2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第28講 數(shù)列概念及等差數(shù)列教案 新人教版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第28講 數(shù)列概念及等差數(shù)列教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．?dāng)?shù)列的概念和簡單表示法；通過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)； 2．通過實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和的公式； 3．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。 二．命題走向 數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個客觀性題目和一個解答題。對于本將來講，客觀性題目主要考察數(shù)列、等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式等基本知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基本的計算技能要求比較高。 預(yù)測07年高考： 1．題型既有靈活考察基礎(chǔ)知識的選擇、填空，又有關(guān)于數(shù)列推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題的解答題； 2．知識交匯的題目一般是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題聯(lián)系的綜合題，還可能涉及部分考察證明的推理題。 三．要點(diǎn)精講 1．?dāng)?shù)列的概念 （1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列； 數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作，在數(shù)列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，……，序號為 的項叫第項（也叫通項）記作； 數(shù)列的一般形式：，，，……，，……，簡記作 。 （2）通項公式的定義：如果數(shù)列的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。 例如，數(shù)列①的通項公式是= （7，），數(shù)列②的通項公式是= （）。 說明：①表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項，= 表示數(shù)列的通項公式；② 同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。例如，= =； ③不是每個數(shù)列都有通項公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示： 序號：1 2 3 4 5 6 項 ：4 5 6 7 8 9 上面每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值……，，……．通常用來代替，其圖象是一群孤立點(diǎn)。 （4）數(shù)列分類：①按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；②按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動數(shù)列。 （5）遞推公式定義：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個 數(shù)列的遞推公式。 2．等差數(shù)列 （1）等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。 （2）等差數(shù)列的通項公式：； 說明：等差數(shù)列（通常可稱為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。 （3）等差中項的概念： 定義：如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項。其中 ，，成等差數(shù)列。 （4）等差數(shù)列的前和的求和公式：。 四．典例解析 題型1：數(shù)列概念 例1．根據(jù)數(shù)列前4項，寫出它的通項公式： （1）1，3，5，7……； （2），，，； （3），，，。 解析：（1）=2； （2）= ； （3）= 。 點(diǎn)評：每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號到另一個數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系，這對考生的歸納推理能力有較高的要求。 例2．?dāng)?shù)列中，已知， （1）寫出，，； （2）是否是數(shù)列中的項？若是，是第幾項？ 解析：（1）∵，∴， ，； （2）令，解方程得， ∵，∴， 即為該數(shù)列的第15項。 點(diǎn)評：該題考察數(shù)列通項的定義，會判斷數(shù)列項的歸屬。 題型2：數(shù)列的遞推公式 例3．如圖,一粒子在區(qū)域上運(yùn)動,在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn),接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運(yùn)動，且每秒移動一個單位長度。 （1）設(shè)粒子從原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時，所經(jīng)過的時間分別為，試寫出的通相公式； （2）求粒子從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時所需的時間； （3）粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動，求經(jīng)過xx秒后，它所處的坐標(biāo)。 解析：(1) 由圖形可設(shè)，當(dāng)粒子從原點(diǎn)到達(dá)時，明顯有 …　　　　　　　　　　　　　… ∴＝, 。 , 。 , , 即。 （2）有圖形知，粒子從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時所需的時間是到達(dá)點(diǎn)所經(jīng)過得時間 再加（44－16）＝28秒， 所以秒。 （3）由xx，解得，取最大得n=44， 經(jīng)計算，得＝19800， 又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0， 由S7>S8，得a8<0，而C選項S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0， 由題設(shè)a7=0，a8<0，顯然C選項是錯誤的。 （2）答案：C 解法一：由題意得方程組， 視m為已知數(shù)，解得， ∴。 解法二：設(shè)前m項的和為b1，第m+1到2m項之和為b2，第2m+1到3m項之和為b3，則b1，b2，b3也成等差數(shù)列。 于是b1=30，b2=100－30=70，公差d=70－30=40。 ∴b3=b2+d=70+40=110 ∴前3m項之和S3m=b1+b2+b3=210. 解法三：取m=1，則a1=S1=30，a2=S2－S1=70，從而d=a2－a1=40。 于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。 點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的基本知識，及靈活運(yùn)用等差數(shù)列解決問題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問題，等比數(shù)列也有類似性質(zhì).解法三中，從題給選擇支獲得的信息可知，對任意變化的自然數(shù)m，題給數(shù)列前3m項的和是與m無關(guān)的不變量，在含有某種變化過程的數(shù)學(xué)問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。 例14．（xx上海，21）在XOY平面上有一點(diǎn)列P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn），…，對每個自然數(shù)n，點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=xx（）x（0＜a＜10＝的圖象上，且點(diǎn)Pn、點(diǎn)（n，0）與點(diǎn)（n+1，0）構(gòu)成一個以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形。 （Ⅰ）求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式； （Ⅱ）若對每個自然數(shù)n，以bn，bn＋1，bn＋2為邊長能構(gòu)成一個三角形，求a的取值范圍； （Ⅲ）（理）設(shè)Bn＝b1，b2…bn（n∈N）.若a?。á颍┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列｛Bn｝的最大項的項數(shù)。 （文）設(shè)cn＝lg（bn）（n∈N）.若a?。á颍┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列｛cn｝前多少項的和最大?試說明理由。 解析：.解：（Ⅰ）由題意，an＝n＋，∴bn＝xx（）。 （Ⅱ）∵函數(shù)y=xx（）x（0＜a＜10）遞減， ∴對每個自然數(shù)n，有bn＞bn＋1＞bn＋2 則以bn，bn＋1，bn＋2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是bn＋2＋bn＋1＞bn， 即（）2＋（－1）＞0， 解得a＜－5（1＋）或a＞5（－1）， ∴5（－1）＜a＜10． （Ⅲ）（理）∵5（－1）＜a＜10， ∴a=7，bn＝xx（）。 數(shù)列｛bn｝是一個遞減的正數(shù)數(shù)列.對每個自然數(shù)n≥2，Bn＝bnBn－1。 于是當(dāng)bn≥1時，Bn≥Bn－1，當(dāng)bn＜1時，Bn＜Bn－1， 因此，數(shù)列｛Bn｝的最大項的項數(shù)n滿足不等式bn≥1且bn＋1＜1。 由bn＝xx（）≥1，得n≤20.8，∴n=20。 （文）∵5（－1）＜a＜10，∴a=7，bn＝xx（）。 于是cn＝lg［xx（）］＝3＋lg2（n＋）lg0.7 數(shù)列｛cn｝是一個遞減的等差數(shù)列. 因此，當(dāng)且僅當(dāng)cn≥0，且cn＋1＜0時，數(shù)列｛cn｝的前n項的和最大。 由cn＝3＋lg2＋（n＋）lg0．7≥0， 得n≤20.8，∴n=20。 點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的性質(zhì)，解不等式，等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識，及等價轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法. 五．思維總結(jié) 1．?dāng)?shù)列的知識要點(diǎn)： （1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列是定義在自然數(shù)集N（或它的有限子集｛1，2，3，…，n，…｝）上的函數(shù)f（n），當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值：f（1），f（2），f（3），…，f（n），…。數(shù)列的圖象是由一群孤立的點(diǎn)構(gòu)成的。 （2）對于數(shù)列的通項公式要掌握：①已知數(shù)列的通項公式，就可以求出數(shù)列的各項；②根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式，這是一個難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中要注意觀察數(shù)列中各項與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項，看看這幾項的分解中．哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項中變化部分與序號的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項公式；③一個數(shù)列還可以用遞推公式來表示；④在數(shù)列｛an｝中，前n 項和Sn 與通項公式an 的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握之。即an＝。特別要注意的是，若a1 適合由an＝Sn－Sn－1（n≥2）可得到的表達(dá)式，則an 不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子。 2．等差數(shù)列的知識要點(diǎn)： （1）等差數(shù)列定義an＋1－an＝d（常數(shù)）（n N），這是證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的依據(jù)，要防止僅由前若干項，如a3－a2＝a2－a1＝d（常數(shù)）就說｛an｝是等差數(shù)列這樣的錯誤，判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列。還可由an＋an＋2＝2 an＋1 即an＋2－an＋1＝an＋1－an 來判斷。 （2）等差數(shù)列的通項為an＝a1＋（n－1）d．可整理成an＝an＋（a1－d），當(dāng)d≠0時，an 是關(guān)于n 的一次式，它的圖象是一條直線上，那么n 為自然數(shù)的點(diǎn)的集合。 （3）對于A 是a、b 的等差中項，可以表示成2 A＝a＋b。 （4）等差數(shù)列的前n 項和公式Sn＝n－na1＋d，可以整理成Sn＝n2＋。當(dāng)d≠0時是n 的一個常數(shù)項為0的二次式。 （5）等差數(shù)列的判定方法： ①定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列； ②等差中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列。 3．等差數(shù)列的性質(zhì)： （1）在等差數(shù)列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項； （2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是， 如：，，，，……；，，，，……； （3）在等差數(shù)列中，對任意，，，； （4）在等差數(shù)列中，若，，，且，則； 5．說明：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（Ⅰ）若項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項，則①奇偶； ② ；（Ⅱ）若項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項，則①偶奇；②。 6．（1），時，有最大值；，時，有最小值；（2）最值的求法：①若已知，可用二次函數(shù)最值的求法（）；②若已知，則最值時的值（）可如下確定或。