2019年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 G單元 立體幾何（含解析）.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 G單元 立體幾何（含解析） 目錄 G單元 立體幾何 1 G1 空間幾何體的結(jié)構(gòu) 2 G2 空間幾何體的三視圖和直觀圖 2 G3 平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線 2 G4 空間中的平行關(guān)系 2 G5 空間中的垂直關(guān)系 2 G6 三垂線定理 2 G7 棱柱與棱錐 2 G8 多面體與球 2 G9　空間向量及運(yùn)算 2 G10 空間向量解決線面位置關(guān)系 2 G11 空間角與距離的求法 2 G12 單元綜合 2 G1 空間幾何體的結(jié)構(gòu) G2 空間幾何體的三視圖和直觀圖 【浙江寧波高一期末xx】13.將棱長(zhǎng)為2的正方體切割后得一幾何體，其三視圖如圖所示， 則該幾何體的體積為_(kāi)__________. 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 視圖 （第13題圖） 【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀; 由三視圖求面體積． 【答案解析】解析 ：解：由三視圖知幾何體為四棱錐， 其直觀圖如圖所示， 四棱錐的底面為ABCD，其中AB=2，AD= ， 四棱錐的高為PN= ． ∴幾何體的體積為（cm3）． 【思路點(diǎn)撥】幾何體是四棱錐，結(jié)合直觀圖，判斷四棱錐的底面矩形的邊長(zhǎng)及四棱錐高，把數(shù)據(jù)代入棱錐的體積公式計(jì)算． 【文重慶一中高二期末xx】8.（原創(chuàng)）六個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體在桌面上堆疊成一個(gè)幾何體，該幾何體的正視圖與俯視圖如下圖所示，則其左視圖不可能為 正視圖 俯視圖 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體；簡(jiǎn)單組合體的三視圖． 【答案解析】D解析 ：解：結(jié)合主視圖和俯視圖，從左面看，幾何體的最底層必有正方行，而D選項(xiàng)沒(méi)有． 故選D． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)給出的幾何體，通過(guò)動(dòng)手操作，觀察可得答案選擇D，也可以根據(jù)畫三視圖的方法，發(fā)揮空間想象能力，結(jié)合主視圖和俯視圖，從左面看，幾何體的最底層必有正方行，而D選項(xiàng)沒(méi)有． 【文浙江紹興一中高二期末`xx】12．一個(gè)空間幾何體的三視圖如右圖所示，其中主視圖和側(cè)視圖都是半徑為的圓，且這個(gè)幾何體是實(shí)心球體的一部分，則這個(gè)幾何體的體積為 ； 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積;根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀 【答案解析】解析 ：解：由已知中該幾何體是一個(gè)四分之三球，其表面積包括個(gè)球面積和兩個(gè)與球半徑相等的半圓面積∵R=1,故S= ?4?π+2? ?π=4π 故答案為：4π 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知中的三視圖，我們可以判斷出該幾何體的形狀是四分之三個(gè)球，利用球的表面積公式及圓的面積公式，即可得到該幾何體的表面積． 【文浙江寧波高二期末xx】13. 一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為 2 1 1 2 1 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 (第13題圖) __ __ 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖求幾何體的體積. 【答案解析】解析 ：解：由三視圖知幾何體是正方體削去一個(gè)角，如圖： ∴幾何體的體積 故答案為：． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三視圖知幾何體是正方體削去一個(gè)角，畫出其直觀圖，把數(shù)據(jù)代入正方體與棱錐的體積公式計(jì)算． 【文四川成都高三摸底xx】13．如圖是一個(gè)幾何體的本視圖，則該幾何體的表面積是 。 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求幾何體的表面積. 【答案解析】解析：解：由幾何體的三視圖可知該幾何體為一個(gè)倒放的直三棱柱，則其側(cè)面積為，又兩個(gè)底面面積為222=4，所以該幾何體的表面積為 【思路點(diǎn)撥】由三視圖求幾何體的表面積問(wèn)題，可先結(jié)合三視圖還原原幾何體，再結(jié)合幾何體的特征計(jì)算. 【文廣東惠州一中高三一調(diào)xx】13．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積等于 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求體積． 4 3 2 3 3 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 【答案解析】24 解析 ：解：由三視圖可知，原幾何體是一個(gè)三棱柱被截去了一小三棱錐得到的，如圖 3 2 4 3 第13題圖 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，再利用體積公式計(jì)算即可． 【文廣東惠州一中高三一調(diào)xx】13．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積等于 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求體積． 4 3 2 3 3 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 【答案解析】24 解析 ：解：由三視圖可知，原幾何體是一個(gè)三棱柱被截去了一小三棱錐得到的，如圖 3 2 4 3 第13題圖 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，再利用體積公式計(jì)算即可． 【理重慶一中高二期末xx】6、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積為（ ） A、2 B、4 C、4 D、12 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求體積． 【答案解析】C解析 ：解：由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，高為2，底面為等腰直角三角形，如圖： ∵△ABC為等腰直角三角形，D為AC的中點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC， 在平面SAC中，過(guò)D作DH⊥AC， ∴外接球的球心在DH上，設(shè)球心為O，則OA=OB=OC=OS， 設(shè)OD=x，則 外接球的半徑R= ，∴外接球的體積 故選：C． 【思路點(diǎn)撥】幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，結(jié)合直觀圖可證球心在平面SAC，AC的垂直平分線上，設(shè)出球心，利用勾股定理求出球的半徑，代入球的體積公式計(jì)算． 【理浙江紹興一中高二期末xx】【七句話告訴你人生】 【理浙江寧波高二期末`xx】12.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的體積為 2 1 1 2 1 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 . (第12題圖) 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖求幾何體的體積. 【答案解析】解析 ：解：由三視圖知幾何體是 正方體削去一個(gè)角，如圖： ∴幾何體的體積 故答案為：． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三視圖知幾何體是正方體削去一個(gè)角，畫出其直觀圖，把數(shù)據(jù)代入正方體與棱錐的體積公式計(jì)算． 【理四川成都高三摸底xx】13．如圖是一個(gè)幾何體的本視圖，則該幾何體的表面積是 。 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求幾何體的表面積. 【答案解析】解析：解：由幾何體的三視圖可知該幾何體為一個(gè)倒放的直三棱柱，則其側(cè)面積為，又兩個(gè)底面面積為222=4，所以該幾何體的表面積為 【思路點(diǎn)撥】由三視圖求幾何體的表面積問(wèn)題，可先結(jié)合三視圖還原原幾何體，再結(jié)合幾何體的特征計(jì)算. 【理吉林長(zhǎng)春十一中高二期末xx】3.一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是（ ） A．球 B．三棱錐 C．正方體 D．圓柱 【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征;簡(jiǎn)單幾何體的三視圖. 【答案解析】D解析 ：解：解：A、球的三視圖均為圓，且大小均等； B、三條側(cè)棱兩兩垂直且相等的適當(dāng)高度的正三棱錐，其一個(gè)側(cè)面放到平面上，其三視圖均為三角形且形狀都相同，； C、正方體的三視圖可以是三個(gè)大小均等的正方形； D、圓柱的三視圖中必有一個(gè)為圓，其他兩個(gè)為矩形 故一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同，大小均等，那么這個(gè)幾何體不可以是圓柱,故選 D 【思路點(diǎn)撥】利用簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及三視圖的定義，容易判斷圓柱的三視圖不可能形狀相同，大小均等. 【理廣東惠州一中高三一調(diào)xx】6．若某幾何體的三視圖如右圖所示，則此幾何體的體積等于（ ） 3 2 4 3 第6題圖 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積、體積． 【答案解析】C解析 ：解：由三視圖可知，原幾何體是一個(gè)三棱柱被截去了一個(gè)小三棱錐得到的，如圖 ，故選. 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，再利用體積公式計(jì)算即可． 【典型總結(jié)】本題主要考查三視圖的應(yīng)用，利用三視圖還原成空間幾何體的直觀圖是解決此題的關(guān)鍵，要求熟練掌握空間幾何體的體積公式． 【文浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】15. 如果一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示， 其中正視圖中△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三 角形，俯視圖為正六邊形，那么該幾何 體的側(cè)視圖的面積為_(kāi)___▲____． 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求幾何體的面積、體積. 【答案解析】 解析 ：解：此幾何體為一個(gè)正六棱錐，其頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心,由于正視圖中△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其高為， 即側(cè)視圖中三角形的高為，又中心到邊為的距離為， 故側(cè)視圖中三角形的底邊長(zhǎng)為，故側(cè)視圖的面積， 故答案為： 【思路點(diǎn)撥】由三視圖及題設(shè)條件知，此幾何體為一個(gè)正六棱錐，其標(biāo)點(diǎn)在底面的投影是底面的中心，底面是一個(gè)正六邊形，欲求側(cè)視圖的面積，由于其是一個(gè)等腰三角形，其高為棱錐的高，底面邊長(zhǎng)是六邊形相對(duì)邊長(zhǎng)的距離，求出此兩量的長(zhǎng)度，即可求其面積． 【典型總結(jié)】本題考點(diǎn)是由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對(duì)三視圖的理解與應(yīng)用，主要考查三視圖與實(shí)物圖之間的關(guān)系，用三視圖中的數(shù)據(jù)還原出實(shí)物圖的數(shù)據(jù)，再根據(jù)相關(guān)的公式求表面積與體積，本題求的是正六棱錐的側(cè)視圖的面積，由三角形面積公式直接求即可．三視圖的投影規(guī)則是：“主視、俯視 長(zhǎng)對(duì)正；主視、左視高平齊，左視、俯視 寬相等”，三視圖是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，在以后的高考中有加強(qiáng)的可能． 【文江西鷹潭一中高一期末xx】5．有一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，這個(gè)幾何體可能是一個(gè)( )． 主視圖 左視圖 俯視圖 A．棱臺(tái) B．棱錐 C．棱柱 D．正八面體 【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖． 【答案解析】A 解析 ：解：由俯視圖可以看出這個(gè)圖形的底面是四邊形，且上面還有一個(gè)四邊形的底面，主視圖和側(cè)視圖都是等腰梯形，得到這個(gè)圖形是一個(gè)棱臺(tái) 故選A．． 【思路點(diǎn)撥】由俯視圖可以看出這個(gè)圖形的底面是四邊形，主視圖和側(cè)視圖都是等腰梯形，得到這個(gè)圖形是一個(gè)棱臺(tái)． 【典型總結(jié)】本題考查由三視圖還原幾何體，在這個(gè)題目中注意觀察俯視圖，從俯視圖可以看出底面是一個(gè)幾邊形，為給幾何體命名確定條件． 【理浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】13．如果一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示， 其中正視圖中△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三 角形，俯視圖為正六邊形，那么該幾何 體的側(cè)視圖的面積為_(kāi)___▲____． 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求幾何體的面積、體積. 【答案解析】 解析 ：解：此幾何體為一個(gè)正六棱錐，其頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心,由于正視圖中△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其高為， 即側(cè)視圖中三角形的高為，又中心到邊為的距離為， 故側(cè)視圖中三角形的底邊長(zhǎng)為，故側(cè)視圖的面積， 故答案為： 【思路點(diǎn)撥】由三視圖及題設(shè)條件知，此幾何體為一個(gè)正六棱錐，其標(biāo)點(diǎn)在底面的投影是底面的中心，底面是一個(gè)正六邊形，欲求側(cè)視圖的面積，由于其是一個(gè)等腰三角形，其高為棱錐的高，底面邊長(zhǎng)是六邊形相對(duì)邊長(zhǎng)的距離，求出此兩量的長(zhǎng)度，即可求其面積． 【典型總結(jié)】本題考點(diǎn)是由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對(duì)三視圖的理解與應(yīng)用，主要考查三視圖與實(shí)物圖之間的關(guān)系，用三視圖中的數(shù)據(jù)還原出實(shí)物圖的數(shù)據(jù)，再根據(jù)相關(guān)的公式求表面積與體積，本題求的是正六棱錐的側(cè)視圖的面積，由三角形面積公式直接求即可．三視圖的投影規(guī)則是：“主視、俯視 長(zhǎng)對(duì)正；主視、左視高平齊，左視、俯視 寬相等”，三視圖是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，在以后的高考中有加強(qiáng)的可能． 【江西鷹潭一中高一期末xx】6．如下圖：左邊圖是一個(gè)物體的三視圖，則此物體的直觀圖是右邊圖 ( )． 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖還原實(shí)物圖． 【答案解析】D 解析 ：解：正視圖和左視圖相同，說(shuō)明組合體上面是錐體，下面是正四棱柱或圓柱，俯視圖可知下面是圓柱．故選D 【思路點(diǎn)撥】正視圖和左視圖可以得到A，俯視圖可以得到B和D，結(jié)合三視圖的定義和作法解答本題正確答案D． G3 平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線 【理浙江寧波高二期末`xx】5.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律;三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 【答案解析】C解析 ：解：將函數(shù)的圖象向右平移φ個(gè)單位所得圖象的解析式再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍所得圖象的解析式因?yàn)樗脠D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最值，所以整理得出當(dāng)k=0時(shí)，φ取得最小正值為． 故選：C． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律得出圖象的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最值，列出關(guān)于φ的不等式，討論求解即可． G4 空間中的平行關(guān)系 【理四川成都高三摸底xx】6．已知a，b是兩條不同直線，a是一個(gè)平面，則下列說(shuō)法正確的是 （A）若a∥b．b，則a// （B）若a//，b，則a∥b （C）若a⊥，b⊥，則a∥b （D）若a⊥b，b⊥，則a∥ 【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的判定、線面垂直的性質(zhì) 【答案解析】C解析：解：A選項(xiàng)中直線a還可能在平面α內(nèi)，所以錯(cuò)誤，B選項(xiàng)直線a與b可能平行還可能異面，所以錯(cuò)誤，C選項(xiàng)由直線與平面垂直的性質(zhì)可知正確，因?yàn)檎_的選項(xiàng)只有一個(gè)，所以選C 【思路點(diǎn)撥】在判斷直線與平面平行時(shí)要正確的理解直線與平面平行的判定定理，應(yīng)特別注意定理中的“平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行”，在判斷位置關(guān)系時(shí)能用定理判斷的可直接用定理判斷，不能直接用定理判斷的可考慮用反例排除. 【理吉林長(zhǎng)春十一中高二期末xx】18．（滿分12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且，,，點(diǎn)分別為、、的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：∥平面； （Ⅱ）求證：； （Ⅲ）求二面角的余弦值. 【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的證明；異面直線垂直的證明；二面角的求法. 【答案解析】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ） 解析 ：解：（Ⅰ）證明：連接，是的中點(diǎn) ，過(guò)點(diǎn)， 為的中點(diǎn)，， 又面，面，平面； （Ⅱ）在直角中，，，， 棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系如圖示，則 ，，，，， ，， ，； （Ⅲ）依題意得，，，，，，， 設(shè)面的一個(gè)法向量為， 由，得，令，得， 同理可得面的一個(gè)法向量為， 故二面角的平面角的余弦值為， 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）連結(jié)，由已知條件推導(dǎo)出，由此能證明 ∥平面． （Ⅱ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明． （Ⅲ）分別求出面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量利用向量法能求出二面角的余弦值． G5 空間中的垂直關(guān)系 【浙江寧波高一期末xx】3.設(shè)是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題不正確的是 若，，則 若，∥，則 若，，則∥ 若∥,∥,則∥ 【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系． 【答案解析】D解析 ：解：由線面垂直的定義判斷，知若，，則，故A正確. 由線面垂直的性質(zhì)判定定理，知若，∥，則，故B正確. 由根據(jù)垂直同一平面的兩直線平行判斷，知若，，則∥,故C正確. 由線面平行的性質(zhì)判斷，知若∥,∥,則與的關(guān)系是平行、相交或異面，故D錯(cuò)誤. 故答案選：D. 【思路點(diǎn)撥】由線面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)判定定理、線面平行的性質(zhì)依次判斷即可. 【文重慶一中高二期末xx】18 .(原創(chuàng))（本小題12分（1）小問(wèn)6分，（2）小問(wèn)7分） 所有棱長(zhǎng)均為1的四棱柱如下圖所示，. （1）證明：平面平面； （2）當(dāng)為多大時(shí)，四棱錐的體積最大，并求出該最大值. 【知識(shí)點(diǎn)】面面垂直的性質(zhì)定理；立體幾何中的最值問(wèn)題. 【答案解析】（1）見(jiàn)解析（2） 解析 ：解：(1)由題知，棱柱的上下底面為菱形，則①， …………2分 由棱柱性質(zhì)可知，又，故② …………4分 由①②得平面， 又平面，故平面平面 ………… 6分 （2）設(shè)， 由（1）可知平面， 故 ………8分 菱形中，因?yàn)?，，則，且 則在中， ………10分 易知四邊形為邊長(zhǎng)為1的菱形， 則當(dāng)時(shí)（），最大，且其值為1. …………12分 故所求體積最大值為 …………13分 【思路點(diǎn)撥】（1）由題知,由棱柱性質(zhì)可知,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理可得結(jié)論；（2）先找到四棱錐的體積的表示，知當(dāng)時(shí)（），最大，且其值為1，可求體積最大值. 【文浙江紹興一中高二期末`xx】19．（本題滿分10分）如圖，平面平面， 第19題圖 四邊形為矩形，．為的中點(diǎn)，． （1）求證：； （2）若與平面所成的角為， 求二面角的余弦值． 【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直的判定定理；線面垂直的性質(zhì)定理；二面角的平面角的做法. 【答案解析】（1）見(jiàn)解析（2） 解析 ：解：（1）證明：連結(jié)OC,因AC=BC,O是AB的中點(diǎn)，故.又因平面ABC平面ABEF,故平面， …………2分 于是．又，所以平面， 所以， …………4分 又因，故平面， 所以． …………6分 （2）解法一：由（1），得．不妨設(shè)，． …………7分 因?yàn)橹本€FC與平面ABC所成的角，故=， 所以FC=EC=2，為等邊三角形，…………9分 設(shè)則O,B分別為PF,PE的中點(diǎn)，也是等邊三角形. 取EC的中點(diǎn)M,連結(jié)FM,MP,則 所以為二面角的平面角. …………12分 在中， …………13分 故cos 即二面角的余弦值為． …………14分 解法二：取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，，則，，，， …………8分 從而，. 設(shè)平面的法向量為， 由，得， 可?。? …………10分 同理，可取平面的一個(gè)法向量為 ． ………12分 于是， ……13分 易見(jiàn)二面角的平面角與互補(bǔ)， 所以二面角的余弦值為． …………14分 【思路點(diǎn)撥】(1) 連結(jié)OC再利用面面垂直的性質(zhì)得到平面，再利用線面垂直的判定得到平面，最后再次利用線面垂直的判定得到結(jié)論；（2）解法一：結(jié)合已知條件找出為二面角的平面角，然后利用公式即可. 解法二：取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，，然后找出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別求出兩個(gè)半平面的法向量代入公式即可. 【文浙江紹興一中高二期末`xx】14．沿對(duì)角線AC 將正方形A B C D折成直二面角后，A B與C D所在的直線所成的角等于 ； 【知識(shí)點(diǎn)】異面直線及其所成的角， 【答案解析】60解析 ：解：如圖所示， 分別取AC、AB、BD邊的中點(diǎn)O、E、F，連接DO、BO、EO、FO、EF，則有EF∥AD，OE∥BC∴∠FEO就是直線AB與CD所成的角． 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2a，則DO=BO=AC＝a，且DO⊥AC，BO⊥AC 即∠DOB為二面角D-AC-B所成的角，由于DB=2a可得DO⊥BO， ∴OF=DB=a=EF=EO，即得∠FEO=60，即得直線AB與CD所成的角的大小為60． 故答案為：60． 【思路點(diǎn)撥】分別取AC、AB、BD邊的中點(diǎn)O、E、F，連接DO、BO、EO、FO、EF，根據(jù)三角形中位線定理，易得∠FEO就是直線AB與CD所成的角，解三角形FEO，即可求出直線AB與CD所成的角的大?。? 【文浙江紹興一中高二期末`xx】6．設(shè)m，n是兩條不同的直線，、、是三個(gè)不同的平面，給出下列命題，正確的（ ） A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，，則 【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的性質(zhì)定理；線面垂直的第二判定定理；面面垂直的判定定理． 【答案解析】B解析 ：解：若，，則m與的關(guān)系不確定，故A錯(cuò)誤； 若，則存在直線n?，使m∥n，又由，可得n⊥β，進(jìn)而由面面垂直的判定定理得到，故B正確； 若，，則與關(guān)系不確定，故C錯(cuò)誤； 若，，，則與可能平行，也可能相交（此時(shí)交線與m，n均平行），故D錯(cuò)誤； 故選：B 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，線面垂直的第二判定定理，面面垂直的判定定理，可判斷B中結(jié)論正確，而由空間點(diǎn)線面關(guān)系的幾何特征，可判斷其它結(jié)論均不一定成立． 【文浙江寧波高二期末xx】4. 已知直線，平面，且，給出下列命題，其中正確的是（ ） A. 若，則 B. 若，則 C. 若，則 D. 若，則 【知識(shí)點(diǎn)】線面、面面位置關(guān)系的判斷. 【答案解析】A解析 ：解： 對(duì)于A∵ ，∴，又∵，∴，∴A正確． 對(duì)于B∵,則與的位置關(guān)系是平行、相交、異面，故B錯(cuò)誤. 對(duì)于C∵，則的位置關(guān)系是平行或相交，故C錯(cuò)誤. 對(duì)于D∵，則.故D錯(cuò)誤. 故選：A. 【思路點(diǎn)撥】利用直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系逐一判斷，成立的證明，不成立的可舉出反例． 【理重慶一中高二期末xx】4、在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，則點(diǎn)A到平面A1BC的距離為（　 ） A、 B、 C、 D、 【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到平面的距離. 【答案解析】B解析 ：解：設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離為h，則三棱錐的體積為即∴ ∴h=． 故選：B． 【思路點(diǎn)撥】要求點(diǎn)A到平面A1BC的距離，可以求三棱錐底面A1BC上的高，由三棱錐的體積相等，容易求得高，即是點(diǎn)到平面的距離． 【理浙江紹興一中高二期末xx】5． 設(shè)m，n是兩條不同的直線，、、是三個(gè)不同的平面，給出下列命題，正確的是 A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，，則 【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的性質(zhì)定理；線面垂直的第二判定定理；面面垂直的判定定理． 【答案解析】B解析 ：解：若，，則m與的關(guān)系不確定，故A錯(cuò)誤； 若，則存在直線n?，使m∥n，又由，可得n⊥β，進(jìn)而由面面垂直的判定定理得到，故B正確； 若，，則與關(guān)系不確定，故C錯(cuò)誤； 若，，，則與可能平行，也可能相交（此時(shí)交線與m，n均平行），故D錯(cuò)誤； 故選：B 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，線面垂直的第二判定定理，面面垂直的判定定理，可判斷B中結(jié)論正確，而由空間點(diǎn)線面關(guān)系的幾何特征，可判斷其它結(jié)論均不一定成立． 【理浙江寧波高二期末`xx】19.(本題滿分14分)在如圖所示的空間幾何體中,平面平面,與 均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,,直線和平面所成的角為,且點(diǎn)在平面上的射影落在的平分線上． （I）求證:平面； （II）求二面角的余弦值． 【知識(shí)點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題． 【答案解析】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ） 解析 ：解：（Ⅰ）由題意知，，都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取中點(diǎn)， 連接，則，， 又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面， 那么，根據(jù)題意，點(diǎn)落在上， ……………3分 ∴，易求得， ∴四邊形是平行四邊形，∴，∴平面 ……………7分 （Ⅱ）解法一：作，垂足為，連接， ∵⊥平面，∴，又， ∴平面，∴， ∴就是二面角的平面角 …………10分 中，， ，． ∴．即二面角的余弦值為．…………14分 解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 可知平面的一個(gè)法向量為 設(shè)平面的一個(gè)法向量為 則，可求得． ……10分 所以， 所以二面角的余弦值為． …………14分 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）取AC中點(diǎn)O，連接BO，DO，由題設(shè)條件推導(dǎo)出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，由已知條件推導(dǎo)出∠EBF=60，由此能證明DE∥平面ABC． （Ⅱ）法一：作FG⊥BC，垂足為G，連接EG，能推導(dǎo)出∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，由此能求出二面角E-BC-A的余弦值． 法二：以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)D為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出二面角E-BC-A的余弦值． 【理浙江寧波高二期末`xx】4.已知是空間中兩條不同直線,是兩個(gè)不同平面,且,給出下列命題： ①若，則； ②若，則; ③若，則； ④若，則 其中正確命題的個(gè)數(shù)是 （ ）A. 1 B. 2 C．3 D．4 【知識(shí)點(diǎn)】線面、面面位置關(guān)系的判斷. 【答案解析】B解析 ：解： 對(duì)于A∵ ，∴，又∵，∴，∴A正確． 對(duì)于B∵,則與的位置關(guān)系是平行、相交、異面，故B錯(cuò)誤. 對(duì)于C∵，則的位置關(guān)系是平行或相交，故C錯(cuò)誤. 對(duì)于D∵，則.故D正確 故選.：B. 【思路點(diǎn)撥】利用直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系逐一判斷，成立的證明，不成立的可舉出反例． 【理四川成都高三摸底xx】19．（本小題滿分12分） 如圖，已知⊙O的直徑AB=3，點(diǎn)C為⊙O上異于A，B的一點(diǎn)，VC⊥平面ABC，且VC=2，點(diǎn)M為線段VB的中點(diǎn)。 （I）求證：BC⊥平面VAC； （Ⅱ）若AC=l，求二面角M－VA－C的余弦值。 【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定、二面角的求法 【答案解析】（I）略；（Ⅱ） 解析：解：（I）證明：因?yàn)閂C⊥平面ABC，，所以VC⊥BC，又因?yàn)辄c(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且AB為直徑，所以AC⊥BC，又因?yàn)閂C，AC平面VAC，VC∩AC=C，所以BC⊥平面VAC. （Ⅱ）由（I）得BC⊥VC，VC⊥AC，AC⊥BC，分別以AC，BC，VC，所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz如圖 則A(1，0，0)，V(0，0，2)，B(0，，0)，設(shè)平面VAC的法向量，設(shè)平面VAM的法向量，由令y=，得，所以，即所求二面角的余弦值為 【思路點(diǎn)撥】在證明直線與平面垂直時(shí)，一般結(jié)合直線與平面垂直的判定定理，只需證明直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直；對(duì)于求二面角可考慮直接求其平面角的大小和用向量求解，當(dāng)直接尋求其平面角不方便時(shí)要注意建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，借助于平面的法向量解答. 【理四川成都高三摸底xx】6．已知a，b是兩條不同直線，a是一個(gè)平面，則下列說(shuō)法正確的是 （A）若a∥b．b，則a// （B）若a//，b，則a∥b （C）若a⊥，b⊥，則a∥b （D）若a⊥b，b⊥，則a∥ 【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的判定、線面垂直的性質(zhì) 【答案解析】C解析：解：A選項(xiàng)中直線a還可能在平面α內(nèi)，所以錯(cuò)誤，B選項(xiàng)直線a與b可能平行還可能異面，所以錯(cuò)誤，C選項(xiàng)由直線與平面垂直的性質(zhì)可知正確，因?yàn)檎_的選項(xiàng)只有一個(gè)，所以選C 【思路點(diǎn)撥】在判斷直線與平面平行時(shí)要正確的理解直線與平面平行的判定定理，應(yīng)特別注意定理中的“平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行”，在判斷位置關(guān)系時(shí)能用定理判斷的可直接用定理判斷，不能直接用定理判斷的可考慮用反例排除. 【江蘇鹽城中學(xué)高二期末xx】17．（本小題滿分14分） A B C A1 B1 C1 E D 第17題 （理科學(xué)生做）如圖，在直三棱柱中，，分別是的中點(diǎn)，且. （1）求直線與所成角的大??； （2）求直線與平面所成角的正弦值. 【知識(shí)點(diǎn)】異面直線所成的角；直線與平面所成的角. 【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：分別以、、所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系. 則由題意可得：,,,,,, 又分別是的中點(diǎn)，,. …………3分 （1）因?yàn)椋?， 所以， …………7分 直線與所成角的大小為. …………8分 （2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由,得, 可取， …………10分 又，所以， ……13分 直線與平面所成角的正弦值為. …………14分 【思路點(diǎn)撥】（1）分別以、、所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系. 則由題意可得， ，然后利用向量的夾角公式計(jì)算可得結(jié)果；（2）找出兩個(gè)半平面的法向量后利用向量的夾角公式計(jì)算即可. 【文浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】6．已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，則下列命題不正確的是( ▲ ) A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則 【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系. 【答案解析】B 解析 ：解：A選項(xiàng)正確，因?yàn)閮蓷l平行線中的一條垂直于某個(gè)平面，則另一條必垂直于這個(gè)平面； B選項(xiàng)不正確，因?yàn)橛删€面平行的性質(zhì)定理知，線平行于面，過(guò)線的面與已知面相交，則交線與已知線平行，由于m與β的位置關(guān)系不確定，故不能得出線線平行； C選項(xiàng)正確，兩個(gè)平面垂直于同一條直線，則此兩平面必平行； D選項(xiàng)正確，一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直． 綜上，B選項(xiàng)不正確 故選B. 【思路點(diǎn)撥】A選項(xiàng)由線面垂直的條件判斷；B選項(xiàng)由線線平行的條件判斷；C選項(xiàng)由面面平行的條件判斷；D選項(xiàng)由面面垂直的條件判斷． 【文江西鷹潭一中高一期末xx】21．（本題14分）已知△BCD中，∠BCD=90，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60，E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且（Ⅰ）求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）當(dāng)λ為何值時(shí)，平面BEF⊥平面ACD？ 【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)． 【答案解析】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ） 解析 ：解：證明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD， ∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．（3分） 又∵， ∴不論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF?平面BEF， ∴不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又∵平面BEF⊥平面ACD， ∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC．（9分） ∵BC=CD=1，∠BCD=90，∠ADB=60， ∴，（11分） ∴， 由AB2=AE?AC得，∴，（13分） 故當(dāng)時(shí)，平面BEF⊥平面ACD．（14分） 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由AB⊥平面BCD?AB⊥CD，又CD⊥BC?CD⊥平面ABC，再利用條件可得不論λ為何值，恒有EF∥CD?EF?平面BEF，就可得不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD?BE⊥平面ACD?BE⊥AC．故只須讓所求λ的值能證明BE⊥AC即可．在△ABC中求出λ的值． 【文江西鷹潭一中高一期末xx】19．（本題12分）（本題13分）已知正方體，是底對(duì)角線的交點(diǎn). 求證：（１）∥面；（2 ）面。 【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系． 【答案解析】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析. 解析 ：解：（1）連接A1C1，設(shè)A1C1∩B1D1=O1，連接AO1， ∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方體， ∴A1ACC1是平行四邊形，∴A1C1∥AC且A1C1=AC， 又O1，O分別是A1C1，AC的中點(diǎn)，∴O1C1∥AO且O1C1=AO， ∴AOC1O1是平行四邊形，∴C1O∥AO1，AO1?面AB1D1，C1O?面AB1D1， ∴C1O∥面AB1D1； （2）∵CC1⊥面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D!，又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1，同理可證A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，∴A1C⊥面AB1D1 【思路點(diǎn)撥】（1）欲證C1O∥面AB1D1，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證C1O與面AB1D1內(nèi)一直線平行，連接A1C1，設(shè)A1C1∩B1D1=O1，連接AO1，易得C1O∥AO1，AO1?面AB1D1，C1O?面AB1D1，滿足定理所需條件； （2）欲證A1C⊥面AB1D1，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證A1C與面AB1D1內(nèi)兩相交直線垂直根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知A1C⊥B1D1，同理可證A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，滿足定理所需條件． 【文江西鷹潭一中高一期末xx】14．已知為兩條不同的直線，為三個(gè)不同的平面，有下列命題：（1） ，則；（2） ，則；（3） ，則；（4） ，則；其中正確命題是 【知識(shí)點(diǎn)】線面平行、線面垂直的性質(zhì). 【答案解析】（2） 解析 ：解：對(duì)于（1），則或相交或異面；故（1）不正確； 對(duì)于（2），則，正確； 對(duì)于（3） ，則或，故（3）不正確； 對(duì)于（4），則或，故（4）不正確； 故答案為（2） 【思路點(diǎn)撥】利用線面間的位置關(guān)系以此判斷即可. 【文江西鷹潭一中高一期末xx】2．若直線∥平面，直線，則與的位置關(guān)系是 （ ） A． ∥ B．與異面 C．與相交 D．與沒(méi)有公共點(diǎn) 【知識(shí)點(diǎn)】線面的位置關(guān)系. 【答案解析】D 解析 ：解： 因?yàn)椤纹矫?，則與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，又因?yàn)橹本€，故與沒(méi)有公共點(diǎn)，故選D 【思路點(diǎn)撥】利用線面平行的定義知與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，再結(jié)合直線，可得結(jié)論. 【理浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】5．已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，則下列命題不正確的是( ▲ ) A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則 【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系. 【答案解析】B 解析 ：解：A選項(xiàng)正確，因?yàn)閮蓷l平行線中的一條垂直于某個(gè)平面，則另一條必垂直于這個(gè)平面； B選項(xiàng)不正確，因?yàn)橛删€面平行的性質(zhì)定理知，線平行于面，過(guò)線的面與已知面相交，則交線與已知線平行，由于m與β的位置關(guān)系不確定，故不能得出線線平行； C選項(xiàng)正確，兩個(gè)平面垂直于同一條直線，則此兩平面必平行； D選項(xiàng)正確，一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直． 綜上，B選項(xiàng)不正確 故選B. 【思路點(diǎn)撥】A選項(xiàng)由線面垂直的條件判斷；B選項(xiàng)由線線平行的條件判斷；C選項(xiàng)由面面平行的條件判斷；D選項(xiàng)由面面垂直的條件判斷． 【江西鷹潭一中高一期末xx】21．（本題14分）已知△BCD中，∠BCD=90，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60，E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且 （Ⅰ）求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）當(dāng)λ為何值時(shí)，平面BEF⊥平面ACD？ 【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)． 【答案解析】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ） 解析 ：解：證明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD， ∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．（3分） 又∵， ∴不論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF?平面BEF， ∴不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又∵平面BEF⊥平面ACD， ∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC．（9分） ∵BC=CD=1，∠BCD=90，∠ADB=60， ∴，（11分） ∴， 由AB2=AE?AC得，∴，（13分） 故當(dāng)時(shí)，平面BEF⊥平面ACD．（14分） 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由AB⊥平面BCD?AB⊥CD，又CD⊥BC?CD⊥平面ABC，再利用條件可得不論λ為何值，恒有EF∥CD?EF?平面BEF，就可得不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD?BE⊥平面ACD?BE⊥AC．故只須讓所求λ的值能證明BE⊥AC即可．在△ABC中求出λ的值． 【江西鷹潭一中高一期末xx】19．（本題12分）已知正方體，是底面對(duì)角線的交點(diǎn). 求證：（１）∥面；（2 ）面． 【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系． 【答案解析】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析. 解析 ：解：（1）連接A1C1，設(shè)A1C1∩B1D1=O1，連接AO1， ∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方體， ∴A1ACC1是平行四邊形，∴A1C1∥AC且A1C1=AC， 又O1，O分別是A1C1，AC的中點(diǎn)，∴O1C1∥AO且O1C1=AO， ∴AOC1O1是平行四邊形，∴C1O∥AO1，AO1?面AB1D1，C1O?面AB1D1， ∴C1O∥面AB1D1； （2）∵CC1⊥面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D!，又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1，同理可證A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，∴A1C⊥面AB1D1 【思路點(diǎn)撥】（1）欲證C1O∥面AB1D1，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證C1O與面AB1D1內(nèi)一直線平行，連接A1C1，設(shè)A1C1∩B1D1=O1，連接AO1，易得C1O∥AO1，AO1?面AB1D1，C1O?面AB1D1，滿足定理所需條件； （2）欲證A1C⊥面AB1D1，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證A1C與面AB1D1內(nèi)兩相交直線垂直根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知A1C⊥B1D1，同理可證A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，滿足定理所需條件． 【江西鷹潭一中高一期末xx】14.已知為兩條不同的直線，為三個(gè)不同的平面，有下列命題：（1） ，則；（2） ，則；（3） ，則；（4） ，則；其中正確命題是 【知識(shí)點(diǎn)】線面平行、線面垂直的性質(zhì). 【答案解析】（2） 解析 ：解：對(duì)于（1），則或相交或異面；故（1）不正確； 對(duì)于（2），則，正確； 對(duì)于（3） ，則或，故（3）不正確； 對(duì)于（4），則或，故（4）不正確； 故答案為（2） 【思路點(diǎn)撥】利用線面間的位置關(guān)系以此判斷即可. 【江西鷹潭一中高一期末xx】2．若直線∥平面，直線，則與的位置關(guān)系是 （ ） A． ∥ B．與異面 C．與相交 D．與沒(méi)有公共點(diǎn) 【知識(shí)點(diǎn)】線面的位置關(guān)系. 【答案解析】D 解析 ：解： 因?yàn)椤纹矫?，則與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，又因?yàn)橹本€，故與沒(méi)有公共點(diǎn)，故選D 【思路點(diǎn)撥】利用線面平行的定義知與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，再結(jié)合直線，可得結(jié)論. G6 三垂線定理 【文浙江紹興一中高二期末`xx】10．我們把底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是正三角形中心的三棱錐稱為正三棱錐?，F(xiàn)有一正三棱錐放置在平面上，已知它的底面邊長(zhǎng)為2，高為，在平面上，現(xiàn)讓它繞轉(zhuǎn)動(dòng)，并使它在某一時(shí)刻在平面上的射影是等腰直角三角形，則的取值范圍是（ ） A． B． C．. D． 【知識(shí)點(diǎn)】三垂線定理. 【答案解析】C解析 ：解： 圖(1)　 圖(2) 　　　 　　　　　　　 　圖(3) 如圖（1）當(dāng)繞BC旋轉(zhuǎn)至P點(diǎn)在底面的射影正好在BC中點(diǎn)D時(shí),假如正三棱錐在平面上的射影正好是等腰直角,連接DA.,設(shè)P點(diǎn)在底面ABC上的射影點(diǎn)為H,其在DA上，連接PH，PH=h為正三棱錐的高，其中=1， , ,, ，而當(dāng)時(shí)滿足題意，PH值再大就會(huì)使錐在底面的射影是四邊形了. 當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖（2）時(shí)，假如正好是三棱錐在底面的射影是等腰直角三角形且面垂直于底面，設(shè)點(diǎn)P在面的射影點(diǎn)為,取BC的中點(diǎn)為E，連接AE. .,設(shè)P點(diǎn)在底面中的射影為O,連接PO,設(shè)PO=h，在中， ，= 所以， 如果PO值再大，三棱錐在面內(nèi)的射影就又是四邊形了，再小可繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直到側(cè)面PBC為等腰直角三角形時(shí)就成了圖（3）狀態(tài)，也合題意，此時(shí)如圖E為BC中點(diǎn)，O仍為P在底面三角形ABC射影，連接AE.PE.PO, ,PE=1,則 ，所以 綜上，的取值范圍是. 故選：C． 【思路點(diǎn)撥】由題意可知變化過(guò)程中，圖形為三種情況，依次考慮即可. G7 棱柱與棱錐 【文廣東惠州一中高三一調(diào)xx】18．（本小題滿分14分） 如圖所示的多面體中，是菱形，是矩形，面,． （1）求證:. （2）若 【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的體積；平面與平面平行的性質(zhì)． 【答案解析】（1）見(jiàn)解析（2） 解析 ：解：1）由是菱形 ……3分 由是矩形 ………6分 （2）連接， 由是菱形， 由面, ，………10分 則為四棱錐的高 由是菱形，，則為等邊三角形， 由；則，， ………………………………………14分 【思路點(diǎn)撥】（1）證明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）找出棱錐的高以及底面積，然后利用棱錐的體積公式計(jì)算即可. 【文江西鷹潭一中高一期末xx】8．四面體中，若，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影點(diǎn)是的 （ ） A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心 【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征. 【答案解析】B 解析 ：解：設(shè)點(diǎn)P作平面ABC的射影O， 由題意：PA=PB=PC，因?yàn)镻O⊥底面ABC，所以△PAO≌△POB≌△POC 即：OA=OB=OC所以O(shè)為三角形的外心． 故選B. 【思路點(diǎn)撥】點(diǎn)P在平面ABC上的射為O，利用已知條件，證明OA=OB=OC，推出結(jié)論． 【文江西鷹潭一中高一期末xx】6．棱長(zhǎng)都是的三棱錐的體積為 ( )． A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的體積． 【答案解析】A 解析 ：解：如圖： ∵三棱錐的棱長(zhǎng)都為1，底面三角形為正三角形∴三棱錐的底面三角形的高 O為中心， 三棱錐的高， ∴三棱錐的體積 故選A． 【思路點(diǎn)撥】先求正三棱錐的底面三角形的高，然后求出三棱錐的高，即可求出體積. 【江西鷹潭一中高一期末xx】8．四面體中，若，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影點(diǎn)是三角形ABC的 （ ） A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心 【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征. 【答案解析】B 解析 ：解：設(shè)點(diǎn)P作平面ABC的射影O， 由題意：PA=PB=PC，因?yàn)镻O⊥底面ABC，所以△PAO≌△POB≌△POC 即：OA=OB=OC所以O(shè)為三角形的外心． 故選B. 【思路點(diǎn)撥】點(diǎn)P在平面ABC上的射為O，利用已知條件，證明OA=OB=OC，推出結(jié)論． 【江西鷹潭一中高一期末xx】7．棱長(zhǎng)都是的三棱錐的體積為 ( )． A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的體積． 【答案解析】A 解析 ：解：如圖： ∵三棱錐的棱長(zhǎng)都為1，底面三角形為正三角形∴三棱錐的底面三角形的高 O為中心， 三棱錐的高， ∴三棱錐的體積 故選A． 【思路點(diǎn)撥】先求正三棱錐的底面三角形的高，然后求出三棱錐的高，即可求出體積. G8 多面體與球 【浙江寧波高一期末xx】12.圓錐的母線長(zhǎng)為3，側(cè)面展開(kāi)圖的中心角為，那么它的表面積為_(kāi)__________. 【知識(shí)點(diǎn)】圓錐的體積公式；圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖；扇形的面積公式；圓的面積公式. 【答案解析】解析 ：解：側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的弧長(zhǎng)，所以底面圓的半徑，所以表面積為. 故答案為：. 【思路點(diǎn)撥】借助于公式求出側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的弧長(zhǎng)以及底面圓的半徑，然后代入公式求出結(jié)果. 【理浙江紹興一中高二期末xx】10．球O為邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球，P為球O的球面上動(dòng)點(diǎn)，M為B1C1中點(diǎn)，，則點(diǎn)P的軌跡周長(zhǎng)為 A ． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】截面與圓的位置關(guān)系；球面距離及相關(guān)計(jì)算． 【答案解析】D解析 ：解：由題意，取BB1的中點(diǎn)N，連接CN，則CN⊥BM， ∵正方體ABCD-A1B1C1D1，∴CN為DP在平面B1C1CB中的射影， ∴點(diǎn)P的軌跡為過(guò)D，C，N的平面與內(nèi)切球的交線， ∵正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為2，∴O到過(guò)D，C，N的平面的距離為， ∴截面圓的半徑為，∴點(diǎn)P的軌跡周長(zhǎng)為． 故選：D. 【思路點(diǎn)撥】取BB1的中點(diǎn)N，連接CN，確定點(diǎn)P的軌跡為過(guò)D，C，N的平面與內(nèi)切球的交線，求出截面圓的半徑，即可得出結(jié)論． 【文浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】13．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是__▲__ 【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)造法;球的表面積計(jì)算. 【答案解析】 解析 ：解：依題可以構(gòu)造一個(gè)正方體，其體對(duì)角線就是外接球的直徑. r=； 故答案為：． 【思路點(diǎn)撥】由于三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，將三棱錐擴(kuò)展為正方體，它的對(duì)角線是球的直徑，求解即可． G9　空間向量及運(yùn)算 G10 空間向量解決線面位置關(guān)系 【浙江寧波高一期末xx】10.如圖，三棱柱的各棱長(zhǎng)均為2，側(cè)棱與底面所成的角為，為銳角，且側(cè)面⊥底面，給出下列四個(gè)結(jié)論： A A1 C B C1 B1 （第10題圖） ①； ②； ③直線