《2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）教案 理 新人教A版 .DOC》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）教案 理 新人教A版 .DOC（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）教案 理 新人教A版
xx高考會(huì)這樣考 1.利用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；2.討論含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題．
復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.從導(dǎo)數(shù)的定義和“以直代曲”的思想理解導(dǎo)數(shù)的意義，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的工具作用；2.理解導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，掌握利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性、極值、最值的方法步驟．
1． 函數(shù)的單調(diào)性
在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
2． 函數(shù)的極值
(1)判斷f(x0)是極值的方法
一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，
①如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；
②如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．
(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③檢查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)．如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值．
3． 函數(shù)的最值
(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．
(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．
(3)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：
①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；
②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．
[難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源]
1． 可導(dǎo)函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況，是在局部對(duì)函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的情況，是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較．
2． f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增的充分條件．
3． 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．
1． 若函數(shù)f(x)＝在x＝1處取極值，則a＝________.
答案 3
解析 f′(x)＝＝.因?yàn)閒(x)在x＝1處取極值，所以1是f′(x)＝0的根，將x＝1代入得a＝3.
2． 函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案 [－3，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋a，f′(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，
則f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.
3. 如圖是y＝f(x)導(dǎo)數(shù)的圖象，對(duì)于下列四個(gè)判斷：
①f(x)在[－2，－1]上是增函數(shù)；
②x＝－1是f(x)的極小值點(diǎn)；
③f(x)在[－1,2]上是增函數(shù)，在[2,4]上是減函數(shù)；
④x＝3是f(x)的極小值點(diǎn)．
其中正確的判斷是________．(填序號(hào))
答案?、冖?
解析?、佟遞′(x)在[－2，－1]上是小于等于0的，
∴f(x)在[－2，－1]上是減函數(shù)；
②∵f′(－1)＝0且在x＝0兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值為左負(fù)右正，
∴x＝－1是f(x)的極小值點(diǎn)；
③對(duì)， ④不對(duì)，由于f′(3)≠0.
4． 設(shè)函數(shù)g(x)＝x(x2－1)，則g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為 ( )
A．－1 B．0 C．－ D.
答案 C
解析 g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)與g(x)的變化情況如下表：
x
0
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
0
極小值
0
所以當(dāng)x＝時(shí)，g(x)有最小值g＝－.
5． (xx遼寧)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－1)＝2，對(duì)任意x∈R，f′(x)>2，則f(x)>2x＋4的解集為 ( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
答案 B
解析 設(shè)m(x)＝f(x)－(2x＋4)，∵m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函數(shù)．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集為{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集為(－1，＋∞).
題型一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
例1 已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上為減函數(shù)，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由．
思維啟迪：函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)中的參數(shù)有關(guān)，要注意對(duì)參數(shù)的討論．
解 f′(x)＝ex－a，
(1)若a≤0，則f′(x)＝ex－a≥0，
即f(x)在R上遞增，
若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥ln a.
因此當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[ln a，＋∞)．
(2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．
∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．
又∵－2
0和f′(x)<0；
④根據(jù)③的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．
(2)要注意對(duì)含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論；
(3)對(duì)已知函數(shù)的單調(diào)性的問(wèn)題一定要掌握導(dǎo)數(shù)的條件．
已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若x＝3是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間．
解 (1)對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝3x2－2ax－3.
由f′(x)≥0，得a≤.
記t(x)＝，當(dāng)x≥1時(shí)，t(x)是增函數(shù)，
∴t(x)min＝(1－1)＝0.∴a≤0.
(2)由題意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，
∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝3.
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
極大值
極小值
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，[3，＋∞)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
題型二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
例2 已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.
(1)設(shè)a＝2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)f(x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．
思維啟迪：(1)單調(diào)區(qū)間即為f′(x)>0，f′(x)<0的解區(qū)間．
(2)f′(x)的零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)至少有一個(gè)．
解 (1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，
f′(x)＝3x2－12x＋3＝3(x－2＋)(x－2－)．
當(dāng)x∈(－∞，2－)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(－∞，2－)上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(2－，2＋)時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(2－，2＋)上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(2＋，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(2＋，＋∞)上單調(diào)遞增．
綜上，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，2－)和(2＋，＋∞)，
f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(2－，2＋)．
(2)f′(x)＝3x2－6ax＋3＝3[(x－a)2＋1－a2]．
當(dāng)1－a2≥0時(shí)，f′(x)≥0，f(x)為增函數(shù)，故f(x)無(wú)極值點(diǎn)；
當(dāng)1－a2<0時(shí)，f′(x)＝0有兩個(gè)根x1＝a－，
x2＝a＋.
由題意，知20，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并結(jié)合a>0，知00，
故f(x)在(－∞，－2)上為增函數(shù)；
當(dāng)x∈(－2,2)時(shí)，f′(x)<0，
故f(x)在(－2,2)上為減函數(shù)；
當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，
故f(x)在(2，＋∞)上為增函數(shù)．
由此可知f(x)在x＝－2處取得極大值f(－2)＝16＋c，
f(x)在x＝2處取得極小值f(2)＝c－16.
由題設(shè)條件知16＋c＝28，解得c＝12.
此時(shí)f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，
f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值為f(2)＝－4.
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問(wèn)題
典例：(14分)已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax (a∈R)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值．
審題視角 (1)已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解區(qū)間，并注意定義域．(2)先研究f(x)在[1,2]上的單調(diào)性，再確定最值是端點(diǎn)值還是極值．(3)由于解析式中含有參數(shù)a，要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論．
規(guī)范解答
解 (1)f′(x)＝－a (x>0)，[1分]
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＝－a>0，即函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)．[3分]
②當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，
當(dāng)00；
當(dāng)x>時(shí)，f′(x)＝<0，
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為. [5分]
(2)①當(dāng)≤1，即a≥1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a. [9分]
②當(dāng)≥2，即0－1
C．a(chǎn)>－ D．a(chǎn)<－
答案 A
解析 ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點(diǎn)，
則方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x>0時(shí)，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
3． 函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2在區(qū)間[－1,1]上的最大值是 ( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
答案 C
解析 ∵f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
∴f(x)在[－1,0)上是增函數(shù)，f(x)在(0,1]上是減函數(shù)．
∴f(x)max＝f(x)極大值＝f(0)＝2.
4． 若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(6，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( )
A．a(chǎn)≤2 B．5≤a≤7
C．4≤a≤6 D．a(chǎn)≤5或a≥7
答案 B
解析 因?yàn)閒(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1，
所以f′(x)＝x2－ax＋a－1，
由題意知當(dāng)12或a<－1
解析 ∵f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]，
∴f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．
令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.
∵函數(shù)f(x)有極大值和極小值，
∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根．
即Δ＝4a2－4a－8>0，∴a>2或a<－1.
三、解答題(共22分)
8． (10分)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bln x在x＝1處有極值.
(1)求a，b的值；
(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．
解 (1)f′(x)＝2ax＋.又f(x)在x＝1處有極值.
得 即解之得a＝，b＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x，其定義域是(0，＋∞)，
且f′(x)＝x－＝.
由f′(x)<0，得00，得x>1.
所以函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1)，
單調(diào)增區(qū)間是(1，＋∞)．
9． (12分)已知函數(shù)f(x)＝ln|x| (x≠0)，函數(shù)g(x)＝＋af′(x) (x≠0)．
(1)求函數(shù)y＝g(x)的表達(dá)式；
(2)若a>0，函數(shù)y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2，求a的值．
解 (1)因?yàn)閒(x)＝ln|x|，
所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝ln x，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝ln(－x)．
所以當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)＝，
當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)＝(－1)＝.
所以當(dāng)x≠0時(shí)，函數(shù)y＝g(x)＝x＋.
(2)由(1)，知當(dāng)x>0時(shí)，g(x)＝x＋.
所以當(dāng)a>0，x>0時(shí)，g(x)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號(hào)．
所以函數(shù)y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2.
所以2＝2.解得a＝1.
B組 專項(xiàng)能力提升
(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1． (xx重慶)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，則函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可能是 ( )
答案 C
解析 ∵f(x)在x＝－2處取得極小值，
∴當(dāng)x<－2時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，即f′(x)<0；
當(dāng)x>－2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，即f′(x)>0.
∴當(dāng)x<－2時(shí)，y＝xf′(x)>0；
當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝xf′(x)＝0；
當(dāng)－20時(shí)，y＝xf′(x)>0.
結(jié)合選項(xiàng)中圖象知選C.
2． 函數(shù)y＝xe－x，x∈[0,4]的最小值為 ( )
A．0 B. C. D.
答案 A
解析 y′＝－e－x(x－1)，
y′與y隨x變化情況如下表：
x
0
(0,1)
1
(1,4)
4
y′
＋
0
－
y
0
取極大值
當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)y＝xe－x取到最小值0.
3． f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，則不等式xf(x)>0的解集為 ( )
A．(－4,0)∪(4，＋∞) B．(－4,0)∪(0,4)
C．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(0,4)
答案 D
解析 令g(x)＝xf(x)，則g(x)為奇函數(shù)且當(dāng)x<0時(shí)，g′(x)＝f(x)＋
xf′(x)<0，
∴g(x)的圖象的變化趨勢(shì)如圖所示：
所以xf(x)>0的解集為(－∞，－4)∪(0,4)．
二、填空題(每小題5分，共15分)
4． 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c (x∈[－2,2])對(duì)應(yīng)的曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x＝1處切線的斜率均為－1，則f(x)的最大值和最小值之和等于________．
答案 0
解析 由曲線f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c (x∈[－2,2])過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)可知c＝0.
∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由已知得
解得a＝0，b＝－4，
∴f(x)＝x3－4x，f(x)在x∈[－2,2]上有最大值，最小值，且函數(shù)f(x)＝x3－4x為奇函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝x3－4x的最大值和最小值之和為0.
5． 設(shè)函數(shù)f(x)＝p－2ln x(p是實(shí)數(shù))，若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為______．
答案 [1，＋∞)
解析 易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，因?yàn)閒′(x)＝，要使f(x)為單調(diào)增函數(shù)，須f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即px2－2x＋p≥0在(0，＋∞)上恒成立，即p≥＝在(0，＋∞)上恒成立，又≤1，
所以當(dāng)p≥1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)．
6． 已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍是________．
答案 (0,1)
解析 f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
顯然a>0，f′(x)＝3(x＋)(x－)，
由已知條件0<<1，解得00時(shí)，因?yàn)槎魏瘮?shù)y＝ax2＋(a－1)x－a的圖象開口向上，而f′(0)＝－a<0，
所以需f′(1)＝(a－1)e<0，即00，f(x)不符合條件．
故a的取值范圍為0≤a≤1.
(2)因?yàn)間(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，
所以g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex.
(i)當(dāng)a＝0時(shí)，g′(x)＝ex>0，g(x)在x＝0處取得最小值g(0)＝1，在x＝1處取得最大值g(1)＝e.
(ii)當(dāng)a＝1時(shí)，對(duì)于任意x∈(0,1)有g(shù)′(x)＝－2xex<0，g(x)在x＝0處取得最大值g(0)＝2，在x＝1處取得最小值g(1)＝0.
(iii)當(dāng)00.
①若≥1，即0
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)
3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一教案
新人教A版
2019
2020
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數(shù)學(xué)
一輪
復(fù)習(xí)
3.2
導(dǎo)數(shù)
應(yīng)用
教案
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