2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和教案 理 新人教A版 .DOC
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.以等比數(shù)列的定義及等比中項(xiàng)為背景,考查等比數(shù)列的判定;2.運(yùn)用基本量法求解等比數(shù)列問題;3.考查等比數(shù)列的應(yīng)用問題. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.注意方程思想在解題中的應(yīng)用;2.使用公式要注意公比q=1的情況;3.結(jié)合等比數(shù)列的定義、公式,掌握通性通法. 1. 等比數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母__q__表示. 2. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,則它的通項(xiàng)an=a1qn-1. 3. 等比中項(xiàng) 若G2=ab_(ab≠0),那么G叫做a與b的等比中項(xiàng). 4. 等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣:an=amqn-m,(n,m∈N*). (2)若{an}為等比數(shù)列,且k+l=m+n (k,l,m,n∈N*),則akal=aman. (3)若{an},{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan}(λ≠0),,{a},{anbn},仍是等比數(shù)列. 5. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0),其前n項(xiàng)和為Sn, 當(dāng)q=1時,Sn=na1; 當(dāng)q≠1時,Sn==. 6. 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 公比不為-1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列,其公比為__qn__. [難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源] 1. 等比數(shù)列的特征 從等比數(shù)列的定義看,等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的,公比q也是非零常數(shù). 2. 等比數(shù)列中的函數(shù)觀點(diǎn) 利用函數(shù)、方程的觀點(diǎn)和方法,揭示等比數(shù)列的特征及基本量之間的關(guān)系.在借用指數(shù)函數(shù)討論單調(diào)性時,要特別注意首項(xiàng)和公比的大小. 3. 兩個防范 (1)由an+1=qan,q≠0并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列,還要驗(yàn)證a1≠0. (2)在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時,必須注意對q=1與q≠1分類討論,防止因忽略q=1這一特殊情形導(dǎo)致解題失誤. 1. (xx遼寧)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,且a=a10,2(an+an+2)=5an+1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=________. 答案 2n 解析 先判斷數(shù)列的項(xiàng)是正數(shù),再求出公比和首項(xiàng). a=a10>0,根據(jù)已知條件得2=5,解得q=2. 所以aq8=a1q9,所以a1=2,所以an=2n. 2. 在等比數(shù)列{an}中,各項(xiàng)均為正值,且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,則a4+a8=________. 答案 解析 由a6a10+a3a5=41及a6a10=a,a3a5=a, 得a+a=41.因?yàn)閍4a8=5, 所以(a4+a8)2=a+2a4a8+a=41+25=51. 又an>0,所以a4+a8=. 3. 已知a,b,c成等比數(shù)列,如果a,x,b和b,y,c都成等差數(shù)列,則+=________. 答案 2 解析 令a=1,b=3,c=9,則由題意,有x=2,y=6. 此時+=+=2. 4. (xx廣東)已知{an}是遞增等比數(shù)列,a2=2,a4-a3=4,則此數(shù)列的公比q=________. 答案 2 解析 由a2=2,a4-a3=4,得方程組 ?q2-q-2=0, 解得q=2或q=-1.又{an}是遞增等比數(shù)列,故q=2. 5. (xx課標(biāo)全國)已知{an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10等于( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7 答案 D 解析 方法一 由題意得 ∴或∴a1+a10=a1(1+q9)=-7. 方法二 由解得或 ∴或∴a1+a10=a1(1+q9)=-7. 題型一 等比數(shù)列的基本量的計(jì)算 例1 等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S1,S3,S2成等差數(shù)列. (1)求{an}的公比q; (2)若a1-a3=3,求Sn. 思維啟迪:(1)由S1,S3,S2成等差數(shù)列,列方程求出q. (2)由a1-a3=3求出a1,再由通項(xiàng)和公式求出Sn. 解 (1)依題意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2). 由于a1≠0,故2q2+q=0. 又q≠0,從而q=-. (2)由已知可得a1-a12=3.故a1=4. 從而Sn==. 探究提高 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題,數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)可迎刃而解. 等比數(shù)列{an}滿足:a1+a6=11,a3a4=,且公比q∈(0,1). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=21,求n的值. 解 (1)∵a3a4=a1a6=,又a1+a6=11, 故a1,a6可看作方程x2-11x+=0的兩根, 又q∈(0,1),∴a1=,a6=, ∴q5==,∴q=, ∴an=n-1=n-6. (2)由(1)知Sn==21,解得n=6. 題型二 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 例2 在等比數(shù)列{an}中, (1)若已知a2=4,a5=-,求an; (2)若已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值. 思維啟迪:注意巧用性質(zhì),減少計(jì)算.如:對于等比數(shù)列{an},若m+n=p+q (m、n、p、q∈N*),則aman=apaq;若m+n=2p(m,n,p∈N*),則aman=a. 解 (1)設(shè)公比為q,則=q3,即q3=-, ∴q=-,∴an=a5qn-5=n-4. (2)∵a3a4a5=8,又a3a5=a,∴a=8,a4=2. ∴a2a3a4a5a6=a=25=32. 探究提高 在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時,要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是性質(zhì)“若m+n=p+q,則aman=apaq”,可以減少運(yùn)算量,提高解題速度. (1)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6等于 ( ) A.5 B.7 C.6 D.4 (2)已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且S3=8,S6=7,則a4+a5+…+a9=________. 答案 (1)A (2)- 解析 (1)把a(bǔ)1a2a3,a4a5a6,a7a8a9看成一個整體,則由題意,知它們分別是一個等比數(shù)列的第1項(xiàng),第4項(xiàng)和第7項(xiàng),這里的第4項(xiàng)剛好是第1項(xiàng)與第7項(xiàng)的等比中項(xiàng).因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),所以a4a5a6===5. (2)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),知S3,S6-S3,S9-S6成等比數(shù)列,即8,7-8,S9-7成等比數(shù)列,所以(-1)2=8(S9-7).解得S9=7.所以a4+a5+…+a9=S9-S3=7-8=-. 題型三 等比數(shù)列的判定 例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1 (n≥2),且an+Sn=n. (1)設(shè)cn=an-1,求證:{cn}是等比數(shù)列; (2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式. 思維啟迪:(1)由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1轉(zhuǎn)化成an與an+1的遞推關(guān)系,再構(gòu)造數(shù)列{an-1}. (2)由cn求an再求bn. (1)證明 ∵an+Sn=n,① ∴an+1+Sn+1=n+1.② ②-①得an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, ∴=,∴{an-1}是等比數(shù)列. 又a1+a1=1,∴a1=, ∵首項(xiàng)c1=a1-1,∴c1=-,公比q=. 又cn=an-1, ∴{cn}是以-為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列. (2)解 由(1)可知cn=n-1=-n, ∴an=cn+1=1-n. ∴當(dāng)n≥2時,bn=an-an-1=1-n- =n-1-n=n. 又b1=a1=代入上式也符合,∴bn=n. 探究提高 注意判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列的方法,另外第(2)問中要注意驗(yàn)證n=1時是否符合n≥2時的通項(xiàng)公式,能合并的必須合并. 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an+1,求證:{an}是等比數(shù)列,并求出通項(xiàng)公式. 證明 ∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1. ∴an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an. ∴an+1=2an,又∵S1=2a1+1=a1, ∴a1=-1≠0.又由an+1=2an知an≠0, ∴=2.∴{an}是以-1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列. ∴an=-12n-1=-2n-1. 等差與等比數(shù)列綜合性問題的求解 典例:(12分)(xx湖北)成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式; (2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:數(shù)列是等比數(shù)列. 審題視角 設(shè)等差數(shù)列的三個正數(shù),利用等比數(shù)列的性質(zhì)解出公差d,從而求出數(shù)列{bn}的首項(xiàng)、公比;利用等比數(shù)列的定義可解決第(2)問. 規(guī)范解答 (1)解 設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a-d,a,a+d, 依題意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.[2分] 所以{bn}中的b3,b4,b5依次為7-d,10,18+d. 依題意,有(7-d)(18+d)=100, 解得d=2或d=-13(舍去).[4分] 故{bn}的第3項(xiàng)為5,公比為2. 由b3=b122,即5=b122,解得b1=. 所以{bn}是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式為bn=2n-1=52n-3.[6分] (2)證明 數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn==52n-2-,即Sn+=52n-2.[8分] 所以S1+=,==2. 因此是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.[12分] 答題模板 求解等差和等比數(shù)列綜合性問題的一般步驟: 第一步:設(shè)等比數(shù)列、等差數(shù)列的基本量; 第二步:根據(jù)條件列方程,解出基本量; 第三步:根據(jù)公式求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和; 第四步:根據(jù)定義證明等差、等比數(shù)列;對于等比數(shù)列,一定要說明首項(xiàng)非零. 溫馨提醒 關(guān)于等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算,其實(shí)質(zhì)就是解方程或方程組,需要認(rèn)真計(jì)算,靈活處理已知條件.容易出現(xiàn)的問題主要有兩個方面:一是計(jì)算出現(xiàn)失誤,特別是利用因式分解求解方程的根時,不注意對根的符號進(jìn)行判斷;二是不能靈活運(yùn)用等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件,導(dǎo)致列出的方程或方程組較為復(fù)雜,增大運(yùn)算量. 方法與技巧 1. 等比數(shù)列的判定方法有以下幾種: (1)定義:=q (q是不為零的常數(shù),n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. (2)通項(xiàng)公式:an=cqn-1 (c、q均是不為零的常數(shù),n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. (3)等比中項(xiàng)法:a=anan+2(anan+1an+2≠0,n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. 2. 方程觀點(diǎn)以及基本量(首項(xiàng)和公比a1,q)思想仍然是求解等比數(shù)列問題的基本方法:在a1,q,n,an,Sn五個量中,知三求二. 3. 在求解與等比數(shù)列有關(guān)的問題時,除了要靈活地運(yùn)用定義和公式外,還要注意性質(zhì)的應(yīng)用,以減少運(yùn)算量而提高解題速度. 失誤與防范 1. 特別注意q=1時,Sn=na1這一特殊情況. 2. 由an+1=qan,q≠0,并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列,還要驗(yàn)證a1≠0. 3. 在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時,必須注意對q=1與q≠1分類討論,防止因忽略q=1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤. A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. (xx遼寧)若等比數(shù)列{an}滿足anan+1=16n,則公比為 ( ) A.2 B.4 C.8 D.16 答案 B 解析 由anan+1=16n,知a1a2=16,a2a3=162, 后式除以前式得q2=16,∴q=4. ∵a1a2=aq=16>0,∴q>0,∴q=4. 2. 等比數(shù)列中,|a1|=1,a5=-8a2.a5>a2,則an等于 ( ) A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1 C.(-2)n D.-(-2)n 答案 A 解析 ∵|a1|=1,∴a1=1或a1=-1. ∵a5=-8a2=a2q3,∴q3=-8,∴q=-2. 又a5>a2,即a2q3>a2,∴a2<0.而a2=a1q=a1(-2)<0,∴a1=1.故an=a1(-2)n-1=(-2)n-1. 3. 在等比數(shù)列{an}中,a1=2,前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列{an+1}也是等比數(shù)列,則Sn等于( ) A.2n+1-2 B.3n C.2n D.3n-1 答案 C 解析 由已知得數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為2,2q,2q2.又(2q+1)2=3(2q2+1),整理得2q2-4q+2=0,解得q=1,Sn=2n. 4. 在等比數(shù)列{an}中,a3=7,前3項(xiàng)之和S3=21,則公比q的值為 ( ) A.1 B.- C.1或- D.-1或 答案 C 解析 根據(jù)已知條件得=3. 整理得2q2-q-1=0,解得q=1或q=-. 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. 在等比數(shù)列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=60,則a7+a8=________. 答案 240 解析 ∵a1+a2=a1(1+q)=30,a3+a4=a1q2(1+q)=60, ∴q2=2,∴a7+a8=a1q6(1+q)=[a1(1+q)](q2)3 =308=240. 6. 在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an=2(an-1+an-2+…+a2+a1) (n≥2,n∈N*),這個數(shù)列的通項(xiàng)公式是____________. 答案 an= 解析 由已知n≥2時,an=2Sn-1① 當(dāng)n≥3時,an-1=2Sn-2② ①-②整理得=3 (n≥3), ∴an= 7. 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列,則q的值為________. 答案?。? 解析 由已知條件得2Sn=Sn+1+Sn+2, 即2Sn=2Sn+2an+1+an+2,即=-2. 三、解答題(共22分) 8. (10分)已知等差數(shù)列{an}滿足a2=2,a5=8. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 則由已知得.∴a1=0,d=2. ∴an=a1+(n-1)d=2n-2. (2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,則由已知得q+q2=a4, ∵a4=6,∴q=2或q=-3. ∵等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù),∴q=2. ∴{bn}的前n項(xiàng)和Tn===2n-1. 9. (12分)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=(an+1)(an+2).若a2,a4,a9成等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 解 因?yàn)镾n=(an+1)(an+2),① 所以當(dāng)n=1時,有S1=a1=(a1+1)(a1+2), 解得a1=1或a1=2; 當(dāng)n≥2時,有Sn-1=(an-1+1)(an-1+2).② ①-②并整理,得(an+an-1)(an-an-1-3)=0 (n≥2). 因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),所以an-an-1=3 (n≥2). 當(dāng)a1=1時,an=1+3(n-1)=3n-2,此時a=a2a9成立. 當(dāng)a1=2時,an=2+3(n-1)=3n-1,此時a=a2a9不成立. 所以a1=2舍去.故an=3n-2. B組 專項(xiàng)能力提升 (時間:25分鐘,滿分:43分) 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1. 已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,若Sn是{an}的前n項(xiàng)和,且28S3=S6,則數(shù)列的前4項(xiàng)和為 ( ) A.或4 B.或4 C. D. 答案 C 解析 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q. 當(dāng)q=1時,由a1=1,得28S3=283=84. 而S6=6,兩者不相等,因此不合題意. 當(dāng)q≠1時,由28S3=S6及首項(xiàng)為1,得=.解得q=3.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-1. 所以數(shù)列的前4項(xiàng)和為1+++=. 2. 已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四個根組成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列,則等于( ) A. B.或 C. D.以上都不對 答案 B 解析 設(shè)a,b,c,d是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四個根,不妨設(shè)a- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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