2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教案 新人教A版 高考要求： （1）通過具體實(shí)例（如細(xì)胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景； （2）理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算。 （3）理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)； （4）在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的過程中，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。 重點(diǎn)難點(diǎn)： 對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪含義的理解，學(xué)會(huì)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)； 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的理解與應(yīng)用，能將討論復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題轉(zhuǎn)化為討論比較簡(jiǎn)單的函數(shù)的有關(guān)問題． 知識(shí)梳理 1．根式的概念 (1)根式 如果一個(gè)數(shù)的n次方等于a ( n>1且n∈N*)，那么這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，則x叫做__a的n次方根___，其中n>1且n∈N*.式子叫做__根式__，這里n叫做_根指數(shù)__，a叫做__被開方數(shù)______． (2)根式的性質(zhì) ①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)，a的n次方根用符號(hào)________表示． ②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，這時(shí)，正數(shù)的正的n次方根用符號(hào)________表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)________表示．正負(fù)兩個(gè)n次方根可以合寫成________(a>0)．負(fù)數(shù)沒有偶次方根 ③;__________（須使有意義）. ④零的任何次方根都是零． 2.有理數(shù)指數(shù)冪 (1)冪的有關(guān)概念 ①正整數(shù)指數(shù)冪：N*). n個(gè) ②零指數(shù)冪： ③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪： Q a≠0，). ④正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a=（a＞0，m、n都是正整數(shù)，n＞1）. ⑤負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：=（a＞0，m、n都是正整數(shù)，n＞1） ⑥0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于______，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪___無意義_____. (2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) ①aras＝________(a>0，r，s∈Q)． ②(ar)s＝________(a>0，r，s∈Q)． ③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)． （注）上述性質(zhì)對(duì)r、R均適用。 3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a>1 00時(shí)，______；當(dāng)x<0時(shí)，______ (5)當(dāng)x>0時(shí)，________；當(dāng)x<0時(shí)，______ (6)在(－∞，＋∞) 上是______ (7)在(－∞，＋∞) 上是______ 1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且圖象都在第一、二象限； 2）指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時(shí)，圖象向左無限接近軸，當(dāng)時(shí)，圖象向右無限接近軸）； 3）對(duì)于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱。 熱身練習(xí)： 1．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 (　　) ①當(dāng)a<0時(shí)，＝a3；②＝|a|；③函數(shù)y＝－(3x－7)0的定義域是(2，＋∞)； ④若100a＝5,10b＝2，則2a＋b＝1. A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列各式：（1） （2） （3） （4） ，（5）化簡(jiǎn)[(－2)6]－(－1)0的結(jié)果為 －9 其中正確的是____________ 3．函數(shù)y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，則有 (　　) A．a(chǎn)＝1或a＝2 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)>0且a≠1 4．如圖所示的曲線C1，C2，C3，C4分別是函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的圖象，則a，b，c，d的大小關(guān)系是 (　　) A．a(chǎn)1，b<0 B．a(chǎn)>1，b>0 C．00 D．0y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2 9. 若a>1，b>0，且ab＋a－b＝2，則ab－a－b的值等于 (　　) A. B．2或－2 C．－2 D．2 10． 11.下列說法中，正確的是 （ ） ①任取x∈R都有3x＞2x ②當(dāng)a＞1時(shí)，任取x∈R都有ax＞a－x ③y=()－x是增函數(shù) ④y=2|x|的最小值為1 ⑤在同一坐標(biāo)系中，y=2x與y=2－x的圖象對(duì)稱于y軸 A．①②④ B．④⑤ C．②③④ D．①⑤ 探究點(diǎn)一　有理指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值 例1（1）　 （2） 解：原式= 。 變式遷移1　（1）化簡(jiǎn) －(－1)0－； （2） (1)原式＝－2－1－ ＝(－2)－1－(－2)＝－1. （3）已知?jiǎng)t 。 解：∵，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴。 點(diǎn)評(píng)：本題直接代入條件求解繁瑣，故應(yīng)先化簡(jiǎn)變形，創(chuàng)造條件簡(jiǎn)化運(yùn)算。 （4）.下列各式中成立的一項(xiàng)是( ) A. B. C. D. （5）.化簡(jiǎn)= . （6）化簡(jiǎn)下列各式: ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1) ⑦ 指數(shù)冪化簡(jiǎn)與求值的原則和要求： (1)化簡(jiǎn)原則：①化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；②化負(fù)指數(shù)冪為正指數(shù)冪；③化小數(shù)為分?jǐn)?shù)；④注意運(yùn)算的先后順序． (2)結(jié)果要求： ①若題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示； ②若題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式給出，則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示； ③結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪． 探究點(diǎn)二　指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用 例2　（1）.已知函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A（其坐標(biāo)與a無關(guān)），則定點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ． 解析：令x+2＝0，即x＝-2，則f(x)＝-1. ∴圖象恒點(diǎn)定點(diǎn)A． （2）若直線y=2a與函數(shù)y=|ax－1|（a＞0且a≠1）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是__________. 解析： 方程|ax－1|＝2a有兩個(gè)不等實(shí)根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|ax－1|與函數(shù)y＝2a有兩個(gè)不同交點(diǎn)，作出函數(shù)y＝|ax－1|的圖象，從圖象觀察可知只有0<2a<1時(shí)，符合題意，即00時(shí)，e2x－1>0，且隨著x的增大而增大，故y＝1＋>1且隨著x的增大而減小，即函數(shù)y在(0，＋∞)上恒大于1且單調(diào)遞減．又函數(shù)y是奇函數(shù)，故只有A正確． 4．當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，函數(shù)f (x)=ax－2－3必過定點(diǎn) (2，－2) 5、函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ） A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn): 點(diǎn)評(píng)：指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象的相對(duì)位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示，則 在y軸右側(cè)，圖像從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變?。? 在y軸左側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小； 即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)針方向變大． 00} B.{y|y<0或y>0} C.{y|y<-2或y>0} D.{y|y<-或y>2} （2）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的范圍是 （ ） A. B. C. D. （3）函數(shù)y=（）的遞增區(qū)間是___________. （4）下列各式中正確的是（ D ） 點(diǎn)評(píng)：比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí)，盡量化同底數(shù)或同指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較大??；當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大?。? （5）對(duì)于函數(shù)定義域中任意的，有如下結(jié)論： ①； ②； ③； ④。 當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是 。 （6）例2．設(shè)0≤x≤2，求函數(shù)y=的最大值和最小值． 解析：設(shè)2x=t，∵０≤x≤2，∴1≤t≤4 原式化為：y=(t－a)2＋1 當(dāng)a≤1時(shí)，ymin=； 當(dāng)1＜a≤時(shí)，ymin=1，ymax=； 當(dāng)＜a＜4時(shí)，ymin=1，ymax=； 當(dāng)a≥4時(shí)，ymin=． （7）．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． ①求a，b的值； ②判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性； ③若對(duì)任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍． 解　(1)∵f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)， ∴f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，從而有f(x)＝. 又由f(1)＝－f(－1)知＝－， 解得a＝2.經(jīng)檢驗(yàn)a＝2適合題意， ∴所求a、b的值分別為2、1. (2)由(1)知f(x)＝＝－＋. 由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)．又因f(x)是奇函數(shù)， 從而不等式f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)． 因?yàn)閒(x)是減函數(shù)，由上式推得t2－2t>－2t2＋k. 即對(duì)一切t∈R有3t2－2t－k>0.從而判別式Δ＝4＋12k<0，解得k<－. 變式遷移3 （1）. 設(shè)指數(shù)函數(shù)，則下列等式不正確的是（ ） A . f(x+y)=f(x)f(y) B . f((xy))= C. D . （2）已知函數(shù)，滿足，且f(0)＝3，則f()與f()的大小關(guān)系是　　　　 解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的對(duì)稱軸為直線x＝1. 由此得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3. ∴f(x)在(－∞，1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增． 若x≥0，則≥≥1，∴f()≥f()．若x<0，則<<1，∴f()>f()． ∴f()≥f()． （3）若函數(shù)則的值為 （4）若函數(shù)f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，則實(shí)數(shù)a的值為________． （5）函數(shù)y＝|2x－1|在區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不單調(diào)，則k的取值范圍是 （6）若關(guān)于x的方程25-|x+1|-45-|x+1|=m有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ） A.m<0 B.m≥-4 C.-4≤m<0 D.-3≤m<0 解析：令t=5-|x+1|,則m=t2-4t=(t-2)2-4,又∵00且a≠1)在區(qū)間[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 解：設(shè)，則y＝＋2t－1＝(t＋1)－2. 當(dāng)a>1時(shí)，t∈[a ，a]．此時(shí)ymax＝＋2a－1＝14， 解得a＝3或a＝－5(舍去)． 當(dāng)00且a≠1)． ①判斷f(x)的奇偶性； ②討論f(x)的單調(diào)性； ③當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)f(x)≥b恒成立，求b的取值范圍． ④對(duì)于函數(shù)，當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，有，求的集合A． 解　 ①函數(shù)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 又因?yàn)閒(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)． ②當(dāng)a>1時(shí)，a2－1>0， y＝ax為增函數(shù)，y＝a－x為減函數(shù)，從而y＝ax－a－x為增函數(shù)， 所以f(x)為增函數(shù)． 當(dāng)00，且a≠1時(shí)，f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增． ③由(2)知f(x)在R上是增函數(shù)， ∴在區(qū)間[－1,1]上為增函數(shù)，∴f(－1)≤f(x)≤f(1)， ∴f(x)min＝f(－1)＝(a－1－a)＝＝－1. ∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，則只需b≤－1， 故b的取值范圍是(－∞，－1]． ④∵f(1－t)＋f(1－t2)＜0，f(x)是奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)， 練習(xí)： 1．已知函數(shù)f(x)＝2x－2，則函數(shù)y＝|f(x)|的圖象可能是(　　) 解析：y＝|f(x)|＝|2x－2|＝ ∴函數(shù)y＝|f(x)|在[1，＋∞)上為增函數(shù)，在(－∞，1)上為減函數(shù)． 2．函數(shù)y＝()x＋1的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圖象大致是 (　　) 解析：選通過平移變換作出函數(shù)y＝()x＋1的圖象，再作關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圖象即可． 3.正實(shí)數(shù)x1,x2及函數(shù)f(x)滿足4x=,且f(x1)+f(x2)=1,則f(x1+x2)的最小值為（ ） A.4 B.2 C. D. 解析：∵f(x)=，∴1=f(x1)+f(x2)=1-， 即=1,-3≥2=2, 故≥3,≥9,f(x1+x2)=1-≥. 當(dāng)且僅當(dāng),即x1=x2=log43時(shí)等號(hào)成立. 4．函數(shù)的定義域是　 ；的值域?yàn)? ； 的值域?yàn)? 。函數(shù)f(x)＝ (a>1)的值域是________． 解析：由ax>0?ax＋1>1，∵a>1，∴y＝ >a.答案：(a，＋∞) 5．函數(shù)是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是 。 6．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和原點(diǎn)，則． 7．方程的解為 。 8．若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) ． 9．若曲線與直線y＝b沒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是________． 解析：曲線|與直線y＝b的 圖象如圖所示，由圖象可得：如果 與直線y＝b沒有公共點(diǎn)， 則b應(yīng)滿足的條件是b∈[－1,1]． 使得對(duì)于區(qū)間D上的一切實(shí)數(shù)x都有f(x)≤g(x)成立，則稱函數(shù)g(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的一個(gè)“覆蓋函數(shù)”，設(shè)f(x)＝，g(x)＝2x，若函數(shù)g(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[m，n]上的一個(gè)“覆蓋函數(shù)”，則m－n的最大值為________． 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝與g(x)＝2x的 圖像相交于點(diǎn)A(1,2)，B(2,4)，由圖可 知，[m，n][1,2]，故(m－n)max＝2－1＝1. 10．已知試求的解集。 11．函數(shù)y＝1＋2x＋4xa在x∈(－∞，1]上y>0恒成立，求a的取值范圍． 解　由題意得1＋2x＋4xa>0在x∈(－∞，1]上恒成立， 即a>－在x∈(－∞，1]上恒成立．又因?yàn)椋剑?)2x－()x， 設(shè)t＝()x，∵x≤1，∴t≥ 且函數(shù)f(t)＝－t2－t＝－(t＋)2＋(t≥) 在t＝時(shí)，取到最大值． ∴()x＝即x＝1時(shí)，－的最大值為－，∴a>－. 12.若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，試求實(shí)數(shù)的取值范圍。 13．設(shè)關(guān)于的方程R）， （1）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍； （2）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解。 [解析]（1）原方程為， ， 時(shí)方程有實(shí)數(shù)解； （2）①當(dāng)時(shí)，，∴方程有唯一解； ②當(dāng)時(shí)，. 的解為； 令 的解為； 綜合①、②，得 1）當(dāng)時(shí)原方程有兩解：； 2）當(dāng)時(shí)，原方程有唯一解； 3）當(dāng)時(shí)，原方程無解. 14.已知函數(shù) （1）證明：函數(shù)在上為增函數(shù)； （2）方程是否有負(fù)數(shù)根？若有，寫出一個(gè)負(fù)數(shù)根；若沒有，請(qǐng)給出證明。 15.已知函數(shù)f(x)＝a＋b，其中常數(shù)a，b滿足ab≠0 (1)若ab＞0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)時(shí)的x的取值范圍． 　(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性可以利用函數(shù)單調(diào)性的定義．由于本題中y＝及y＝都是增函數(shù)且ab＞0，故可分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0兩種情況，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷． (2)f(x＋1)＞f(x) f(x＋1)－f(x)＞0 解　(1)當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，因?yàn)閍、b都單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，因?yàn)閍、b都單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減． (2)f(x＋1)－f(x)＝a2x＋2b3x＞0. ①當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，()x＞－， 解得x＞ (－)；②當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，()x＜－， 解得x＜ (－)．