2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)教案 理 新人教A版 .doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考 1.求二次函數(shù)的解析式;2.求二次函數(shù)的值域或最值,和一元二次方程、一元二次不等式進(jìn)行綜合應(yīng)用; 3.利用冪函數(shù)的圖象、性質(zhì)解決有關(guān)問題. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.理解二次函數(shù)三種解析式的特征及應(yīng)用;2.分析二次函數(shù)要抓住幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié):開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn),函數(shù)的定義域;3.充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想把握二次函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì). 1. 二次函數(shù)的定義與解析式 (1)二次函數(shù)的定義 形如:f(x)=ax2+bx+c_(a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù). (2)二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c_(a≠0). ②頂點(diǎn)式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ③零點(diǎn)式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)_(a≠0). 2. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 解析式 f(x)=ax2+bx+c (a>0) f(x)=ax2+bx+c (a<0) 圖象 定義域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) 值域 單調(diào)性 在x∈上單調(diào)遞減; 在x∈上單調(diào)遞增 在x∈上單調(diào)遞增; 在x∈上單調(diào)遞減 奇偶性 當(dāng)b=0時(shí)為偶函數(shù),b≠0時(shí)為非奇非偶函數(shù) 頂點(diǎn) 對(duì)稱性 圖象關(guān)于直線x=-成軸對(duì)稱圖形 3. 冪函數(shù) 形如y=xα (α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù). 4. 冪函數(shù)的圖象及性質(zhì) (1)冪函數(shù)的圖象比較 (2)冪函數(shù)的性質(zhì)比較 [難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源] 1. 二次函數(shù)的三種形式 (1)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),宜用一般式. (2)已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時(shí),常使用頂點(diǎn)式. (3)已知二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),且橫坐標(biāo)已知時(shí),選用零點(diǎn)式求f(x)更方便. 2. 冪函數(shù)的圖象 (1)在(0,1)上,冪函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖象越靠近x軸,在(1,+∞)上冪函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸. (2)函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=x-1可做為研究和學(xué)習(xí)冪函數(shù)圖象和性質(zhì)的代表. 1. 已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,3]上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ____________. 答案 (-∞,-2] 解析 f(x)的圖象的對(duì)稱軸為x=1-a且開口向上, ∴1-a≥3,即a≤-2. 2.已知函數(shù)y=x2-2x+3在閉區(qū)間[0,m]上有最大值3,最小值2,則m的取值范圍為________. 答案 [1,2] 解析 y=x2-2x+3的對(duì)稱軸為x=1. 當(dāng)m<1時(shí),y=f(x)在[0,m]上為減函數(shù). ∴ymax=f(0)=3,ymin=f(m)=m2-2m+3=2. ∴m=1,無解. 當(dāng)1≤m≤2時(shí),ymin=f(1)=12-21+3=2, ymax=f(0)=3. 當(dāng)m>2時(shí),ymax=f(m)=m2-2m+3=3, ∴m=0,m=2,無解.∴1≤m≤2. 3. 若冪函數(shù)y=(m2-3m+3)xm2-m-2的圖象不經(jīng)過原點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的值為________. 答案 1或2 解析 由,解得m=1或2. 經(jīng)檢驗(yàn)m=1或2都適合. 4. (人教A版教材例題改編) 如圖中曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象.已知n取2,四個(gè) 值,則相應(yīng)于曲線C1,C2,C3,C4的n值依次為____________. 答案 2,,-,-2 解析 可以根據(jù)函數(shù)圖象是否過原點(diǎn)判斷n的符號(hào),然后根據(jù)函數(shù)凸凹性確定n的值. 5. 函數(shù)f(x)=x2+mx+1的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱的充要條件是 ( ) A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1 答案 A 解析 函數(shù)f(x)=x2+mx+1的圖象的對(duì)稱軸為x=-,且只有一條對(duì)稱軸,所以-= 1,即m=-2. 題型一 求二次函數(shù)的解析式 例1 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,試確定此二次函數(shù). 思維啟迪:確定二次函數(shù)采用待定系數(shù)法,有三種形式,可根據(jù)條件靈活運(yùn)用. 解 方法一 設(shè)f(x)=ax2+bx+c (a≠0), 依題意有解之,得 ∴所求二次函數(shù)解析式為f(x)=-4x2+4x+7. 方法二 設(shè)f(x)=a(x-m)2+n,a≠0.∵f(2)=f(-1), ∴拋物線對(duì)稱軸為x==.∴m=. 又根據(jù)題意函數(shù)有最大值為n=8, ∴y=f(x)=a2+8. ∵f(2)=-1,∴a2+8=-1,解之,得a=-4. ∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7. 方法三 依題意知,f(x)+1=0的兩根為 x1=2,x2=-1,故可設(shè)f(x)+1=a(x-2)(x+1),a≠0. 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函數(shù)有最大值ymax=8,即=8, 解之,得a=-4或a=0(舍去). ∴函數(shù)解析式為f(x)=-4x2+4x+7. 探究提高 二次函數(shù)有三種形式的解析式,要根據(jù)具體情況選用:如和對(duì)稱性、最值有 關(guān),可選用頂點(diǎn)式;和二次函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān),可選用零點(diǎn)式;一般式可作為二次函數(shù)的 最終結(jié)果. 已知二次函數(shù)f(x)同時(shí)滿足條件: (1)f(1+x)=f(1-x); (2)f(x)的最大值為15; (3)f(x)=0的兩根立方和等于17. 求f(x)的解析式. 解 依條件,設(shè)f(x)=a(x-1)2+15 (a<0), 即f(x)=ax2-2ax+a+15. 令f(x)=0,即ax2-2ax+a+15=0, ∴x1+x2=2,x1x2=1+. 而x+x=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2) =23-32=2-, ∴2-=17,則a=-6. ∴f(x)=-6x2+12x+9. 題型二 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 例2 已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)當(dāng)a=-2時(shí),求f(x)的最值; (2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使y=f(x)在區(qū)間[-4,6]上是單調(diào)函數(shù); (3)當(dāng)a=1時(shí),求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間. 思維啟迪:對(duì)于(1)和(2)可根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系直接求解,對(duì)于(3),應(yīng)先將函數(shù)化為分段函數(shù),再求單調(diào)區(qū)間,注意函數(shù)定義域的限制作用. 解 (1)當(dāng)a=-2時(shí),f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于x∈[-4,6], ∴f(x)在[-4,2]上單調(diào)遞減,在[2,6]上單調(diào)遞增, ∴f(x)的最小值是f(2)=-1,又f(-4)=35,f(6)=15,故f(x)的最大值是35. (2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上,對(duì)稱軸是x=-a,所以要使f(x)在[-4,6]上是單調(diào)函 數(shù),應(yīng)有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4. (3)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此時(shí)定義域?yàn)閤∈[-6,6], 且f(x)=, ∴f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6], 單調(diào)遞減區(qū)間是[-6,0]. 探究提高 (1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型:軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、 軸定區(qū)間動(dòng),不論哪種類型,解決的關(guān)鍵是考查對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系,當(dāng)含有參數(shù)時(shí), 要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論;(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分析討論求解. 若函數(shù)f(x)=2x2+mx-1在區(qū)間[-1,+∞)上遞增,則f(-1)的取值范圍是 ____________. 答案 (-∞,-3] 解析 ∵拋物線開口向上,對(duì)稱軸為x=-, ∴-≤-1,∴m≥4. 又f(-1)=1-m≤-3,∴f(-1)∈(-∞,-3]. 題型三 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用 例3 (xx淮安模擬)若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (a≠0)滿足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式; (2)若在區(qū)間[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 思維啟迪:對(duì)于(1),由f(0)=1可得c,利用f(x+1)-f(x)=2x恒成立,可求出a,b,進(jìn)而確定f(x)的解析式.對(duì)于(2),可利用函數(shù)思想求得. 解 (1)由f(0)=1得,c=1.∴f(x)=ax2+bx+1. 又f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, 即2ax+a+b=2x,∴∴ 因此,f(x)=x2-x+1. (2)f(x)>2x+m等價(jià)于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函數(shù)g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可. ∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上單調(diào)遞減, ∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0得,m<-1. 因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-1). 探究提高 二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)二次”,它們常結(jié)合在一起, 而二次函數(shù)又是“三個(gè)二次”的核心,通過二次函數(shù)的圖象貫穿為一體.因此,有關(guān)二 次函數(shù)的問題,數(shù)形結(jié)合,密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法.用函數(shù)思想研究 方程、不等式(尤其是恒成立)問題是高考命題的熱點(diǎn). (xx蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+mx+n的圖象過點(diǎn)(1,3),且f(-1+x)= f(-1-x)對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. (1)求f(x)與g(x)的解析式; (2)若F(x)=g(x)-λf(x)在(-1,1]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)λ的取值范圍. 解 (1)∵f(x)=x2+mx+n, ∴f(-1+x)=(-1+x)2+m(-1+x)+n =x2-2x+1+mx+n-m =x2+(m-2)x+n-m+1, f(-1-x)=(-1-x)2+m(-1-x)+n =x2+2x+1-mx-m+n =x2+(2-m)x+n-m+1. 又f(-1+x)=f(-1-x),∴m-2=2-m,即m=2. 又f(x)的圖象過點(diǎn)(1,3), ∴3=12+m+n,即m+n=2, ∴n=0,∴f(x)=x2+2x, 又y=g(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, ∴-g(x)=(-x)2+2(-x), ∴g(x)=-x2+2x. (2)∵F(x)=g(x)-λf(x)=-(1+λ)x2+(2-2λ)x, 當(dāng)λ+1≠0時(shí),F(xiàn)(x)的對(duì)稱軸為x==, 又∵F(x)在(-1,1]上是增函數(shù). ∴或. ∴λ<-1或-1<λ≤0. 當(dāng)λ+1=0,即λ=-1時(shí),F(xiàn)(x)=4x顯然在(-1,1]上是增函數(shù). 綜上所述,λ的取值范圍為(-∞,0]. 題型四 冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) 例4 已知冪函數(shù)f(x)=xm2-2m-3 (m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且在(0,+∞)上是減函 數(shù),求滿足(a+1)-<(3-2a)-的a的取值范圍. 思維啟迪:由冪函數(shù)的性質(zhì)可得到冪指數(shù)m2-2m-3<0,再結(jié)合m是整數(shù),及冪函數(shù)是偶函數(shù)可得m的值. 解 ∵函數(shù)在(0,+∞)上遞減, ∴m2-2m-3<0,解得-1- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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