2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)教案 理 新人教A版 .DOC
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.考查垂直關(guān)系的命題的判定;2.考查線線、線面、面面垂直關(guān)系的判定和性質(zhì);3.考查平行和垂直的綜合問題;4.考查空間想象能力,邏輯思維能力和轉(zhuǎn)化思想. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.熟記、理解線面垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)定理;2.解題中規(guī)范使用數(shù)學(xué)語言,嚴(yán)格證題過程;3.重視轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,解題中要以尋找線線垂直作為突破. 1. 直線與平面垂直 (1)判定直線和平面垂直的方法 ①定義法. ②利用判定定理:一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線和此平面垂直. ③推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于一個平面,那么另一條直線也垂直這個平面. (2)直線和平面垂直的性質(zhì) ①直線垂直于平面,則垂直于平面內(nèi)任意直線. ②垂直于同一個平面的兩條直線平行. ③垂直于同一條直線的兩平面平行. 2. 斜線和平面所成的角 斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫斜線和平面所成的角. 3. 平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的判定方法 ①定義法. ②利用判定定理:一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直. (2)平面與平面垂直的性質(zhì) 兩平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面. 4. 二面角的有關(guān)概念 (1)二面角:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角. (2)二面角的平面角:二面角棱上的一點(diǎn),在兩個半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線,則兩射線所成的角叫做二面角的平面角. [難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源] 1. 兩個平面垂直的性質(zhì)定理 兩個平面垂直的性質(zhì)定理,即如果兩個平面垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面是作點(diǎn)到平面距離的依據(jù),要過平面外一點(diǎn)P作平面的垂線,通常是先作(找)一個過點(diǎn)P并且和α垂直的平面β,設(shè)β∩α=l,在β內(nèi)作直線a⊥l,則a⊥α. 2. 兩平面垂直的判定 (1)兩個平面所成的二面角是直角;(2)一個平面經(jīng)過另一平面的垂線. 1. 一平面垂直于另一平面的一條平行線,則這兩個平面的位置關(guān)系是__________. 答案 垂直 解析 由線面平行的性質(zhì)定理知,該面必有一直線與已知直線平行,再根據(jù)“兩平行線中一條垂直于一平面,另一條也垂直于該平面”得出結(jié)論. 2. △ABC中,∠ABC=90,PA⊥平面ABC,則圖中直角三角形的個數(shù)是 ________. 答案 4 3. α、β是兩個不同的平面,m、n是平面α及β之外的兩條不同的直線,給出四個論斷:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α,以其中三個論斷作為條件,剩余的一個論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個命題____________________________. 答案 可填①③④?②與②③④?①中的一個 4. 設(shè)a,b,c是三條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則a⊥b的一個充分條件是( ) A.a(chǎn)⊥c,b⊥c B.α⊥β,a?α,b?β C.a(chǎn)⊥α,b∥α D.a(chǎn)⊥α,b⊥α 答案 C 解析 對于選項(xiàng)C,在平面α內(nèi)作c∥b,因?yàn)閍⊥α,所以a⊥c,故a⊥b;A,B選項(xiàng)中,直線a,b可能是平行直線,也可能是異面直線;D選項(xiàng)中一定有a∥b. 5. (xx遼寧)如圖,四棱錐S-ABCD的底面為正方形,SD⊥底面ABCD, 則下列結(jié)論中不正確的是 ( ) A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角 D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角 答案 D 解析 易證AC⊥平面SBD,因而AC⊥SB,A正確;AB∥DC,DC?平面SCD,故AB∥平面SCD,B 正確;由于SA,SC與平面SBD的相對位置一樣,因而所成的角相同. 題型一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 例1 如圖所示,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD, AC⊥CD,∠ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn). 證明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面ABE. 思維啟迪:第(1)問通過DC⊥平面PAC證明;也可通過AE⊥平面PCD 得到結(jié)論;第(2)問利用線面垂直的判定定理證明直線PD與平面ABE內(nèi)的兩條相交直線 垂直. 證明 (1)在四棱錐P—ABCD中, ∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD, ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面PAC. 而AE?平面PAC,∴CD⊥AE. (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60,可得AC=PA. ∵E是PC的中點(diǎn),∴AE⊥PC. 由(1),知AE⊥CD,且PC∩CD=C, ∴AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD=A, ∴AB⊥平面PAD,而PD?平面PAD, ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A, ∴PD⊥平面ABE. 探究提高 破解此類問題的關(guān)鍵在于熟練把握空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì),注意平面圖形中的一些線線垂直關(guān)系的靈活利用,這是證明空間垂直關(guān)系的基礎(chǔ).由于“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化,因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心而展開,這是化解空間垂直關(guān)系難點(diǎn)的技巧所在. (xx陜西)(1)如圖所示,證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線,b是π外的一條直線(b不垂直于π),c是直線b在π上的投影,若a⊥b,則a⊥c”為真; (2)寫出上述命題的逆命題,并判斷其真假(不需證明). (1)證明 方法一 如圖,過直線b上任一點(diǎn)作平面π的垂線n,設(shè)直線a,b,c,n的方向向量分別是a,b,c,n,則b,c,n共面. 根據(jù)平面向量基本定理,存在實(shí)數(shù)λ,μ使得c=λb+μn, 則ac=a(λb+μn)=λ(ab)+μ(an). 因?yàn)閍⊥b,所以ab=0. 又因?yàn)閍?π,n⊥π,所以an=0. 故ac=0,從而a⊥c. 方法二 如圖,記c∩b=A,P為直線b上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn),過P作PO⊥π,垂足為O,則O∈c. 因?yàn)镻O⊥π,a?π, 所以直線PO⊥a. 又a⊥b,b?平面PAO,PO∩b=P, 所以a⊥平面PAO. 又c?平面PAO,所以a⊥c. (2)解 逆命題為a是平面π內(nèi)的一條直線, b是π外的一條直線(b不垂直于π), c是直線b在π上的投影,若a⊥c,則a⊥b. 逆命題為真命題. 題型二 平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 例2 (xx江蘇)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D, E分別是棱BC,CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C),且AD⊥DE,F(xiàn)為 B1C1的中點(diǎn). 求證:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1; (2)直線A1F∥平面ADE. 思維啟迪:(1)證明兩個平面垂直,關(guān)鍵是在一個平面內(nèi)找到另一個平面的一條直線;(2)兩個平面垂直的性質(zhì)是證明的突破點(diǎn). 證明 (1)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱, 所以CC1⊥平面ABC. 又AD?平面ABC,所以CC1⊥AD. 又因?yàn)锳D⊥DE,CC1,DE?平面BCC1B1,CC1∩DE=E, 所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE, 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因?yàn)锳1B1=A1C1,F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn), 所以A1F⊥B1C1. 因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1,且A1F?平面A1B1C1, 所以CC1⊥A1F. 又因?yàn)镃C1,B1C1?平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1, 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD. 又AD?平面ADE,A1F?平面ADE, 所以A1F∥平面ADE. 探究提高 面面垂直的關(guān)鍵是線面垂直,線面垂直的證明方法主要有判定定理法、平行線法(若兩條平行線中一條垂直于這個平面,則另一條也垂直于這個平面)、面面垂直性質(zhì)定理法,本題就是用的面面垂直性質(zhì)定理法,這種方法是證明線面垂直、作線面角、二面角的一種核心方法. (xx江蘇)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60,E,F(xiàn)分別是AP,AD的中點(diǎn). 求證:(1)直線EF∥平面PCD; (2)平面BEF⊥平面PAD. 證明 (1)如圖,在△PAD中, 因?yàn)镋,F(xiàn)分別為AP,AD的中點(diǎn),所以EF∥PD. 又因?yàn)镋F?平面PCD, PD?平面PCD, 所以直線EF∥平面PCD. (2)連接BD.因?yàn)锳B=AD,∠BAD=60,所以△ABD為正三角形. 因?yàn)镕是AD的中點(diǎn),所以BF⊥AD. 因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,BF?平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD. 又因?yàn)锽F?平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD. 題型三 線面、面面垂直的綜合應(yīng)用 例3 如圖所示,在四棱錐P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD, AB∥DC,△PAD是等邊三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4. (1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn),求證:平面MBD⊥平面PAD; (2)求四棱錐P—ABCD的體積. 思維啟迪:(1)因?yàn)閮善矫娲怪迸cM點(diǎn)位置無關(guān),所以在平面MBD內(nèi)一定有一條直線垂直于平面PAD,考慮證明BD⊥平面PAD. (2)四棱錐底面為一梯形,高為P到面ABCD的距離. (1)證明 在△ABD中,∵AD=4,BD=8,AB=4, ∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD. 又∵面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD, BD?面ABCD,∴BD⊥面PAD. 又BD?面BDM, ∴面MBD⊥面PAD. (2)解 過P作PO⊥AD, ∵面PAD⊥面ABCD, ∴PO⊥面ABCD, 即PO為四棱錐P—ABCD的高. 又△PAD是邊長為4的等邊三角形, ∴PO=2. 在底面四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC, ∴四邊形ABCD為梯形. 在Rt△ADB中,斜邊AB邊上的高為=, 此即為梯形的高. ∴S四邊形ABCD==24. ∴VP—ABCD=242=16. 探究提高 當(dāng)兩個平面垂直時,常作的輔助線是在其中一個面內(nèi)作交線的垂線,把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直,進(jìn)而可以證明線線垂直. 如圖所示,已知長方體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD為正方形,E為線段AD1的中點(diǎn),F(xiàn)為線段BD1的中點(diǎn), (1)求證:EF∥平面ABCD; (2)設(shè)M為線段C1C的中點(diǎn),當(dāng)?shù)谋戎禐槎嗌贂r,DF⊥平面D1MB?并說明理由. (1)證明 ∵E為線段AD1的中點(diǎn),F(xiàn)為線段BD1的中點(diǎn),∴EF∥AB.∵EF?平面ABCD,AB?平面ABCD, ∴EF∥平面ABCD. (2)解 當(dāng)=時,DF⊥平面D1MB. ∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD. ∵D1D⊥平面ABC,∴D1D⊥AC. ∴AC⊥平面BB1D1D,∴AC⊥DF. ∵F,M分別是BD1,CC1的中點(diǎn),∴FM∥AC.∴DF⊥FM. ∵D1D=AD,∴D1D=BD.∴矩形D1DBB1為正方形. ∵F為BD1的中點(diǎn),∴DF⊥BD1. ∵FM∩BD1=F,∴DF⊥平面D1MB. 題型四 線面角、二面角的求法 例4 如圖,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn). (1)求PB和平面PAD所成的角的大??; (2)證明AE⊥平面PCD; (3)求二面角A—PD—C的正弦值. 思維啟迪:(1)先找出PB和平面PAD所成的角,線面角的定義要能靈活運(yùn)用;(2)可以利用線面垂直根據(jù)二面角的定義作角. (1)解 在四棱錐P—ABCD中, 因PA⊥底面ABCD,AB?平面ABCD, 故PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A, 從而AB⊥平面PAD, 故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA, 從而∠APB為PB和平面PAD所成的角. 在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45. 所以PB和平面PAD所成的角的大小為45. (2)證明 在四棱錐P—ABCD中, 因PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD, 故CD⊥PA.由條件CD⊥AC,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面PAC. 又AE?平面PAC,∴AE⊥CD. 由PA=AB=BC,∠ABC=60,可得AC=PA. ∵E是PC的中點(diǎn),∴AE⊥PC. 又PC∩CD=C,綜上得AE⊥平面PCD. (3)解 過點(diǎn)E作EM⊥PD,垂足為M,連接AM,如圖所示. 由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM, 則AM⊥PD. 因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角. 由已知,可得∠CAD=30. 設(shè)AC=a,可得 PA=a,AD=a,PD=a,AE=a. 在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AMPD=PAAD, 則AM===a. 在Rt△AEM中,sin∠AME==. 所以二面角A—PD—C的正弦值為. 探究提高 (1)求直線與平面所成的角的一般步驟: ①找直線與平面所成的角,即通過找直線在平面上的射影來完成; ②計(jì)算,要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解. (2)作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行,在一個半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個半平面的垂線,再過垂足作二面角的棱的垂線,兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直,由此可得二面角的平面角. 正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的余弦值為 ( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 如圖,連接BD交AC于O,連接D1O,由于BB1∥DD1,∴DD1與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角.易知∠DD1O即為所求.設(shè)正方體的棱長為1, 則DD1=1,DO=,D1O=, ∴cos ∠DD1O===. ∴BB1與平面ACD1所成角的余弦值為. 解答過程要規(guī)范 典例:(12分)如圖所示,M,N,K分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的 棱AB,CD,C1D1的中點(diǎn). 求證:(1)AN∥平面A1MK; (2)平面A1B1C⊥平面A1MK. 審題視角 (1)要證線面平行,需證線線平行.(2)要證面面垂直, 需證線面垂直,要證線面垂直,需證線線垂直. 規(guī)范解答 證明 (1)如圖所示,連接NK. 在正方體ABCD—A1B1C1D1中, ∵四邊形AA1D1D,DD1C1C都為正方形, ∴AA1∥DD1,AA1=DD1,C1D1∥CD,C1D1=CD.[2分] ∵N,K分別為CD,C1D1的中點(diǎn), ∴DN∥D1K,DN=D1K, ∴四邊形DD1KN為平行四邊形.[3分] ∴KN∥DD1,KN=DD1, ∴AA1∥KN,AA1=KN. ∴四邊形AA1KN為平行四邊形.∴AN∥A1K.[4分] ∵A1K?平面A1MK,AN?平面A1MK, ∴AN∥平面A1MK.[6分] (2)如圖所示,連接BC1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中, AB∥C1D1,AB=C1D1. ∵M(jìn),K分別為AB,C1D1的中點(diǎn),∴BM∥C1K,BM=C1K. ∴四邊形BC1KM為平行四邊形.∴MK∥BC1.[8分] 在正方體ABCD—A1B1C1D1中,A1B1⊥平面BB1C1C, BC1?平面BB1C1C,∴A1B1⊥BC1. ∵M(jìn)K∥BC1,∴A1B1⊥MK. ∵四邊形BB1C1C為正方形,∴BC1⊥B1C.[10分] ∴MK⊥B1C.∵A1B1?平面A1B1C,B1C?平面A1B1C,A1B1∩B1C=B1,∴MK⊥平面A1B1C.又∵M(jìn)K?平面A1MK, ∴平面A1MK⊥平面A1B1C.[12分] 溫馨提醒 (1)步驟規(guī)范是答題得滿分的最后保證,包括使用定理的嚴(yán)謹(jǐn)性,書寫過程的流暢性. (2)本題證明常犯錯誤: ①定理應(yīng)用不嚴(yán)謹(jǐn).如:要證AN∥平面A1MK,必須強(qiáng)調(diào)AN?平面A1MK. ②解題過程不完整,缺少關(guān)鍵步驟,如第(1)問中,應(yīng)先證四邊形ANKA1為平行四邊形.第(2)問中,缺少必要的條件,使思維不嚴(yán)謹(jǐn),過程不流暢. 方法與技巧 1. 證明線面垂直的方法 (1)線面垂直的定義:a與α內(nèi)任何直線都垂直?a⊥α; (2)判定定理1:?l⊥α; (3)判定定理2:a∥b,a⊥α?b⊥α; (4)面面平行的性質(zhì):α∥β,a⊥α?a⊥β; (5)面面垂直的性質(zhì):α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β. 2. 證明線線垂直的方法 (1)定義:兩條直線所成的角為90; (2)平面幾何中證明線線垂直的方法; (3)線面垂直的性質(zhì):a⊥α,b?α?a⊥b; (4)線面垂直的性質(zhì):a⊥α,b∥α?a⊥b. 3. 證明面面垂直的方法 (1)利用定義:兩個平面相交,所成的二面角是直二面角; (2)判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β. 4. 轉(zhuǎn)化思想:垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若這樣的直線圖中不存在,則可通過作輔助線來解決. 失誤與防范 1.在解決直線與平面垂直的問題過程中,要注意直線與平面垂直定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用,即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化. 2.面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù).我們要作一個平面的一條垂線,通常是先找這個平面的一個垂面,在這個垂面中,作交線的垂線即可. A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. 設(shè)l,m是兩條不同的直線,α是一個平面,則下列命題正確的是 ( ) A.若l⊥m,m?α,則l⊥α B.若l⊥α,l∥m,則m⊥α C.若l∥α,m?α,則l∥m D.若l∥α,m∥α,則l∥m 答案 B 解析 若l⊥m,m?α,則l與α可能平行、相交或l?α;若l⊥α,l∥m,則m⊥α;若l∥α,m?α,則l與m可能平行或異面;若l∥α,m∥α,則l與m可能平行、相交或異面,故只有B選項(xiàng)正確. 2. 已知平面α與平面β相交,直線m⊥α,則 ( ) A.β內(nèi)必存在直線與m平行,且存在直線與m垂直 B.β內(nèi)不一定存在直線與m平行,不一定存在直線與m垂直 C.β內(nèi)不一定存在直線與m平行,但必存在直線與m垂直 D.β內(nèi)必存在直線與m平行,不一定存在直線與m垂直 答案 C 解析 如圖,在平面β內(nèi)的直線若與α,β的交線a平行,則有m與 之垂直.但卻不一定在β內(nèi)有與m平行的直線,只有當(dāng)α⊥β時才 存在. 3. 已知m是平面α的一條斜線,點(diǎn)A?α,l為過點(diǎn)A的一條動直線,那么下列情形可能出現(xiàn)的是 ( ) A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α D.l∥m,l∥α 答案 C 解析 設(shè)m在平面α內(nèi)的射影為n,當(dāng)l⊥n且與α無公共點(diǎn)時,l⊥m,l∥α. 4. 正方體ABCD—A′B′C′D′中,E為A′C′的中點(diǎn),則直線CE垂直于( ) A.A′C′ B.BD C.A′D′ D.AA′ 答案 B 解析 連接B′D′, ∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′,且A′C′∩CC′=C′, ∴B′D′⊥平面CC′E. 而CE?平面CC′E, ∴B′D′⊥CE. 又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE. 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. 如圖,∠BAC=90,PC⊥平面ABC,則在△ABC,△PAC的邊所在 的直線中:與PC垂直的直線有______________;與AP垂直的直 線有________. 答案 AB,BC,AC AB 解析 ∵PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直線AB,BC,AC; ∵AB⊥AC,AB⊥PC,∴AB⊥平面PAC, ∴AB⊥PC.與AP垂直的直線是AB. 6. 如圖,PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上的一點(diǎn),E、 F分別是點(diǎn)A在PB、PC上的正投影,給出下列結(jié)論: ①AF⊥PB;②EF⊥PB; ③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC. 其中正確結(jié)論的序號是________. 答案?、佗冖? 解析 由題意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC. 又AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC. ∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC=C, ∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC. 又AE⊥PB,AE∩AF=A,∴PB⊥平面AEF. ∴PB⊥EF.故①②③正確. 7. 已知平面α,β和直線m,給出條件:①m∥α;②m⊥α;③m?α;④α∥β.當(dāng)滿足條件________時,有m⊥β.(填所選條件的序號) 答案?、冖? 解析 若m⊥α,α∥β,則m⊥β. 三、解答題(共22分) 8. (10分)如圖所示,在斜三棱柱A1B1C1—ABC中,底面是等腰三角形, A1B1=A1C1,側(cè)面BB1C1C⊥底面A1B1C1. (1)若D是BC的中點(diǎn),求證:AD⊥CC1; (2)過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于M,若AM=MA1, 求證:截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C. 證明 (1)∵AB=AC,D是BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥側(cè)面BB1C1C, ∴AD⊥側(cè)面BB1C1C,∴AD⊥CC1. (2)如圖,延長B1A1與BM的延長線交于點(diǎn)N,連接C1N. ∵AM=MA1,∴MA1綊BB1, ∴NA1=A1B1. ∵A1B1=A1C1, ∴A1C1=A1N=A1B1, ∴NC1⊥C1B1. ∵底面NB1C1⊥側(cè)面BB1C1C,∴C1N⊥側(cè)面BB1C1C, ∴截面C1NB⊥側(cè)面BB1C1C, 即截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C. 9. (12分)如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E、F分別是CD、A1D1 的中點(diǎn). (1)求證:AB1⊥BF; (2)求證:AE⊥BF; (3)棱CC1上是否存在點(diǎn)P,使BF⊥平面AEP?若存在,確定點(diǎn)P的位置,若不存在,說明理由. (1)證明 連接A1B,則AB1⊥A1B, 又∵AB1⊥A1F,且A1B∩A1F=A1, ∴AB1⊥平面A1BF.又BF?平面A1BF,∴AB1⊥BF. (2)證明 取AD中點(diǎn)G,連接FG,BG,則FG⊥AE, 又∵△BAG≌△ADE, ∴∠ABG=∠DAE. ∴AE⊥BG.又∵BG∩FG=G, ∴AE⊥平面BFG. 又BF?平面BFG,∴AE⊥BF. (3)解 存在.取CC1中點(diǎn)P,即為所求.連接EP,AP,C1D, ∵EP∥C1D,C1D∥AB1,∴EP∥AB1. 由(1)知AB1⊥BF,∴BF⊥EP. 又由(2)知AE⊥BF,且AE∩EP=E, ∴BF⊥平面AEP. B組 專項(xiàng)能力提升 (時間:25分鐘,滿分:43分) 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1. 已知l,m是不同的兩條直線,α,β是不重合的兩個平面,則下列命題中為真命題的是( ) A.若l⊥α,α⊥β,則l∥β B.若l∥α,α⊥β,則l∥β C.若l⊥m,α∥β,m?β,則l⊥α D.若l⊥α,α∥β,m?β,則l⊥m 答案 D 解析 ∵l⊥α,α∥β,∴l(xiāng)⊥β.又∵m?β,∴l(xiāng)⊥m. 2. (xx浙江)已知矩形ABCD,AB=1,BC=,將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折,在翻折過程中 ( ) A.存在某個位置,使得直線AC與直線BD垂直 B.存在某個位置,使得直線AB與直線CD垂直 C.存在某個位置,使得直線AD與直線BC垂直 D.對任意位置,三對直線“AC與BD”,“AB與CD”,“AD與BC”均不垂直 答案 B 解析 找出圖形在翻折過程中變化的量與不變的量. 對于選項(xiàng)A,過點(diǎn)A作AE⊥BD,垂足為E,過點(diǎn)C作CF⊥BD,垂足為F, 在圖(1)中,由邊AB,BC不相等可知點(diǎn)E,F(xiàn)不重合. 在圖(2)中,連接CE,若直線AC與直線BD垂直, 又∵AC∩AE=A,∴BD⊥面ACE, ∴BD⊥CE,與點(diǎn)E,F(xiàn)不重合相矛盾,故A錯誤. 對于選項(xiàng)B,若AB⊥CD, 又∵AB⊥AD,AD∩CD=D, ∴AB⊥面ADC, ∴AB⊥AC,由AB- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)教案 新人教A版 2019 2020 年高 數(shù)學(xué) 一輪 復(fù)習(xí) 8.5 直線 平面 垂直 判定 性質(zhì) 教案 新人
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