2019-2020年高中數(shù)學 直線與圓錐曲線 板塊二 直線與雙曲線完整講義(學生版).doc
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2019-2020年高中數(shù)學 直線與圓錐曲線 板塊二 直線與雙曲線完整講義(學生版) 1.橢圓的定義:平面內與兩個定點的距離之和等于常數(shù)(大于)的點的軌跡(或集合)叫做橢圓. 這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距. 2.橢圓的標準方程: ①,焦點是,,且. ②,焦點是,,且. 3.橢圓的幾何性質(用標準方程研究): ⑴范圍:,; ⑵對稱性:以軸、軸為對稱軸,以坐標原點為對稱中心,橢圓的對稱中心又叫做橢圓的中心; ⑶橢圓的頂點:橢圓與它的對稱軸的四個交點,如圖中的; ⑷長軸與短軸:焦點所在的對稱軸上,兩個頂點間的線段稱為橢圓的長軸,如圖中線段的;另一對頂點間的線段叫做橢圓的短軸,如圖中的線段. ⑸橢圓的離心率:,焦距與長軸長之比,,越趨近于,橢圓越扁; 反之,越趨近于,橢圓越趨近于圓. 4.直線:與圓錐曲線:的位置關系: 直線與圓錐曲線的位置關系可分為:相交、相切、相離.對于拋物線來說,平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點,但并不是相切;對于雙曲線來說,平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點,但并不相切.這三種位置關系的判定條件可歸納為: 設直線:,圓錐曲線:,由 消去(或消去)得:. 若,,相交;相離;相切. 若,得到一個一次方程:①為雙曲線,則與雙曲線的漸近線平行;②為拋物線,則與拋物線的對稱軸平行. 因此直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件,但不是充分條件. 5.連結圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦. 求弦長的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立,求出兩交點的坐標,然后運用兩點間的距離公式來求; 另外一種求法是如果直線的斜率為,被圓錐曲線截得弦兩端點坐標分別為,則弦長公式為. 兩根差公式: 如果滿足一元二次方程:, 則(). 6.直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有: ①從方程的觀點出發(fā),利用根與系數(shù)的關系來進行討論,這是用代數(shù)方法來解決幾何問題的基礎.要重視通過設而不求與弦長公式簡化計算,并同時注意在適當時利用圖形的平面幾何性質. ②以向量為工具,利用向量的坐標運算解決與中點、弦長、角度相關的問題. 典例分析 【例1】 若直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點,則的取值范圍是_______ 【例2】 過雙曲線的右焦點直線交雙曲線于、兩點,若,則這樣的直線有_____條 【例3】 過點與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為______ 【例4】 直線與雙曲線相交于兩點、,則=_________. 【例5】 若直線與雙曲線沒有公共點,求的取值范圍. 【例6】 若直線與雙曲線有且只有一個公共點,求的的值. 【例7】 若直線與雙曲線有兩個相異公共點,求的取值范圍. 【例8】 直線與雙曲線的一支有兩個相異公共點,求的取值范圍. 【例9】 若直線與雙曲線的兩支各有一個公共點,求的取值范圍. 【例10】 若直線與雙曲線的右支有兩個相異公共點,求的取值范圍. 【例11】 已知不論取何實數(shù),直線與雙曲線總有公共點,求實數(shù)的取值范圍. 【例12】 直線與雙曲線交于、兩點.①當為何值時,、分別在雙曲線的兩支上?②當為何值時,以為直徑的圓過坐標原點? 【例13】 已知直線與雙曲線相交于兩個不同點、. ①求的取值范圍; ②若軸上的點到、兩點的距離相等,求的值. 【例14】 已知直線與雙曲線,記雙曲線的右頂點為,是否存在實數(shù),使得直線與雙曲線的右支交于兩點,且,若存在,求出值:若不存在,請說明理由. 【例15】 已知點,,動點滿足條件,記動點的軌跡為. ⑴求的方程; ⑵若、是曲線上不同的兩點,是坐標原點,求的最小值. 【例16】 直線與雙曲線的右支交不同的,兩點, ⑴求實數(shù)取值范圍; ⑵是否存在實數(shù),使得以線段直徑的圓經過雙曲線的右焦點.若存在,求出值:若不存在,請說明理由. 【例17】 雙曲線的中心在原點,右焦點為,漸近線方程為. ⑴求雙曲線的方程; ⑵設直線:與雙曲線交于、兩點,問:當為何值時,以為直徑的圓過原點. 【例18】 已知雙曲線的中心在原點,焦點在軸上,離心率為,過其右焦點且傾斜角為的直線被雙曲線截得的弦的長為. ⑴求此雙曲線的方程; ⑵若直線與該雙曲線交于兩個不同點、,且以線段為直徑的圓過原點,求定點到直線的距離的最大值,并求此時直線的方程. ___________________________________________________________________________________________________________________________ / / / / / /○/ / / / / /○/ / / / / /○ 密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線 ○/ / / / / /○/ / / / / /○/ / / / / / 密 封 線 內 不 要 答 題 【例19】 在中,已知、,動點滿足. ⑴求動點的軌跡方程; ⑵設點,,過點作直線垂直,且與直線交于點,試在軸上確定一點,使得; ⑶在⑵的條件下,設點關于軸的對稱點為,求的值. 【例20】 已知中心在原點的雙曲線的右焦點為,右頂點為. ⑴求雙曲線的方程; ⑵若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點和,且(其中為原點),求的取值范圍. 【例21】 已知雙曲線,設過點的直線的方向向量 . ⑴當直線與雙曲線的一條漸近線平行時,求直線的方程及與的距離; ⑵證明:當>時,在雙曲線的右支上不存在點,使之到直線的距離為. 【例22】 已知雙曲線的方程為,離心率,頂點到漸近線的距離為. ⑴求雙曲線的方程; ⑵如圖,是雙曲線上一點,,兩點在雙曲線的兩條漸近線上,且分別位于第一、二象限,若,,求面積的取值范圍. 【例23】 已知以原點為中心,為右焦點的雙曲線的離心率. ⑴求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程; ⑵如圖,已知過點的直線與過點(其中)的直線的交點在雙曲線上,直線與兩條漸近線分別交與、兩點,求的面積. 【例24】 已知動圓過點并且與圓相外切,動圓圓心的軌跡為,軌跡與軸的交點為. ⑴求軌跡的方程; ⑵設直線過點且與軌跡有兩個不同的交點,,求直線的斜率的取值范圍; ⑶在⑵的條件下,若,證明直線過定點,并求出這個定點的坐標. 【例25】 已知點為雙曲線(為正常數(shù))上任一點,為雙曲線的右焦點,過 作右準線的垂線,垂足為,連接并延長交軸于. ⑴求線段的中點的軌跡的方程; ⑵設軌跡與軸交于、兩點,在上任取一點,直線,分別交軸于兩點.求證:以為直徑的圓過兩定點. (焦點在軸上的標準雙曲線的準線方程為) 【例26】 已知雙曲線的離心率為,右準線方程為. ⑴求雙曲線的方程; ⑵設直線是圓上動點處的切線,與雙曲線交于不同的兩點,證明的大小為定值.- 配套講稿:
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