2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.2幾種常見的平面變換2.2.3變換的復(fù)合與矩陣的乘法反射變換教學(xué)案蘇教版選修4.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.2幾種常見的平面變換2.2.3變換的復(fù)合與矩陣的乘法反射變換教學(xué)案蘇教版選修4 1.反射變換矩陣和反射變換 像,,這樣將一個平面圖形F變?yōu)殛P(guān)于定直線或定點對稱的平面圖形的變換矩陣,我們稱之為反射變換矩陣,對應(yīng)的變換叫做反射變換.相應(yīng)地,前者叫做軸反射,后者稱做中心反射.其中定直線稱為反射軸,定點稱做反射點. 2.線性變換 二階非零矩陣對應(yīng)的變換把直線變?yōu)橹本€,這種把直線變?yōu)橹本€的變換稱為線性變換.二階零矩陣把平面上所有的點都變換到坐標(biāo)原點(0,0),此時為線性變換的退化情況. 點在反射變換作用下的象 [例1] (1)矩陣將點A(2,5)變成了什么圖形?畫圖并指出該變換是什么變換. (2)矩陣將點A(2,7)變成了怎樣的圖形?畫圖并指出該變換是什么變換. [思路點撥] 先通過反射變換求出變換后點的坐標(biāo),再畫出圖形即可看出是什么變換. [精解詳析] (1)因為 =, 即點A(2,5)經(jīng)過變換后變?yōu)辄cA′(-2,5),它們關(guān)于y軸對稱, 所以該變換為關(guān)于y軸對稱的反射變換(如圖1). (2)因為 =,即點A(2,7)經(jīng)過變換后變?yōu)辄cA′(7,2),它們關(guān)于y=x對稱, 所以該變換為關(guān)于直線y=x對稱的反射變換(如圖2). (1)點在反射變換作用下對應(yīng)的象還是點.(2)常見的反射變換矩陣:表示關(guān)于原點對稱的反射變換矩陣,表示關(guān)于x軸對稱的反射變換矩陣,表示關(guān)于y軸對稱的反射變換矩陣,表示關(guān)于直線y=x對稱的反射變換矩陣,表示關(guān)于直線y=-x對稱的反射變換矩陣. 1.計算下列各式,并說明其幾何意義. (1) ; (2) ; (3) . 解:(1) =; (2) =; (3) =. 三個矩陣對應(yīng)的變換分別是將點(5,3)作關(guān)于x軸反射變換、關(guān)于原點的中心反射變換以及關(guān)于直線y=x的軸反射變換,得到的點分別是(5,-3),(-5,-3)和(3,5). 2.求出△ABC分別在M1=,M2=,M3=對應(yīng)的變換作用下的幾何圖形,并畫出示意圖,其中A(0,0),B(2,0),C(1,2). 解:在M1下,A→A′(0,0),B→B′(-2,0),C→C′(-1,2); 在M2下,A→A″(0,0),B→B″(2,0),C→C″(1,-2); 在M3下,A→A(0,0),B→B(-2,0),C→C(-1,-2). 圖形分別為 曲線在反射變換作用下的象 [例2] 橢圓+y2=1在經(jīng)過矩陣對應(yīng)的變換后所得的曲線是什么圖形? [思路點撥] 先通過反射變換求出曲線方程,再通過方程判斷圖形的形狀. [精解詳析] 任取橢圓+y2=1上的一點P(x0,y0),它在矩陣對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻′(x,y).則有 =,故. 因為點P在橢圓+y2=1上,所以+y=1, ∴+x′=1;因此x′+=1. 從而所求曲線方程為x2+=1,是橢圓. 矩陣把一個圖形變換為與之關(guān)于直線y=x對稱的圖形,反射變換對應(yīng)的矩陣要區(qū)分類型:點對稱、軸對稱. 3.求曲線y=(x>0)在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的曲線. 解:矩陣對應(yīng)的變換是關(guān)于原點對稱的變換,因此,得到的曲線為y=(x<0). 4.求直線y=4x在矩陣作用下變換所得的圖形. 解:任取直線y=4x在矩陣作用下變換所得的圖形上的一點P(x,y),一定存在變換前的點P′(x′,y′)與它對應(yīng),使得 = ,即(*) 又點P′(x′,y′)在直線y=4x上,所以y′=4x′,從而有y= x,從而直線y=4x在矩陣作用下變換成直線y=x.根據(jù)(*),它們關(guān)于直線y=-x對稱.如圖所示. 1.計算 ,并說明其幾何意義. 解: =,其幾何意義是:由矩陣M=確定的變換是關(guān)于直線y=-x的軸反射變換,將點(x,y)變換為點(-y,-x). 2.在矩陣變換下,圖(1),(2)中的△ABO變成了△A′B′O,其中點A的象為點A′,點B的象為點B′,試判斷相應(yīng)的幾何變換是什么? 解:(1)對應(yīng)的是關(guān)于原點的中心反射變換,矩陣形式為. (2)對應(yīng)的是關(guān)于y軸的軸反射變換,矩陣形式為. 3.求△ABC在經(jīng)過矩陣對應(yīng)的變換后所得圖形的面積,其中A(1,0),B(-2,0),C(5,4). 解:矩陣確定的變換是關(guān)于y軸的軸反射變換,它將點(x,y)變換為點(-x,y).所以平面△ABC在經(jīng)過矩陣對應(yīng)的變換后所得圖形是與原圖形全等的三角形,故只需求出△ABC的面積即可.所以所求圖形的面積為6. 4.求出曲線y=ex先在矩陣對應(yīng)的變換,后在矩陣對應(yīng)的變換作用下形成的曲線,并說明兩次變換后對應(yīng)的是什么變換? 解:因為矩陣對應(yīng)的變換是關(guān)于y軸的軸反射變換,變換后曲線為y=e-x.又因為矩陣對應(yīng)的變換是關(guān)于原點O的中心反射變換,變換后曲線為-y=ex,即y=-ex.兩次變換對應(yīng)的變換是關(guān)于x軸的軸反射變換. 5.變換T使圖形F:y=x2-1變?yōu)镕′:y=|x2-1|,試求變換T對應(yīng)的變換矩陣A. 解:當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時,A=; 當(dāng)x∈[-1,1]時,A=. 6.若曲線+=1經(jīng)過反射變換T變成曲線+=1,求變換T對應(yīng)的矩陣.(寫出兩個不同的矩陣) 解:T=或T=. 7.求關(guān)于直線y=3x對稱的反射變換所對應(yīng)的矩陣A. 解:在平面上任取一點P(x,y),令點P關(guān)于y=3x的對稱點為P′(x′,y′). 則 化簡得 ∴= . ∴關(guān)于直線y=3x對稱的反射變換對應(yīng)的矩陣為 A=. 8.已知矩陣M=,N=.在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線2x-y+1=0在變換TM,TN先后作用下得到曲線F,求曲線F的方程. 解:∵TM是關(guān)于直線y=x對稱的反射變換, ∴直線2x-y+1=0在TM的作用下得到直線F′: 2y-x+1=0. 設(shè)P(x0,y0)為F′上的任意一點,它在TN的作用下變?yōu)镻′(x′,y′), ∴= ,即 ∵點P在直線F′上, ∴2y0-x0+1=0, 即-2x′-y′+1=0. ∴所求曲線F的方程為2x+y-1=0.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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