2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.4平面向量的數(shù)量積教案 新人教A版必修4.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.4平面向量的數(shù)量積教案 新人教A版必修4 教學(xué)目的： 1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義； 2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律； 3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題； 4.掌握向量垂直的條件. 教學(xué)重點：平面向量的數(shù)量積定義 教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析： 本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認識.主要知識點：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運算律. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1． 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ. 2．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2 3．平面向量的坐標(biāo)表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得 把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作 4．平面向量的坐標(biāo)運算 若，，則，，. 若，，則 5．∥ ()的充要條件是x1y2-x2y1=0 6．線段的定比分點及λ P1， P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1， P2的任一點，存在實數(shù)λ， 使 =λ，λ叫做點P分所成的比，有三種情況： λ>0(內(nèi)分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 7. 定比分點坐標(biāo)公式： 若點P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，λ為實數(shù)，且＝λ，則點P的坐標(biāo)為（），我們稱λ為點P分所成的比. 8. 點P的位置與λ的范圍的關(guān)系： ①當(dāng)λ＞０時，與同向共線，這時稱點P為的內(nèi)分點. ②當(dāng)λ＜０()時，與反向共線，這時稱點P為的外分點. 9.線段定比分點坐標(biāo)公式的向量形式： 在平面內(nèi)任取一點O，設(shè)＝ａ，＝ｂ， 可得=. 10．力做的功：W = |F||s|cosq，q是F與s的夾角. 二、講解新課： 1．兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角. 說明：（1）當(dāng)θ＝０時，ａ與ｂ同向； （2）當(dāng)θ＝π時，ａ與ｂ反向； （3）當(dāng)θ＝時，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥ｂ； （4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍0≤q≤180 C 2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a||b|cosq， （０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別 （1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定. （2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab；今后要學(xué)到兩個向量的外積ab，而ab是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分.符號“ ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替. （3）在實數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因為其中cosq有可能為0. （4）已知實數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bc a=c.但是ab = bc a = c 如右圖：ab = |a||b|cosb = |b||OA|，bc = |b||c|cosa = |b||OA| ab = bc 但a c (5)在實數(shù)中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線. 3．“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0時投影為 |b|；當(dāng)q = 180時投影為 -|b|. 4．向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積. 5．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量. 1 ea = ae =|a|cosq 2 a^b ab = 0 3 當(dāng)a與b同向時，ab = |a||b|；當(dāng)a與b反向時，ab = -|a||b|. 特別的aa = |a|2或 4 cosq = 5 |ab| ≤ |a||b| 三、講解范例： 例1 已知|a|=5， |b|=4， a與b的夾角θ=120o，求ab. 例2 已知|a|=6， |b|=4， a與b的夾角為60o求(a+2b)(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直. 例4 判斷正誤，并簡要說明理由. ①ａ0＝0；②0ａ＝０；③0－＝；④｜ａｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，則對任一非零ｂ有ａｂ≠０；⑥ａｂ＝０，則ａ與ｂ中至少有一個為0；⑦對任意向量ａ，ｂ，с都有（ａｂ）с＝ａ（ｂс）；⑧ａ與ｂ是兩個單位向量，則ａ２＝ｂ２. 解：上述8個命題中只有③⑧正確； 對于①：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，應(yīng)有0ａ＝０；對于②：應(yīng)有０ａ＝0； 對于④：由數(shù)量積定義有｜ａｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，這里θ是ａ與ｂ的夾角，只有θ＝０或θ＝π時，才有｜ａｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； 對于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａｂ＝０； 對于⑥：由ａｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 對于⑦：若ａ與с共線，記ａ＝λс. 則ａｂ＝（λс）ｂ＝λ（сｂ）＝λ（ｂс）， ∴（ａｂ）с＝λ（ｂс）с＝（ｂс）λс＝（ｂс）ａ 若ａ與с不共線，則(ａｂ)с≠（ｂс）ａ. 評述：這一類型題，要求學(xué)生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律. 例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，當(dāng)①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ與ｂ的夾角是60時，分別求ａｂ. 解：①當(dāng)ａ∥ｂ時，若ａ與ｂ同向，則它們的夾角θ＝０， ∴ａｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos0＝361＝18； 若ａ與ｂ反向，則它們的夾角θ＝180， ∴ａｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180＝36（-1）＝－18； ②當(dāng)ａ⊥ｂ時，它們的夾角θ＝90， ∴ａｂ＝０； ③當(dāng)ａ與ｂ的夾角是60時，有 ａｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60＝36＝9 評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是［0，180］，因此，當(dāng)ａ∥ｂ時，有0或180兩種可能. 四、課堂練習(xí)： 1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是（ ） A.60 B.30 C.135 D.４５ 2.已知|a|=2，|b|=1，a與b之間的夾角為，那么向量m=a-4b的模為（ ） A.2 B.2 C.6 D.12 3.已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(a-b)垂直的（ ） A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 4.已知向量a、b的夾角為，|a|=2，|b|=1，則|a+b||a-b|= . 5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么ab= . 6.已知a⊥b、c與a、b的夾角均為60，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，則(a+2b-c)２＝______. 7.已知|a|=1，|b|=，(1)若a∥b，求ab；(2)若a、b的夾角為６０，求|a+b|；(3)若a-b與a垂直，求a與b的夾角. 8.設(shè)m、n是兩個單位向量，其夾角為６０，求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角. 9.對于兩個非零向量a、b，求使|a+tb|最小時的t值，并求此時b與a+tb的夾角. 五、小結(jié)（略） 六、課后作業(yè)（略） 七、教學(xué)后記： 第8課時 二、平面向量數(shù)量積的運算律 教學(xué)目的： 1.掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律； 2.能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關(guān)問題； 3.掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題. 教學(xué)重點：平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律. 教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析： 啟發(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì). 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1．兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角. 2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a||b|cosq， （０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 3．“投影”的概念：作圖 C 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0時投影為 |b|；當(dāng)q = 180時投影為 -|b|. 4．向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積. 5．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量. 1 ea = ae =|a|cosq； 2 a^b ab = 0 3 當(dāng)a與b同向時，ab = |a||b|；當(dāng)a與b反向時，ab = -|a||b|. 特別的aa = |a|2或 4cosq = ；5|ab| ≤ |a||b| 二、講解新課： 平面向量數(shù)量積的運算律 1．交換律：a b = b a 證：設(shè)a，b夾角為q，則a b = |a||b|cosq，b a = |b||a|cosq ∴a b = b a 2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(a)b =(ab) = a(b) 證：若> 0，(a)b =|a||b|cosq， (ab) =|a||b|cosq，a(b) =|a||b|cosq， 若< 0，(a)b =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq，(ab) =|a||b|cosq， a(b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq. 3．分配律：(a + b)c = ac + bc 在平面內(nèi)取一點O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 ∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， ∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc 說明：（1）一般地，(ａｂ)с≠ａ（ｂс） （2）ａс＝ｂс，с≠0ａ＝ｂ （3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａс＋ａｄ＋ｂс＋ｂｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２ 三、講解范例： 例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角. 解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 ① (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 ② 兩式相減：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2 設(shè)a、b的夾角為q，則cosq = ∴q = 60 例2 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和. 解：如圖：平行四邊形ABCD中，，，= ∴||2= 而= ， ∴||2= ∴||2 + ||2 = 2= 例3 四邊形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａｂ＝ｂс＝сｄ＝ｄａ，試問四邊形ABCD是什么圖形? 分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量. 解：四邊形ABCD是矩形，這是因為： 一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２ 即｜ａ｜２＋２ａｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２сｄ＋｜ｄ｜２ 由于ａｂ＝сｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２② 由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四邊形ABCD兩組對邊分別相等. ∴四邊形ABCD是平行四邊形 另一方面，由ａｂ＝ｂс，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四邊形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ(2ａ)＝０，即ａｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC. 綜上所述，四邊形ABCD是矩形. 評述：(1)在四邊形中，，，，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用； (2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系. 四、課堂練習(xí)： 1.下列敘述不正確的是（ ） A.向量的數(shù)量積滿足交換律 B.向量的數(shù)量積滿足分配律 C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律 D.ab是一個實數(shù) 2.已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為６０，則(a+2b)(a-3b)等于（ ） A.72 B.-72 C.36 D.-36 3.|a|=3，|b|=4，向量a+b與a-b的位置關(guān)系為（ ） A.平行 B.垂直 C.夾角為 D.不平行也不垂直 4.已知|a|=3，|b|=4，且a與b的夾角為150，則(a+b)２＝ . 5.已知|a|=2，|b|=5，ab=-3，則|a+b|=______，|a-b|= . 6.設(shè)|a|=3，|b|=5，且a+λb與a－λb垂直，則λ＝ . 五、小結(jié)（略） 六、課后作業(yè)（略） 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記： 第9課時 三、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角 教學(xué)目的： ⑴要求學(xué)生掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 ⑵掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件，及平面內(nèi)兩點間的距離公式. ⑶能用所學(xué)知識解決有關(guān)綜合問題. 教學(xué)重點：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運用 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實物投影儀 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1．兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角. C 2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a||b|cosq， （０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 3．向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積. 4．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量. 1 ea = ae =|a|cosq； 2 a^b ab = 0 3 當(dāng)a與b同向時，ab = |a||b|；當(dāng)a與b反向時，ab = -|a||b|. 特別的aa = |a|2或 4 cosq = ；5|ab| ≤ |a||b| 5．平面向量數(shù)量積的運算律 交換律：a b = b a 數(shù)乘結(jié)合律：(a)b =(ab) = a (b) 分配律：(a + b)c = ac + bc 二、講解新課： ⒈ 平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 已知兩個非零向量，，試用和的坐標(biāo)表示. 設(shè)是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么， 所以 又，，，所以 這就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.即 2. 平面內(nèi)兩點間的距離公式 一、 設(shè)，則或. （2）如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點間的距離公式) 二、 向量垂直的判定 設(shè)，，則 三、 兩向量夾角的余弦（） cosq = 四、 講解范例： 五、 設(shè)a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求ab及a、b間的夾角θ(精確到1o) 例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，試判斷△ABC的形狀，并給出證明. 例3 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求滿足xa = 9與xb = -4的向量x. 解：設(shè)x = (t， s)， 由 ∴x = (2， -3) 例4 已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），則a與b的夾角是多少? 分析：為求a與b夾角，需先求ab及｜a｜｜b｜，再結(jié)合夾角θ的范圍確定其值. 解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１） 有ab＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２． 記a與b的夾角為θ，則ｃｏｓθ＝ 又∵０≤θ≤π，∴θ＝ 評述：已知三角形函數(shù)值求角時，應(yīng)注重角的范圍的確定. 例5 如圖，以原點和A(5， 2)為頂點作等腰直角△OAB，使B = 90，求點B和向量的坐標(biāo). 解：設(shè)B點坐標(biāo)(x， y)，則= (x， y)，= (x-5， y-2) ∵^ ∴x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29 由 ∴B點坐標(biāo)或；=或 例6 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一個內(nèi)角為直角， 求k值. 解：當(dāng)A = 90時，= 0，∴21 +3k = 0 ∴k = 當(dāng)B = 90時，= 0，=-= (1-2， k-3) = (-1， k-3) ∴2(-1) +3(k-3) = 0 ∴k = 當(dāng)C = 90時，= 0，∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k = 六、 課堂練習(xí)： 1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，則3|a|２－４ab＝（ ） A.23 B. 57 C.63 D.83 2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，則△ABC為（ ） A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不等邊三角形 3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的單位向量，則b等于（ ） A.或 B.或 C.或 D.或 4.a=(2，3)，b=(-2，4)，則(a+b)(a-b)= . 5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若點P(x，-)在線段AB的中垂線上，則x= . 6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，則a與b的夾角為 . 七、 小結(jié)（略） 八、 課后作業(yè)（略） 九、 板書設(shè)計（略） 十、 課后記：