2019-2020年高中數(shù)學第一輪總復習 第十二章 統(tǒng)計12.2 總體期望值和方差的估計教案 （文）新人教A版.doc

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2019-2020年高中數(shù)學第一輪總復習 第十二章 統(tǒng)計12.2 總體期望值和方差的估計教案 （文）新人教A版 鞏固夯實基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.平均數(shù)的計算方法 (1)如果有n個數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,那么=(x1+x2+…+xn)叫做這n個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，讀作“x拔”. (2)當一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的各個數(shù)值較大時，可將各數(shù)據(jù)同時減去一個適當?shù)某?shù)a，得到x1′=x1-a,x2′=x2-a,…,xn′=xn-a,那么，=+a. (3)加權(quán)平均數(shù)：如果在n個數(shù)據(jù)中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，…，xk出現(xiàn)fk次(f1+f2+…+fk=n)，那么 =. 2.方差的計算方法 (1)對于一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,s2=［(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2］叫做這組數(shù)據(jù)的方差，而s叫做標準差. (2)公式s2=［(x12+x22+…+xn2)-n2］. (3)當一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn中的各數(shù)較大時，可以將各數(shù)據(jù)減去一個適當?shù)某?shù)a,得到x1′=x1-a,x2′=x2-a,…,xn′=xn-a. 則s2=［(x1′2+x2′2+…+xn′2)-n］. 3.總體平均值和方差的估計 人類的長期實踐和理論研究都充分證明了用樣本的平均數(shù)估計總體平均值，用樣本方差估計總體方差是可行的，而且樣本容量越大，估計就越準確. 二、點擊雙基 1.描述總體離散型程度或穩(wěn)定性的特征數(shù)是總體方差，以下統(tǒng)計量估計總體穩(wěn)定性的是…（ ） A.樣本均值 B.樣本方差 C.樣本最大值 D.樣本最小值 解析:統(tǒng)計學的基本思想是用樣本來估計總體.因此選B. 答案：B 2.甲、乙兩人在相同的條件下，射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下： 甲：8,6,9,5,10,7,4,8,9,5; 乙：7,6,5,8,6,9,6,8,7,7. 根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計兩人的技術(shù)穩(wěn)定性，結(jié)論是（ ） A.甲優(yōu)于乙 B.乙優(yōu)于甲 C.兩人沒區(qū)別 D.兩人區(qū)別不大 解析:x甲=(8+6+…+5)=7.1,x乙=(7+6+…+7)=6.9. s甲2=［(8-7.1)2+…+(5-7.1)2］=3.69,s乙2=［(7-6.9)2+…+(7-6.9)2］=1.29.∴乙優(yōu)于甲. 答案：B 3.在一次歌手大獎賽上,七位評委為某歌手打出的分數(shù)如下: 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為（ ） A.9.4,0.484 B.9.4,0.016 C.9.5,0.04 D.9.5,0.016 解析：去掉一個最高分9.9后再去掉一個最低分8.4, 剩余的分值為9.4、9.4、9.6、9.4、9.7. 求平均值≈9.5, 代入方差運算公式可知方差為0.016. 答案：D 4.設(shè)甲、乙兩班某次數(shù)學考試的平均成績分別為=106.8, =107,又知s甲2=6,s乙2=14,則如下幾種說法:①乙班的數(shù)學成績大大優(yōu)于甲班;②甲班數(shù)學成績較乙班穩(wěn)定;③乙班數(shù)學成績比甲班波動大.其中正確的說法是____________________. 解析：依據(jù)平均值和方差的意義知②③正確. 答案:②③ 誘思實例點撥 【例1】x是x1,x2,…,x100的平均數(shù)，a是x1,x2,…,x40的平均數(shù)，b是x41,x42,…,x100的平均數(shù)，則下列各式正確的是（ ） A.= B.= C.=a+b D.= 剖析:這100個數(shù)的平均數(shù)是a+b還是(a+b)，這都很容易讓人誤解.我們可以從概率及加權(quán)平均數(shù)的角度來思考. 解:設(shè)Pi是x1,x2,…,x100中xi被抽到的概率，qi是x1,x2,…,x40中xi被抽到的概率，ri是x41,x42,…,x100中xi被抽到的概率,則Pi=qi,Pi=ri.故x1,x2,…,x100的平均數(shù) =(x1q1+x2q2+…+x40q40)+(x41r41+x42r42+…+x100r100)=a+b. 答案：A 鏈接拓展 除了上述方法外，我們還可以先分別求出x1+x2+…+x40=40a,x41+x42+…+x100=60b,再求. 【例2】 甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán)): 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙兩人只有1人入選，則入選的應是_______________________. 剖析:判斷誰入選，首先應考慮選手的成績是否穩(wěn)定,因此分別求其方差. 解:甲的平均數(shù)為=(10+8+9+9+9)=9, 乙的平均數(shù)為=(10+10+7+9+9)=9, 甲的方差為s甲=(10-9)2+(8-9)2=, 乙的方差為s乙=(10-9)22+(7-9)2=. s乙＞s甲，說明乙的波動性大，故甲入選. 答案：甲 講評:方差的大小可看出成績的穩(wěn)定性，平均數(shù)的大小可看出成績的高低. 鏈接聚焦 1.期望反映數(shù)據(jù)取值的平均水平，期望越大，平均水平越高. 2.方差反映數(shù)據(jù)的波動大小，方差越小，表示數(shù)據(jù)越穩(wěn)定. 【例3】 某班40人隨機分為兩組，第一組18人，第二組22人，兩組學生在某次數(shù)學檢測中的成績?nèi)缦卤恚? 分 組 平均成績 標準差 第一組 90 6 第二組 80 4 求全班的平均成績和標準差. 剖析:代入方差公式s2=［(x12+x22+…+xn2)-n］即可求得. 解:設(shè)全班的平均成績?yōu)閤，全班成績的方差為s2， 則s12=［(x12+x22+…+x182)-18902］=36, s22=［(x192+x202+…+x402)-22802］=16. ∴=(9018+8022)==84.5. s2=［(x12+x22+…+x182)+(x192+x202…+x402)-40］ =［18(36+8 100)+22(16+6 400)-40］ =(146 448+141 152-101692) =1 990=49.75. ∴s=≈7.05. 講評:平均成績應為總成績除以總?cè)藬?shù)，而總成績可由每組成績之和求得. 【例4】 要加工一圓形零件,按圖紙要求,直徑為10 mm,現(xiàn)在由甲、乙兩車工加工此種零件,在他們的產(chǎn)品中各抽5件測得直徑如下: 甲:10.05 10.02 9.97 9.96 10.00 乙:10.00 10.01 10.02 9.97 10.00 問甲、乙兩人誰生產(chǎn)的零件較好? 剖析:通過計算兩組數(shù)據(jù)的x和,然后加入比較,再作出判斷. 解:=(10.05+10.02+9.97+9.96+10.00)=10, =［(10.05-10)2+(10.02-10)2+(9.97-10)2+(9.96-10)2+(10-10)2］=0.001 35; =(10.00+10.01+10.02+9.97+10.00)=10, =［(10-10)2+(10.01-10)2+(10.02-10)2+(9.97-10)2+(10-10)2］=0.000 35. 由計算可知兩者樣本均值相同,前者樣本方差較大,由此估計工人乙生產(chǎn)的零件質(zhì)量較好. 講評:一組數(shù)據(jù)的方差,刻畫了這組數(shù)據(jù)波動的大小(即各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小,也稱離散性、差異性),方差越大,說明這組數(shù)據(jù)的波動越大,即這組數(shù)據(jù)越分散(或稱離散程度大).