估計(jì)嗎? 2.問(wèn)題:思考、討論:求得的線(xiàn)性回歸方程是否有實(shí)際意義. 二.學(xué)生活動(dòng) 對(duì)任意給定的樣本數(shù)據(jù),由計(jì)算公式都可以求出相應(yīng)的線(xiàn)性回歸方程,但求得的線(xiàn)性回歸方程未必有實(shí)際意義.左圖中的散點(diǎn)明顯不在一條直線(xiàn)附近,不能進(jìn)行線(xiàn)性擬合,求得的線(xiàn)性回歸方程是沒(méi)有實(shí)際意義的;右圖中的散點(diǎn)基本上在一條直線(xiàn)附近,我們可以粗略地估計(jì)兩個(gè)變量間有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,但它們線(xiàn)性相關(guān)的程度如何,如何較為精確地刻畫(huà)線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系呢? 這就是上節(jié)課提到的問(wèn)題①,即模型的合理性問(wèn)題.為了回答這個(gè)問(wèn)題,我們需要對(duì)變量與的線(xiàn)性相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)(簡(jiǎn)稱(chēng)相關(guān)性檢驗(yàn)). 三.建構(gòu)數(shù)學(xué) 1.相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式: 對(duì)于,隨機(jī)取到的對(duì)數(shù)據(jù),樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為 . 2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì): (1); (2)越接近與1,,的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng); (3)越接近與0,,的線(xiàn)性相關(guān)程度越弱. 可見(jiàn),一條回歸直線(xiàn)有多大的預(yù)測(cè)功能,和變量間的相關(guān)系數(shù)密切相關(guān). 3.對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的步驟: 相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值與1接近到什么程度才表明利用線(xiàn)性回歸模型比較合理呢?這需要對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).對(duì)此,在統(tǒng)計(jì)上有明確的檢驗(yàn)方法,基本步驟是: (1)提出統(tǒng)計(jì)假設(shè):變量,不具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系; (2)如果以的把握作出推斷,那么可以根據(jù)與(是樣本容量)在附錄(教材P111)中查出一個(gè)的臨界值(其中稱(chēng)為檢驗(yàn)水平); (3)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù); (4)作出統(tǒng)計(jì)推斷:若,則否定,表明有的把握認(rèn)為變量與之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系;若,則沒(méi)有理由拒絕,即就目前數(shù)據(jù)而言,沒(méi)有充分理由認(rèn)為變量與之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系. 說(shuō)明:1.對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn),一般取檢驗(yàn)水平,即可靠程度為. 2.這里的指的是線(xiàn)性相關(guān)系數(shù),的絕對(duì)值很小,只是說(shuō)明線(xiàn)性相關(guān)程度低,不一定不相關(guān),可能是非線(xiàn)性相關(guān)的某種關(guān)系. 3.這里的是對(duì)抽樣數(shù)據(jù)而言的.有時(shí)即使,兩者也不一定是線(xiàn)性相關(guān)的.故在統(tǒng)計(jì)分析時(shí),不能就數(shù)據(jù)論數(shù)據(jù),要結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行合理解釋?zhuān)? 4.對(duì)于上節(jié)課的例1,可按下面的過(guò)程進(jìn)行檢驗(yàn): (1)作統(tǒng)計(jì)假設(shè):與不具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系; (2)由檢驗(yàn)水平與在附錄中查得; (3)根據(jù)公式得相關(guān)系數(shù); (4)因?yàn)椋?,所以有﹪的把握認(rèn)為與之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,線(xiàn)性回歸方程為是有意義的. 四.?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 1.例題: 例1.下表是隨機(jī)抽取的對(duì)母女的身高數(shù)據(jù),試根據(jù)這些數(shù)據(jù)探討與之間的關(guān)系. 母親身高 女兒身高 解:所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示:由圖可以看出,這些點(diǎn)在一條直線(xiàn)附近, 因?yàn)?,? , , , 所以, 由檢驗(yàn)水平及,在附錄中查得,因?yàn)?所以可以認(rèn)為與之間具有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.線(xiàn)性回歸模型中的估計(jì)值分別為 , 故對(duì)的線(xiàn)性回歸方程為. 例2.要分析學(xué)生高中入學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響,在高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生,分析他們?nèi)雽W(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)和高一年級(jí)期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)?nèi)缦卤恚? 學(xué)生編號(hào) 入學(xué)成績(jī) 高一期末成績(jī) (1)計(jì)算入學(xué)成績(jī)與高一期末成績(jī)的相關(guān)系數(shù); (2)如果與之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,求線(xiàn)性回歸方程; (3)若某學(xué)生入學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榉郑嚬烙?jì)他高一期末數(shù)學(xué)考試成績(jī). 解:(1)因?yàn)?,? ,, . 因此求得相關(guān)系數(shù)為. 結(jié)果說(shuō)明這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度是比較高的; 小結(jié)解決這類(lèi)問(wèn)題的解題步驟: (1)作出散點(diǎn)圖,直觀判斷散點(diǎn)是否在一條直線(xiàn)附近; (2)求相關(guān)系數(shù); (3)由檢驗(yàn)水平和的值在附錄中查出臨界值,判斷與是否具有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系; (4)計(jì)算,,寫(xiě)出線(xiàn)性回歸方程. 2.練習(xí):練習(xí)第題. 五.回顧小結(jié): 1.相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式與回歸系數(shù)計(jì)算公式的比較; 2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì); 3.探討相關(guān)關(guān)系的基本步驟. 六.課外作業(yè):習(xí)題3.2第題.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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