2019-2020年高中數學《集合的含義及其表示》教案11 北師大版必修1.doc

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2019-2020年高中數學《集合的含義及其表示》教案11 北師大版必修1 教學分析 集合論是現代數學的一個重要的基礎.在高中數學中,集合的初步知識與其他內容有著密切的聯系,是學習、掌握和使用數學語言的基礎.課本從學生熟悉的集合(自然數的集合、有理數的集合等)出發(fā),結合實例給出元素、集合的含義,課本注重體現邏輯思考的方法,如抽象、概括等. 值得注意的問題:由于本小節(jié)的新概念、新符號較多,建議教學時先引導學生閱讀課本,然后進行交流,讓學生在閱讀與交流中理解概念并熟悉新符號的使用.在信息技術條件較好的學校,可以利用網絡平臺讓學生交流學習概念后的認識;也可以由教師給出問題,讓學生讀后回答問題,再由教師給出評價.這樣做的目的是培養(yǎng)學生主動學習的習慣,提高閱讀與理解、合作與交流的能力.在處理集合問題時,根據需要,及時提示學生運用集合語言進行表述. 三維目標 1.通過實例了解集合的含義,體會元素與集合的“屬于”關系,能選擇集合不同的語言形式描述具體的問題,提高語言轉換和抽象概括能力,樹立用集合語言表示數學內容的意識. 2.了解集合元素的確定性、互異性、無序性,掌握常用數集及其專用符號,并能夠用其解決有關問題,提高學生分析問題和解決問題的能力,培養(yǎng)學生的應用意識. 重點難點 教學重點:集合的基本概念與表示方法. 教學難點:選擇恰當的方法表示一些簡單的集合. 課時安排 1課時 設計方案（一） 教學過程 導入新課 思路1.軍訓前學校通知:8月15日8點,高一年級學生到操場集合進行軍訓.試問這個通知的對象是全體的高一學生還是個別學生？ 在這里,集合是我們常用的一個詞語,我們感興趣的是問題中某些特定(是高一而不是高二、高三)對象的總體,而不是個別的對象,為此,我們將學習一個新的概念——集合. 思路2.首先教師提出問題:在初中,我們已經接觸過一些集合,你能舉出一些集合的例子嗎?引導學生回憶、舉例和互相交流自己舉的例子.與此同時,教師對學生的活動給予評價.接著教師指出:那么,集合的含義是什么呢?這就是我們這一堂課所要學習的內容. 推進新課 新知探究 提出問題 ①請我們班的全體女生起立！接下來問:“咱班的所有女生能不能構成一個集合??？” ②下面請班上身高在1.75以上的男生起立！他們能不能構成一個集合??？ ③其實,生活中有很多東西能構成集合,比如新華字典里所有的漢字可以構成一個集合等等.那么,大家能不能再舉出一些生活中的實際例子呢?請你給出集合的含義. ④如果用A表示高一(3)班全體學生組成的集合,用a表示高一(3)班的一位同學,b是高一(4)班的一位同學,那么a、b與集合A分別有什么關系?由此看見元素與集合之間有什么關系？ ⑤世界上最高的山能不能構成一個集合？ ⑥世界上的高山能不能構成一個集合？ ⑦問題⑥說明集合中的元素具有什么性質？ ⑧由實數1、2、3、1組成的集合有幾個元素？ ⑨問題⑧說明集合中的元素具有什么性質？ ⑩由實數1、2、3組成的集合記為M,由實數3、1、2組成的集合記為N,這兩個集合中的元素相同嗎？這說明集合中的元素具有什么性質？由此類比實數相等,你發(fā)現集合有什么結論？ 討論結果： ①能. ②能. ③我們把研究的對象統稱為“元素”,那么把一些元素組成的總體叫“集合”. ④a是集合A的元素,b不是集合A的元素.學生得出元素與集合的關系有兩種:屬于和不屬于. ⑤能,是珠穆朗瑪峰. ⑥不能. ⑦確定性.給定的集合,它的元素必須是明確的,即任何一個元素要么在這個集合中,要么不在這個集合中,這就是集合的確定性. ⑧3個. ⑨互異性.一個給定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重復出現的,這就是集合的互異性. ⑩集合M和N相同.這說明集合中的元素具有無序性,即集合中的元素是沒有順序的.可以發(fā)現:如果兩個集合中的元素完全相同,那么這兩個集合是相等的. 提出問題 閱讀課本P3中:數學中一些常用的數集及其記法.快速寫出常見數集的記號. 活動：先讓學生閱讀課本,教師指定學生展示結果.學生寫出常用數集的記號后,教師強調:通常情況下,大寫的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,這是專用集合表示符號,類似于110、119等專用電話號碼一樣.以后,我們會經常用到這些常見的數集,要求熟練掌握. 討論結果： 常見數集的專用符號. N:非負整數集(或自然數集)(全體非負整數的集合); N*或N+:正整數集(非負整數集N內排除0的集合); Z:整數集(全體整數的集合); Q:有理數集(全體有理數的集合); R:實數集(全體實數的集合). 提出問題 ①前面所說的集合是如何表示的？ ②閱讀課本中的相關內容,并思考:除字母表示法和自然語言之外,還能用什么方法表示集合？ ③集合共有幾種表示法? 活動：①學生回顧所學的集合并作出總結.教師提示可以用字母或自然語言來表示. ②教師可以舉例幫助引導: 例如,24的所有正約數構成的集合,把24的所有正約數寫在大括號“{}”內,即寫出為{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式,這種表示集合的方法是列舉法.注意：大括號不能缺失;有些集合所含元素個數較多,元素又呈現出一定的規(guī)律,在不至于發(fā)生誤解的情況下,亦可用列舉法表示,如:從1到100的所有整數組成的集合:{1,2,3,…,100},自然數集N:{0,1,2,3,4,…,n,…};區(qū)分a與{a}:{a}表示一個集合,該集合只有一個元素,a表示這個集合的一個元素;用列舉法表示集合時不必考慮元素的前后次序;相同的元素不能出現兩次. 又例如,不等式x-3>2的解集,這個集合中的元素有無數個,不適合用列舉法表示.可以表示為{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2},這種表示集合的方法是描述法. ③讓學生思考總結已經學習了的集合表示法. 討論結果： ①方法一(字母表示法):大寫的英文字母表示集合,例如常見的數集N、Q,所有的正方形組成的集合記為A等等; 方法二(自然語言):用文字語言來描述出的集合,例如“所有的正方形”組成的集合等等. ②列舉法:把集合中的全部元素一一列舉出來,并用大括號“{}”括起來表示集合,這種表示集合的方法叫做列舉法; 描述法:在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及其取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情況下,也可以簡寫成列舉法的形式,只是去掉豎線和元素代表符號,例如:所有直角三角形的集合可以表示為{x|x是直角三角形},也可以寫成{直角三角形}. ③表示一個集合共有四種方法:字母表示法、自然語言、列舉法、描述法. 應用示例 思路1（溫小平提出） 1.下列各組對象不能組成集合的是( ) A.大于6的所有整數 B.高中數學的所有難題 C.被3除余2的所有整數 D.函數y=圖象上所有的點 活動：學生先思考、討論集合元素的性質,教師指導學生此類選擇題要逐項判斷.判斷一組對象能否構成集合,關鍵是看是否滿足集合元素的確定性. 在選項A、C、D中的元素符合集合的確定性;而選項B中,難題沒有標準,不符合集合元素的確定性,不能構成集合. 答案：B 變式訓練 1.下列條件能形成集合的是( ) A.充分小的負數全體 B.愛好足球的人 C.中國的富翁 D.某公司的全體員工 答案：D 2.xx浙江寧波高三第一次“十校聯考”,理1 在數集{2x,x2-x}中,實數x的取值范圍是. 分析:實數x的取值滿足集合元素的互異性,則2x≠x2-x,解得x≠0且x≠3,∴實數x的取值范圍是{x|x<0或03}. 答案：{x|x<0或03} 點評：本題主要考查集合的含義和元素的性質.當所指的對象非常明確時就能構成集合,若元素不明確,沒有判斷的標準就不能構成集合. 2.用列舉法表示下列集合: (1)小于10的所有自然數組成的集合; (2)方程x2=x的所有實數根組成的集合; (3)由1~20以內的所有質數組成的集合. 活動：學生先思考或討論列舉法的形式,展示解答過程.當學生出現錯誤時,教師及時加以糾正.利用相關的知識先明確集合中的元素,再把元素寫入大括號“{}”內,并用逗號隔開.所給的集合均是用自然語言給出的. 提示學生注意以下方面: (1)自然數中包含零; (2)解一元二次方程有公式法和分解因式法,方程x2=x的根是x=0,x=1; (3)除去1和本身外沒有其他約數的正整數是質數,1~20以內的所有質數是2、3、5、7、11、13、17、19. 解：(1)設小于10的所有自然數組成的集合為A,那么 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)設方程x2=x的所有實數根組成的集合為B,那么 A={0,1}. (3)設由1~20以內的所有質數組成的集合為C,那么 C={2,3,5,7,11,13,17,19}. 點評：本題主要考查集合表示法中的列舉法.通過本題可以體會利用集合表示數學內容的簡潔性和嚴謹性,以后我們盡量用集合來表示數學內容. 如果一個集合是有限集,并且元素的個數較少時,通常選擇列舉法表示,其特點是非常顯明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法; 列舉法表示集合的步驟:(1)用字母表示集合;(2)明確集合中的元素;(3)把集合中所有元素寫在大括號“{}”內,并寫成A={……}的形式. 變式訓練 用列舉法表示下列集合: (1)所有絕對值等于8的數的集合A; (2)所有絕對值小于8的整數的集合B. 答案：(1)A={-8,8}; (2)B={-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}. 3.試分別用列舉法和描述法表示下列集合: (1)方程x2-2=0的所有實數根組成的集合; (2)由大于10小于20的所有整數組成的集合. 活動：先讓學生回顧列舉法表示集合的步驟,思考描述法的形式,再找學生到黑板上書寫.當學生出現錯誤時,教師指導學生書寫過程.用描述法表示集合時,要用數學符號表示集合元素的特征.大于10小于20的所有整數用數學符號可以表示為106}; (3)不等式x-7<3的解是x<10,則 不等式x-7<3的解集表示為{x|x<10}. 點評：本題主要考查集合的描述法表示.描述法適用于元素個數是有限個并且較多或無限個的集合. 用描述法表示集合時,集合元素的代表符號不能隨便設,點集的元素代表符號是(x,y),數集的元素代表符號常用x.集合中元素的公共特征屬性可以用文字直接表述,最好用數學符號表示,必須抓住其實質. 變式訓練 用描述法表示下列集合: (1)方程2x+y=5的解集; (2)小于10的所有非負整數的集合; (3)方程ax+by=0(ab≠0)的解; (4)數軸上離開原點的距離大于3的點的集合; (5)平面直角坐標系中第Ⅱ、Ⅳ象限點的集合; (6)方程組的解的集合; (7){1,3,5,7,…}; (8)x軸上所有點的集合; (9)非負偶數; (10)能被3整除的整數. 解：(1){(x,y)|2x+y=5}; (2){x|0≤x<10,x∈Z}; (3){(x,y)|ax+by=0(ab≠0)}; (4){x||x|>3}; (5){(x,y)|xy<0}; (6){(x,y)|}; (7){x|x=2k-1,k∈N*}; (8){(x,y)|x∈R,y=0}; (9){x|x=2k,k∈N}; (10){x|x=3k,k∈Z}. 知能訓練 課本P5練習1、2. 【補充練習】 1.下列對象能否組成集合: (1)數組1、3、5、7; (2)到兩定點距離的和等于兩定點間距離的點; (3)滿足3x-2>x+3的全體實數; (4)所有直角三角形; (5)美國NBA的著名籃球明星; (6)所有絕對值等于6的數; (7)所有絕對值小于3的整數; (8)中國男子足球隊中技術很差的隊員; (9)參加xx年奧運會的中國代表團成員. 答案：(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能組成集合,(5)(8)不能組成集合. 2.(口答)說出下面集合中的元素: (1){大于3小于11的偶數}; (2){平方等于1的數}; (3){15的正約數}. 答案：(1)其元素為4,6,8,10; (2)其元素為-1,1; (3)其元素為1,3,5,15. 3.用符號∈或填空: (1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,______N; (2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,______Z; (3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,______Q; (4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,______R. 答案： (1)∈ ∈ (2)∈ ∈ ∈ (3)∈ ∈ ∈ ∈ (4)∈ ∈ ∈ ∈ ∈ 4.判斷正誤: (1)所有屬于N的元素都屬于N*. ( ) (2)所有屬于N的元素都屬于Z. ( ) (3)所有不屬于N*的數都不屬于Z. ( ) (4)所有不屬于Q的實數都屬于R. ( ) (5)不屬于N的數不能使方程4x=8成立. ( ) 答案：(1) (2)√ (3) (4)√ (5)√ 5.分別用列舉法、描述法表示方程組的解集. 解：因的解為 用描述法表示該集合為{(x,y)|}; 用列舉法表示該集合為{(3,-7)}. 拓展提升（賴林生提出） 問題:集合A={x|x=a+b,a∈Z,b∈Z},判斷下列元素x=0、、與集合A之間的關系. 活動：學生先思考元素與集合之間有什么關系,書寫過程,將元素x化為a+2b的形式,再判斷a、b是否為整數.描述法表示集合的優(yōu)點是突出顯示了集合元素的特征,那么判斷一個元素是否屬于集合時,轉化為判斷這個元素是否滿足集合元素的特征即可. 解：由于x=a+b,a∈Z,b∈Z, ∴當a=b=0時,x=0.∴0∈A. 又=+1=1+, 當a=b=1時,a+b=1+,∴∈A. 又=+, 當a=3,b=1時,a+b=+,而3Z, ∴A. ∴0∈A,∈A,A. 點評：本題考查集合的描述法表示以及元素與集合間的關系. 課堂小結 本節(jié)學習了:(1)集合的概念;(2)集合的表示法;(3)利用列舉法和描述法表示集合的步驟. 作業(yè) 課本P11習題1.1A組2、3、4. 設計感想 集合語言是現代數學的基本語言,在高中數學課程中,它也是學習、掌握和使用數學語言的基礎.由于集合的概念較難理解,因此設計時采用漸進式學習,而集合的列舉法和描述法的形式比較容易接受,在設計時注重讓學生自己學習,重點引導學生學習這兩種方法的應用.同時通過解決一系列具體問題,使學生自己體會到集合各種表示法的優(yōu)缺點;針對不同問題,能選用合適集合表示法.在練習過程中熟練掌握集合語言與自然語言的轉換.教師在教學過程中時時監(jiān)控,對學生不可能解決的問題,如集合常見表示法的寫法,常見數集及其記法應直接給出,以避免出現不必要的混亂.對學生解題過程中遇到的困難給予適當點撥.引導學生養(yǎng)成良好學習習慣,最大限度地挖掘學生的學習潛力是我們教師的奮斗目標.