2019-2020年高三數(shù)學上 14.3《空間直線和平面的位置關(guān)系》教案（1）（滬教版）.doc

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2019-2020年高三數(shù)學上 14.3《空間直線和平面的位置關(guān)系》教案（1）（滬教版） 一、教學內(nèi)容分析 空間直線和平面的位置關(guān)系及其表示法是空間幾何的語言基礎(chǔ)，也是進行空間幾何研究的起點. 14.3空間直線和平面的位置關(guān)系（1）是在學習了空間直線和直線的位置關(guān)系之后,進一步探索空間直線和平面的特殊位置關(guān)系之一 —— 直線和平面垂直. 課本通過觀察旗桿是否直立在地面上的問題,要求學生能理解空間直線和平面垂直的含義及其表示法，歸納出空間直線和平面垂直的定理. 通過圖14-18，要求學生會用文字語言、圖形語言、符號語言表述這種位置關(guān)系. 通過圖14-1的長方體，要求能運用空間直線和平面垂直的定義及定理進行簡單的推理，體會出幾何推理證明的思考方法，基本規(guī)則和嚴謹性, 通過例1，要求學生能理解異面直線間的距離、點和平面的距離的概念，知道直線和平面的距離、平面和平面的距離的含義及其與點和平面的距離的轉(zhuǎn)化關(guān)系，會在簡單圖形中進行有關(guān)距離的確定與計算. 空間直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中直線與直線垂直位置關(guān)系的拓展，又是平面與平面垂直的基礎(chǔ)，是空間中垂直位置關(guān)系間轉(zhuǎn)化的重心，同時它又是點、直線、平面和平面之間的距離以及直線和平面所成的角等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因而它是空間點、直線、平面間位置關(guān)系中的核心概念之一. 二、教學目標設(shè)計 在通過觀察和實驗，探索直線和平面垂直的位置關(guān)系的過程中，理解空間直線和平面垂直的含義，會用文字語言、圖形語言、符號語言表述這種位置關(guān)系，理解空間直線和平面垂直的定義及定理，體會幾何推理證明的思考方法，基本規(guī)則和嚴謹性，發(fā)展空間想象力和邏輯思維能力，理解異面直線間的距離、點和平面的距離的概念，知道直線和平面的距離、平面和平面的距離的含義及其與點和平面的距離的轉(zhuǎn)化關(guān)系，體會化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法. 三、教學重點及難點 空間直線和平面垂直的定義、定理及其表示法，幾何推理證明的思考方法，基本規(guī)則和嚴謹性，空間距離的確定與計算. 四、教學用具準備 投影儀，多媒體課件 五、教學流程設(shè)計 鞏固 探究 引入 作業(yè) 總結(jié) 應(yīng)用 六、教學過程設(shè)計 一、情景引入 引例:簡述下列問題的結(jié)論，并畫圖說明： （1）直線，直線，則和的位置關(guān)系如何？ （2）直線，直線，則和的位置關(guān)系如何？ 解：（1）；（2）. [說明] （1）引導(dǎo)學生掌握空間直線與平面的各種位置關(guān)系，學會各種位置關(guān)系的畫法與表示方法.注意立體幾何中，文字、符號語言與圖形直觀的互相轉(zhuǎn)化. （2）小結(jié)空間直線和平面的位置關(guān)系 [說明]同時用圖形語言、符號語言、幾何語言表述這些位置關(guān)系. 今天我們來探索空間直線和平面相交中的一種特殊位置關(guān)系 ——直線和平面垂直 二、學習新課 問題1：在日常生活中你見到最多的直線與平面垂直的情形是什么？請舉例說明. [說明]引導(dǎo)學生舉出生活中常見的直線與平面垂直的例子，如旗桿與地面的位置關(guān)系，大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系，教室內(nèi)直立的墻角線和地面的位置關(guān)系等. 問題2： 結(jié)合對下列問題的思考，討論能否用一條直線垂直于一個平面內(nèi)的直線，來定義這條直線和這個平面垂直呢？ 圖1 A B C B’ C’ （1）如圖1，陽光下直立于地面的旗桿AB與它在地面上的影子BC的位置關(guān)系是什么？隨著太陽的移動，旗桿AB與影子BC所成的角度會發(fā)生改變嗎? 圖2 A B （2）旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線B′C′的位置關(guān)系又是什么？依據(jù)是什么？由此得到什么結(jié)論？ （3）如圖2，當旗桿AB傾斜時，還能保證AB與地面上的任一直線都垂直嗎？ [說明]（1）引導(dǎo)學生用“平面化”與“降維”的思想來思考問題，通過觀察思考，感知直線與平面垂直的內(nèi)涵. （2）教師用多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時間的變化而移動的過程，再引導(dǎo)學生根據(jù)異面直線所成角的概念得出旗桿所在直線與地面內(nèi)的任意一條直線都垂直. （3）通過觀察、思考與討論，讓學生感悟“一條直線與一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直”是這條直線與平面垂直的本質(zhì)內(nèi)涵. 還可引導(dǎo)學生觀察實例（如表示直線的筆與表示平面的桌面的位置關(guān)系）和幾何模型（如棱錐、棱臺的側(cè)棱與底面的位置關(guān)系等），從中感知：只要平面外的直線不垂直于這個平面，平面內(nèi)就有直線與平面外的這條直線不垂直，反之亦然. （4）讓學生歸納、概括出直線與平面垂直的定義.教師補充完善，同時給出直線與平面垂直的記法與畫法. 定義：一般地，如果一條直線l與平面α上的任何直線都垂直，那么我們就說直線 l與平面α垂直（line perpendicular to plane α），記作： l⊥α.直線l叫做平面α的垂線（perpendicular line），平面α叫做直線l的垂面．l與面α的交點叫做垂足. α l P 圖3 畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖3. 辨析1：下列命題是否正確？為什么？ （1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個平面垂直. （2）如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的任一直線. [說明]通過問題辨析，加深概念的理解.由（1）使學生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思.而（2）給出了直線與直線垂直的一種判定方法. 引導(dǎo)學生給出命題（2）的符號表示： 問題3：通常定義可以作為判定的依據(jù)，那么用上述定義判定直線與平面垂直是否方便？為什么？如何改進？ [說明]感受用定義作判斷不方便，引發(fā)學生探索判定定理的需要，體會有限與無限的辨證關(guān)系. D C B A 圖4 引導(dǎo)學生思考用定義作判斷不方便的原因，再討論平面內(nèi)的直線減少到多少條才合適，先排除一條和兩條平行的情形，對兩條相交情形，可引導(dǎo)學生觀察直立地面的棋桿與其在地面的影子，還可進行如下實驗. 實驗：如圖4，請同學們拿出準備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個試驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）. 問題4：如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？由此你能得到什么結(jié)論？ [說明]通過折紙讓學生發(fā)現(xiàn)當且僅當折痕娥AD是BC邊上的高，即AD⊥BC時翻折后的折痕AD與桌面垂直. 引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)折痕AD與桌面垂直的本質(zhì)特征： AD是BC邊上的高時，無論怎樣翻折，翻折之后垂直關(guān)系不變，即AD⊥CD，AD⊥BD，同時CD、BD是兩相交直線不變，這就是說，當AD垂直于桌面內(nèi)的兩條相交直線CD、BD時，它就垂直于桌面所在的平面. 定理2：如果直線與平面上的兩條相交直線、都垂直，那么直線與平面垂直. 用符號語言表示為： 辨析2：（1）下列命題是否正確？為什么？ 如果一條直線與一個平行四邊形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于平行四邊形所在的平面. 圖5 o （2）如圖5,若α內(nèi)兩條相交直線m、n與l無公共點且l⊥m、l⊥n，直線l還垂直平面α嗎？ [說明] 通過辨析，讓學生明白要判斷一條直線與一個平面是否垂直,取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點是無關(guān)緊要的.所謂：“線不在多，相交則靈”. 三、鞏固練習 例1：如圖,觀察跨欄、跳高架，你認為跨欄的支架、跳高架的立竿能豎直立于地面的原因是什么? [說明]用學習到的知識解釋實際生活中的問題，增強學生運用數(shù)學的意識，深化對直線與平面垂直定理的理解. a b\b 圖6 α 例2：如圖6，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α. [說明]初步感受如何運用直線與平面垂直的定理與定義解決問題，明確運用線面垂直定理時的具體步驟，防止缺少條件，特別是“相交”的條件.讓學生用文字語言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系的聯(lián)系，其結(jié)果給出了直線和平面垂直的又一個判定方法. 圖7 C D A B1 B D1 A1 C1 E F 例3：（1）如圖7，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、CC1的中點，判斷下列結(jié)論是否正確： ①AC⊥面CDD1C1 ②A A 1⊥面A1B1C1D1 ③AC⊥面BDD1B1 ④ EF⊥面BDD1B1 ⑤ AC⊥BD1 （2）將（1）中正方體改成長方體呢，以上結(jié)論是否正確？ [說明]利用所學知識解決直線與平面垂直的有關(guān)問題，體會轉(zhuǎn)化思想在解決問題中的作用.其中①是定義的應(yīng)用，②是定理的應(yīng)用，④是思考題2結(jié)論的應(yīng)用，③⑤是定理與定義的綜合應(yīng)用. 四、應(yīng)用 應(yīng)用之一是利用直線與平面垂直的定義、定理進行一些簡單的推理，體會幾何推理證明的思考方法，基本規(guī)則和嚴謹性. 我們繼續(xù)研究圖7 例4:如圖7, 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、CC1的中點，，連接，求證: [說明]要證線線垂直，可找線面垂直，反之亦然.即： 直線與直線垂直 直線與平面垂直 這是立體幾何證明垂直時常用的轉(zhuǎn)化方法.除此之外，也要注意有時是從數(shù)量關(guān)系通過計算找線線垂直，如勾股定理等，有時會利用平面幾何的性質(zhì)，如等腰三角形底邊上的三線合一等等. 應(yīng)用之二是利用直線與平面垂直的定義、定理解決一些度量問題，如角、距離等，我們現(xiàn)在來探究距離的度量問題. 問題5：你能舉例說明距離在日常生活中的重要性嗎？ [說明] 引導(dǎo)學生舉出生活中常見的需要測量距離的例子，如為了有合適的照明，需要確定吊燈與桌面的距離；為了保證安全，高壓線離地面需要相當?shù)木嚯x；為了購買家具，需要知道天花板與地面的距離等等，體驗探究距離的必要性， 距離定義： （1）點和平面的距離：過點作平面的垂線，垂足為，我們把點到垂足之間的距離叫做點和平面的距離. （2）直線和平面的距離：設(shè)直線平行于平面．在直線上任取一點，我們把點到平面的距離叫做直線和平面的距離. （3）設(shè)平面平行平面，在平面上任取一點，我們把點到平面的距離叫做平面和平面的距離. （4）異面直線和的距離：設(shè)直線和是異面直線，當點、分別在和上，且直線既垂直于直線，又垂直于直線時，我們把直線叫做異面直線和公垂線，，垂足、之間的距離叫做異面直線和的距離. [說明]立體幾何中，求距離的關(guān)鍵是化歸，即空間距離向平面距離的化歸，體現(xiàn)了“降維”的思想. 我們繼續(xù)研究圖7 圖7 C D A B1 B D1 A1 C1 E F 例5：如圖7, 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，和的長分別為和. （1）求點和點的距離； （2）求點到棱的距離； （3）求棱和平面的距離； （4）求異面直線和的距離. [說明]求距離的基本步驟是作、證、算，此外還要特別注意融合在運算中的推理過程，推理是運算的基礎(chǔ)，運算只是推理過程的延續(xù).因此求距離的關(guān)鍵是直線與平面位置關(guān)系的論證. 四、課堂小結(jié) （1）通過本節(jié)課的學習，你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？ （2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現(xiàn)了什么數(shù)學思想？ （3）你會利用直線與平面垂直的定義和定理找到點、線、面的距離并計算嗎？ 五、作業(yè)布置 1、點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是對角線AC與BD的交點，且PA=PC，PB=PD. 求證：PO⊥平面ABCD. 題3 A D C B A’ B’ C’ D’ 2、探究題：如圖，直四棱柱A′B′C′D′-ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時， A′C⊥B′D′？ 3、課本P14 練習 4．AB是⊙O的直徑，C為圓上一點，AB＝2，AC＝1， P為⊙O所在平面外一點，且PA⊥⊙O， PB與平面所成角為45 （1）證明：BC⊥平面PAC ； （2）求點A到平面PBC的距離． [說明]通過訓(xùn)練，鞏固本課所學知識，檢測運用所學知識解決問題的能力.其中第1題主要運用直線與平面垂直的判定定理，第2、是活用直線與平面垂直的定義與判定定理.第3、4題是利用直線與平面垂直的定義與判定定理找到點、線、面的距離并計算. 六、教學設(shè)計說明 空間直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中直線與直線垂直位置關(guān)系的拓展，又是平面與平面垂直的基礎(chǔ)，是空間中垂直位置關(guān)系間轉(zhuǎn)化的重心，同時它又是點、直線、平面和平面之間的距離以及直線和平面所成的角等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因而它是空間點、直線、平面間位置關(guān)系中的核心概念之一. 在探索空間直線與平面垂直的定義及判定定理時，注意從具體實例出發(fā)，通過觀察、思考與討論，讓學生感悟“一條直線與一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直”是這條直線與平面垂直的本質(zhì)內(nèi)涵.引導(dǎo)學生思考用定義作判斷不方便的原因，再討論平面內(nèi)的直線減少到多少條才合適，先排除一條和兩條平行的情形，對兩條相交情形，通過折紙活動進行討論，再通過辨析，讓學生明白要判斷一條直線與一個平面是否垂直,取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點是無關(guān)緊要的.所謂：“線不在多，相交則靈”.在這個過程中，用問題驅(qū)動課堂教學，引導(dǎo)學生自主探索、歸納、總結(jié)出相關(guān)概念，充分發(fā)揮學生主體作用， 在應(yīng)用定義和定理證明空間直線與平面垂直的過程中，注意引導(dǎo)學生把在直線和平面關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線和直線的關(guān)系，滲透轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.這種轉(zhuǎn)化思想同樣要滲透在求直線和平面、平面和平面之間的距離中，它們都可轉(zhuǎn)化成求點和平面的距離. 空間直線與平面垂直的問題是立體幾何中一個基本的問題，在后面的多面體學習中會繼續(xù)涉及，因此，教學中要注意把握好“度”.所選例題和習題都不宜太難.同時，應(yīng)注重思維過程的嚴謹性，無論是判斷、證明，都要緊扣定義和定理.