2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第36講 空間向量及其應(yīng)用教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第36講 空間向量及其應(yīng)用教案 新人教版 一.課標(biāo)要求: (1)空間向量及其運(yùn)算 ① 經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程; ② 了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示; ③ 掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示; ④ 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示,能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。 (2)空間向量的應(yīng)用 ① 理解直線的方向向量與平面的法向量; ② 能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系; ③ 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理); ④ 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題,體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用。 二.命題走向 本講內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算、空間向量的應(yīng)用。本講是立體幾何的核心內(nèi)容,高考對(duì)本講的考察形式為:以客觀題形式考察空間向量的概念和運(yùn)算,結(jié)合主觀題借助空間向量求夾角和距離。 預(yù)測(cè)07年高考對(duì)本講內(nèi)容的考查將側(cè)重于向量的應(yīng)用,尤其是求夾角、求距離,教材上淡化了利用空間關(guān)系找角、找距離這方面的講解,加大了向量的應(yīng)用,因此作為立體幾何解答題,用向量法處理角和距離將是主要方法,在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。 三.要點(diǎn)精講 1.空間向量的概念 向量:在空間,我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向線段表示,并且同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量。 說(shuō)明:①由相等向量的概念可知,一個(gè)向量在空間平移到任何位置,仍與原來(lái)的向量相等,用同向且等長(zhǎng)的有向線段表示;②平面向量?jī)H限于研究同一平面內(nèi)的平移,而空間向量研究的是空間的平移。 2.向量運(yùn)算和運(yùn)算率 加法交換率: 加法結(jié)合率: 數(shù)乘分配率: 說(shuō)明:①引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率,然后推廣到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。 3.平行向量(共線向量):如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量或平行向量。平行于記作∥。 注意:當(dāng)我們說(shuō)、共線時(shí),對(duì)應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線,也可能是平行直線;當(dāng)我們說(shuō)、平行時(shí),也具有同樣的意義。 共線向量定理:對(duì)空間任意兩個(gè)向量(≠)、,∥的充要條件是存在實(shí)數(shù)使= 注:⑴上述定理包含兩個(gè)方面:①性質(zhì)定理:若∥(≠0),則有=,其中是唯一確定的實(shí)數(shù)。②判斷定理:若存在唯一實(shí)數(shù),使=(≠0),則有∥(若用此結(jié)論判斷、所在直線平行,還需(或)上有一點(diǎn)不在(或)上)。 ⑵對(duì)于確定的和,=表示空間與平行或共線,長(zhǎng)度為 ||,當(dāng)>0時(shí)與同向,當(dāng)<0時(shí)與反向的所有向量。 ⑶若直線l∥,,P為l上任一點(diǎn),O為空間任一點(diǎn),下面根據(jù)上述定理來(lái)推導(dǎo)的表達(dá)式。 推論:如果l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線,那么對(duì)任一點(diǎn)O,點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,滿足等式 ① 其中向量叫做直線l的方向向量。 在l上取,則①式可化為 ② 當(dāng)時(shí),點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn),則 ③ ①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式,③是線段AB的中點(diǎn)公式。 注意:⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基礎(chǔ),也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式;⑵推論的用途:解決三點(diǎn)共線問(wèn)題。⑶結(jié)合三角形法則記憶方程。 4.向量與平面平行:如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi),我們就說(shuō)向量平行于平面,記作∥。注意:向量∥與直線a∥的聯(lián)系與區(qū)別。 共面向量:我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。 共面向量定理 如果兩個(gè)向量、不共線,則向量與向量、共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y,使① 注:與共線向量定理一樣,此定理包含性質(zhì)和判定兩個(gè)方面。 推論:空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y,使 ④ 或?qū)臻g任一定點(diǎn)O,有⑤ 在平面MAB內(nèi),點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)(x, y)是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。 又∵代入⑤,整理得 ⑥ 由于對(duì)于空間任意一點(diǎn)P,只要滿足等式④、⑤、⑥之一(它們只是形式不同的同一等式),點(diǎn)P就在平面MAB內(nèi);對(duì)于平面MAB內(nèi)的任意一點(diǎn)P,都滿足等式④、⑤、⑥,所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個(gè)向量、(或不共線三點(diǎn)M、A、B)確定的空間平面的向量參數(shù)方程,也是M、A、B、P四點(diǎn)共面的充要條件。 5.空間向量基本定理:如果三個(gè)向量、、不共面,那么對(duì)空間任一向量,存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z, 使 說(shuō)明:⑴由上述定理知,如果三個(gè)向量、、不共面,那么所有空間向量所組成的集合就是,這個(gè)集合可看作由向量、、生成的,所以我們把{,,}叫做空間的一個(gè)基底,,,都叫做基向量;⑵空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底;⑶一個(gè)基底是指一個(gè)向量組,一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量,二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念;⑷由于可視為與任意非零向量共線。與任意兩個(gè)非零向量共面,所以,三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是。 推論:設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn),則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使 6.?dāng)?shù)量積 (1)夾角:已知兩個(gè)非零向量、,在空間任取一點(diǎn)O,作,,則角∠AOB叫做向量與的夾角,記作 A B O (1) O A B (2) A B O (3) 說(shuō)明:⑴規(guī)定0≤≤,因而=; ⑵如果=,則稱與互相垂直,記作⊥; A B O (4) ⑶在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí),要使有向線段的起點(diǎn)重合,注意圖(3)、(4)中的兩個(gè)向量的夾角不同, 圖(3)中∠AOB=, 圖(4)中∠AOB=, 從而有==. (2)向量的模:表示向量的有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模。 (3)向量的數(shù)量積:叫做向量、的數(shù)量積,記作。 A B l 即=, 向量: (4)性質(zhì)與運(yùn)算率 ⑴。 ⑴ ⑵⊥=0 ⑵= ⑶ ⑶ 四.典例解析 題型1:空間向量的概念及性質(zhì) 例1.有以下命題:①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底,那么的關(guān)系是不共線;②為空間四點(diǎn),且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底,那么點(diǎn)一定共面;③已知向量是空間的一個(gè)基底,則向量,也是空間的一個(gè)基底。其中正確的命題是( ) ①② ①③ ②③ ①②③ 解析:對(duì)于①“如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底,那么的關(guān)系一定共線”;所以①錯(cuò)誤。②③正確。 點(diǎn)評(píng):該題通過(guò)給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條件,為此我們要掌握好空間不共面與不共線的區(qū)別與聯(lián)系。 例2.下列命題正確的是( ) 若與共線,與共線,則與共線; 向量共面就是它們所在的直線共面; 零向量沒(méi)有確定的方向; 若,則存在唯一的實(shí)數(shù)使得; 解析:A中向量為零向量時(shí)要注意,B中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣,D中需保證不為零向量。 答案C。 點(diǎn)評(píng):零向量是一個(gè)特殊的向量,時(shí)刻想著零向量這一特殊情況對(duì)解決問(wèn)題有很大用處。像零向量與任何向量共線等性質(zhì),要兼顧。 題型2:空間向量的基本運(yùn)算 例3.如圖:在平行六面體中,為與的交點(diǎn)。若,,,則下列向量中與相等的向量是( ) 解析:顯然; 答案為A。 點(diǎn)評(píng):類比平面向量表達(dá)平面位置關(guān)系過(guò)程,掌握好空間向量的用途。用向量的方法處理立體幾何問(wèn)題,使復(fù)雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化,本題考查的是基本的向量相等,與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力。 例4.已知:且不共面.若∥,求的值. 解:∥,,且即 又不共面, 點(diǎn)評(píng):空間向量在運(yùn)算時(shí),注意到如何實(shí)施空間向量共線定理。 題型3:空間向量的坐標(biāo) 例5.(1)已知兩個(gè)非零向量=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),它們平行的充要條件是( ?。? A. :||=:|| B.a1b1=a2b2=a3b3 C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零實(shí)數(shù)k,使=k (2)已知向量=(2,4,x),=(2,y,2),若||=6,⊥,則x+y的值是( ) A. -3或1 B.3或-1 C. -3 D.1 (3)下列各組向量共面的是( ?。? A. =(1,2,3),=(3,0,2),=(4,2,5) B. =(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1) C. =(1,1,0),=(1,0,1),=(0,1,1) D. =(1,1,1),=(1,1,0),=(1,0,1) 解析:(1)D;點(diǎn)撥:由共線向量定線易知; (2)A 點(diǎn)撥:由題知或; (3)A 點(diǎn)撥:由共面向量基本定理可得。 點(diǎn)評(píng):空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算除了數(shù)量積外就是考察共線、垂直時(shí)參數(shù)的取值情況。 例6.已知空間三點(diǎn)A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4)。設(shè)=,=,(1)求和的夾角;(2)若向量k+與k-2互相垂直,求k的值. 思維入門指導(dǎo):本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應(yīng)用,套用公式即可得到所要求的結(jié)果. 解:∵A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),=,=, ∴=(1,1,0),=(-1,0,2). (1)cos==-, ∴和的夾角為-。 (2)∵k+=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), k-2=(k+2,k,-4),且(k+)⊥(k-2), ∴(k-1,k,2)(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0。 則k=-或k=2。 點(diǎn)撥:第(2)問(wèn)在解答時(shí)也可以按運(yùn)算律做。(+)(k-2)=k22-k-22=2k2+k-10=0,解得k=-,或k=2。 題型4:數(shù)量積 例7.(xx江西、山西、天津理,4)設(shè)、、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則 ①()-()= ②||-||<|-| ③()-()不與垂直 ④(3+2)(3-2)=9||2-4||2中,是真命題的有( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 答案:D 解析:①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.故①假; ②由向量的減法運(yùn)算可知||、||、|-|恰為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng),由“兩邊之差小于第三邊”,故②真; ③因?yàn)椋郏ǎǎ?()-()=0,所以垂直.故③假; ④(3+2)(3-2)=9-4=9||2-4||2成立.故④真. 點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律。 例8.(1)(xx上海文,理2)已知向量和的夾角為120,且||=2,||=5,則(2-)=_____. (2)設(shè)空間兩個(gè)不同的單位向量=(x1,y1,0),=(x2,y2,0)與向量=(1,1,1)的夾角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值;(2)求<,>的大小(其中0<<,><π。 解析:(1)答案:13;解析:∵(2-)=22-=2||2-||||cos120=24-25(-)=13。 (2)解:(1)∵||=||=1,∴x+y=1,∴x=y=1. 又∵與的夾角為,∴=||||cos==. 又∵=x1+y1,∴x1+y1=。 另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1,∴2x1y1=()2-1=.∴x1y1=。 (2)cos<,>==x1x2+y1y2,由(1)知,x1+y1=,x1y1=.∴x1,y1是方程x2-x+=0的解. ∴或同理可得或 ∵≠,∴或 ∴cos<,>=+=+=. ∵0≤<,>≤π,∴<,>=。 評(píng)述:本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算法則。 題型5:空間向量的應(yīng)用 例9.(1)已知a、b、c為正數(shù),且a+b+c=1,求證:++≤4。 (2)已知F1=i+2j+3k,F(xiàn)2=-2i+3j-k,F(xiàn)3=3i-4j+5k,若F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3共同作用于同一物體上,使物體從點(diǎn)M1(1,-2,1)移到點(diǎn)M2(3,1,2),求物體合力做的功。 解析:(1)設(shè)=(,,),=(1,1,1), 則||=4,||=. ∵≤||||, ∴=++≤||||=4. 當(dāng)==時(shí),即a=b=c=時(shí),取“=”號(hào)。 (2)解:W=Fs=(F1+F2+F3)=14。 點(diǎn)評(píng):若=(x,y,z),=(a,b,c),則由≤||||,得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又稱為柯西不等式(n=3)。本題考查||||≥的應(yīng)用,解題時(shí)要先根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造向量,,然后結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算??臻g向量的數(shù)量積對(duì)應(yīng)做功問(wèn)題。 例10.如圖,直三棱柱中,求證: 證明: 同理 又 設(shè)為中點(diǎn),則 又 點(diǎn)評(píng):從上述例子可以看出,利用空間向量來(lái)解決位置關(guān)系問(wèn)題,要用到空間多邊形法則,向量的運(yùn)算,數(shù)量積以及平行,相等和垂直的條件。 五.思維總結(jié) 本講內(nèi)容主要有空間直角坐標(biāo)系,空間向量的坐標(biāo)表示,空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算,平行向量,垂直向量坐標(biāo)之間的關(guān)系以及中點(diǎn)公式.空間直角坐標(biāo)系是選取空間任意一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i,j,k}建立坐標(biāo)系,對(duì)于O點(diǎn)的選取要既有作圖的直觀性,而且使各點(diǎn)的坐標(biāo),直線的坐標(biāo)表示簡(jiǎn)化,要充分利用空間圖形中已有的直線的關(guān)系和性質(zhì);空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算同平面向量類似,具有類似的運(yùn)算法則.一個(gè)向量在不同空間的表達(dá)方式不一樣,實(shí)質(zhì)沒(méi)有改變.因而運(yùn)算的方法和運(yùn)算規(guī)律結(jié)論沒(méi)變。如向量的數(shù)量積ab=|a||b|cos在二維、三維都是這樣定義的,不同點(diǎn)僅是向量在不同空間具有不同表達(dá)形式.空間兩向量平行時(shí)同平面兩向量平行時(shí)表達(dá)式不一樣,但實(shí)質(zhì)是一致的,即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例,且比值為,對(duì)于中點(diǎn)公式要熟記。 對(duì)本講內(nèi)容的考查主要分以下三類: 1.以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì) 此類題一般難度不大,用以解決有關(guān)長(zhǎng)度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問(wèn)題。 2.向量在空間中的應(yīng)用 在空間坐標(biāo)系下,通過(guò)向量的坐標(biāo)的表示,運(yùn)用計(jì)算的方法研究三維空間幾何圖形的性質(zhì)。 在復(fù)習(xí)過(guò)程中,抓住源于課本,高于課本的指導(dǎo)方針。本講考題大多數(shù)是課本的變式題,即源于課本。因此,掌握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵。- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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