《2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 理 新人教A版 .DOC》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 理 新人教A版 .DOC(17頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 理 新人教A版
xx高考會這樣考 1.考查三角函數(shù)的圖象:五點法作簡圖、圖象變換、圖象的解析式;2.考查三角函數(shù)的性質(zhì):值域或最值,單調(diào)區(qū)間、對稱性等;3.考查數(shù)形結(jié)合思想.
復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.會作三角函數(shù)的圖象,通過圖象研究三角函數(shù)性質(zhì);2.對三角函數(shù)進行恒等變形,然后討論圖象、性質(zhì);3.注重函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.
1. “五點法”作圖原理
在確定正弦函數(shù)y=sin x在[0,2π]上的圖象形狀時,起關(guān)鍵作用的五個點是(0,0)、、(π,0)、、(2π,0).余弦函數(shù)呢?
2. 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù)
性質(zhì)
y=sin x
y=cos x
y=tan x
定義域
R
R
{x|x≠kπ+,k∈Z}
圖象
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
對稱性
對稱軸:x=kπ+(k∈Z);對稱中心:(kπ,0)(k∈Z)
對稱軸:x=kπ(k∈Z);對稱中心:(kπ+,0) (k∈Z)
對稱中心:(k∈Z)
周期
2π
2π
π
單調(diào)性
單調(diào)增區(qū)間[2kπ-,2kπ+](k∈Z);
單調(diào)減區(qū)間[2kπ+,2kπ+] (k∈Z)
單調(diào)增區(qū)間[2kπ-π,2kπ] (k∈Z);
單調(diào)減區(qū)間[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
單調(diào)增區(qū)間(kπ-,kπ+)(k∈Z)
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
[難點正本 疑點清源]
1. 函數(shù)的周期性
若f(ωx+φ+T)=f(ωx+φ) (ω>0),常數(shù)T不能說是函數(shù)f(ωx+φ)的周期.因為f(ωx+φ+T)=f,即自變量由x增加到x+,是函數(shù)的周期.
2. 求三角函數(shù)值域(最值)的方法
(1)利用sin x、cos x的有界性;
(2)形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性寫出函數(shù)的值域;
(3)換元法:把sin x或cos x看作一個整體,可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問題.
1. 設(shè)點P是函數(shù)f(x)=sin ωx (ω≠0)的圖象C的一個對稱中心,若點P到圖象C的對稱軸的距離的最小值是,則f(x)的最小正周期是________.
答案 π
解析 由正弦函數(shù)的圖象知對稱中心與對稱軸的距離的最小值為最小正周期的,故f(x)的最小正周期為T=4=π.
2. 函數(shù)y=2-3cos的最大值為______,此時x=______________.
答案 5 π+2kπ,k∈Z
解析 當cos=-1時,函數(shù)y=2-3cos取得最大值5,此時x+=π+2kπ (k∈Z),從而x=π+2kπ,k∈Z.
3. (xx福建)函數(shù)f(x)=sin的圖象的一條對稱軸是 ( )
A.x= B.x= C.x=- D.x=-
答案 C
解析 方法一 ∵正弦函數(shù)圖象的對稱軸過圖象的最高點或最低點,
故令x-=kπ+,k∈Z,∴x=kπ+,k∈Z.
取k=-1,則x=-.
方法二 用驗證法.
x=時,y=sin=0,不合題意,排除A;
x=時,y=sin=,不合題意,排除B;
x=-時,y=sin=-1,符合題意,C項正確;
x=-時,y=sin=-,不合題意,故D項也不正確.
4.函數(shù)y=tan的定義域為( )
A.{x|x≠kπ-,k∈Z} B.{x|x≠2kπ-,k∈Z}
C.{x|x≠kπ+,k∈Z} D.{x|x≠2kπ+,k∈Z}
答案 A
解析 令-x≠kπ+,k∈Z,
∴x≠kπ-,k∈Z.
5. 給出下列四個命題,其中不正確的命題為 ( )
①若cos α=cos β,則α-β=2kπ,k∈Z;
②函數(shù)y=2cos的圖象關(guān)于x=對稱;
③函數(shù)y=cos(sin x)(x∈R)為偶函數(shù);
④函數(shù)y=sin|x|是周期函數(shù),且周期為2π.
A.①② B.①④
C.①②③ D.①②④
答案 D
解析 命題①:若α=-β,則cos α=cos β,假命題;命題②:x=,cos=cos =0,故x=不是y=2cos的對稱軸;命題④:函數(shù)y=sin|x|不是周期函數(shù).
題型一 三角函數(shù)的定義域、值域問題
例1 (1)求函數(shù)y=lg sin 2x+的定義域;
(2)求函數(shù)y=cos2x+sin x 的最大值與最小值.
思維啟迪:求函數(shù)的定義域可利用三角函數(shù)的圖象或數(shù)軸;求函數(shù)值域時要利用正弦函數(shù)的值域或化為二次函數(shù).
解 (1)由,
得
∴-3≤x<-或0
0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以通過解不等式的方法去解答.列不等式的原則:①把“ωx+φ (ω>0)”視為一個“整體”;②A>0 (A<0)時,所列不等式的方向與y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R)的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等式方向相同(反).
(2)對于y=Atan(ωx+φ) (A、ω、φ為常數(shù)),其周期T=,單調(diào)區(qū)間利用ωx+φ∈,解出x的取值范圍,即為其單調(diào)區(qū)間.對于復(fù)合函數(shù)y=f(v),v=φ(x),其單調(diào)性的判定方法:若y=f(v)和v=φ(x)同為增(減)函數(shù)時,y=f(φ(x))為增函數(shù);若y=f(v)和v=φ(x)一增一減時,y=f(φ(x))為減函數(shù).
(3)求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時,通常要畫出圖象,結(jié)合圖象判定.
求函數(shù)y=sin+cos的周期、單調(diào)區(qū)間及最大、最小值.
解 ∵+=,
∴cos=cos
=cos=sin.
∴y=2sin,周期T==.
當-+2kπ≤4x+≤+2kπ (k∈Z)時,函數(shù)單調(diào)遞增,
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為 (k∈Z).
當+2kπ≤4x+≤+2kπ (k∈Z)時,函數(shù)單調(diào)遞減,
∴函數(shù)的遞減區(qū)間為(k∈Z).
當x=+ (k∈Z)時,ymax=2;
當x=-+ (k∈Z)時,ymin=-2.
題型三 三角函數(shù)的對稱性與奇偶性
例3 (1)已知f(x)=sin x+cos x(x∈R),函數(shù)y=f(x+φ) 的圖象關(guān)于直線x=0對稱,則φ的值為________.
(2)如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關(guān)于點中心對稱,那么|φ|的最小值為( )
A. B. C. D.
答案 (1) (2)A
解析 (1)f(x)=2sin,
y=f(x+φ)=2sin圖象關(guān)于x=0對稱,
即f(x+φ)為偶函數(shù).
∴+φ=+kπ,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z,
又∵|φ|≤,∴φ=.
(2)由題意得3cos=3cos
=3cos=0,
∴+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ-,k∈Z,
取k=0,得|φ|的最小值為.故選A.
探究提高 若f(x)=Asin(ωx+φ)為偶函數(shù),則當x=0時,f(x)取得最大值或最小值.
若f(x)=Asin(ωx+φ)為奇函數(shù),則當x=0時,f(x)=0.
如果求f(x)的對稱軸,只需令ωx+φ=+kπ (k∈Z),求x.
如果求f(x)的對稱中心的橫坐標,只需令ωx+φ=kπ (k∈Z)即可.
(1)定義運算=ad-bc,則函數(shù)f(x)=的圖象的一條對稱軸方程是 ( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=
(2)若函數(shù)f(x)=asin ωx+bcos ωx (0<ω<5,ab≠0)的圖象的一條對稱軸方程是x=,函數(shù)f′(x)的圖象的一個對稱中心是,則f(x)的最小正周期是________.
答案 (1)A (2)π
解析 (1)f(x)==3cos x-sin x
=2cos.
所以當x=時,f(x)=2cos=-2.
(2)由題設(shè),有f=,
即(a+b)=,由此得到a=b.
又f′=0,∴aω=0,
從而tan =1,=kπ+,k∈Z,
即ω=8k+2,k∈Z,而0<ω<5,∴ω=2,
于是f(x)=a(sin 2x+cos 2x)=asin,
故f(x)的最小正周期是π.
方程思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用
典例:(12分)已知函數(shù)f(x)=2asin+b的定義域為,函數(shù)的最大值為1,最小值為-5,求a和b的值.
審題視角 (1)求出2x-的范圍,求出sin的值域.(2)系數(shù)a的正、負影響著f(x)的值,因而要分a>0,a<0兩種情況討論.(3)根據(jù)a>0或a<0求f(x)的最值,列方程組求解.
規(guī)范解答
解 ∵0≤x≤,∴-≤2x-≤π,
∴-≤sin≤1,[3分]
若a>0,則,
解得;[7分]
若a<0,則,
解得.[11分]
綜上可知,a=12-6,b=-23+12或a=-12+6,
b=19-12.[12分]
溫馨提醒 (1)對此類問題的解決,首先利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求出y=Aasin(ωx+φ)或y=Aacos(ωx+φ)的最值,但要注意對a的正負進行討論,以便確定是最大值還是最小值.(2)再由已知列方程求解.(3)本題的易錯點是忽視對參數(shù)a>0或a<0的分類討論,導(dǎo)致漏解.
方法與技巧
1.利用函數(shù)的有界性(-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1),求三角函數(shù)的值域(最值).
2.利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域或最值.
3.利用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(要注意x系數(shù)的正負號).
失誤與防范
1.閉區(qū)間上最值或值域問題,首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性,含參數(shù)的最值問題,要討論參數(shù)對最值的影響.
2.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,應(yīng)先把函數(shù)式化成形如y=Asin(ωx+φ) (ω>0)的形式,再根據(jù)基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出x所在的區(qū)間.應(yīng)特別注意,考慮問題應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)考慮.注意區(qū)分下列兩題的單調(diào)增區(qū)間的不同:
(1)y=sin;(2)y=sin.
3.利用換元法求三角函數(shù)最值時注意三角函數(shù)的有界性,如:y=sin2x-4sin x+5,令t=sin x(|t|≤1),則y=(t-2)2+1≥1,解法錯誤.
A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時間:35分鐘,滿分:57分)
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1. 函數(shù)y=的定義域為 ( )
A.
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.R
答案 C
解析 由題意得cos x≥,
即2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,
故函數(shù)定義域為,k∈Z.
2. y=sin的圖象的一個對稱中心是 ( )
A.(-π,0) B.
C. D.
答案 B
解析 ∵y=sin x的對稱中心為(kπ,0) (k∈Z),
∴令x-=kπ (k∈Z),x=kπ+ (k∈Z),
由k=-1,x=-得y=sin的一個對稱中心是.
3. (xx山東)若函數(shù)f(x)=sin ωx (ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則ω等于 ( )
A. B. C.2 D.3
答案 B
解析 ∵f(x)=sin ωx(ω>0)過原點,
∴當0≤ωx≤,即0≤x≤時,y=sin ωx是增函數(shù);
當≤ωx≤,即≤x≤時,y=sin ωx是減函數(shù).
由f(x)=sin ωx (ω>0)在上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減知,=,∴ω=.
4. 函數(shù)f(x)=cos 2x+sin是 ( )
A.非奇非偶函數(shù)
B.僅有最小值的奇函數(shù)
C.僅有最大值的偶函數(shù)
D.有最大值又有最小值的偶函數(shù)
答案 D
解析 f(x)=cos 2x+sin=2cos2x-1+cos x=22-.顯然有最大值又有最小值,而且在R上有f(-x)=f(x),所以正確答案為D.
二、填空題(每小題5分,共15分)
5. 函數(shù)y=lg(sin x)+的定義域為____________________.
答案 (k∈Z)
解析 要使函數(shù)有意義必須有,
即,解得(k∈Z),
∴2kπ0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的圖象的對稱軸完全相同.若x∈[0,],則f(x)的取值范圍是________.
答案 [-,3]
解析 由對稱軸完全相同知兩函數(shù)周期相同,
∴ω=2,∴f(x)=3sin(2x-).
由x∈[0,],得-≤2x-≤π,
∴-≤f(x)≤3.
7. 函數(shù)f(x)=2sin ωx(ω>0)在上單調(diào)遞增,且在這個區(qū)間上的最大值是,那么ω=________.
答案
解析 因為f(x)=2sin ωx (ω>0)在上單調(diào)遞增,且在這個區(qū)間上的最大值是,所以2sin ω=,且0<ω<,因此ω=.
三、解答題(共22分)
8. (10分)設(shè)函數(shù)f(x)=sin (-π<φ<0),y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=.
(1)求φ;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
解 (1)令2+φ=kπ+,k∈Z,
∴φ=kπ+,k∈Z,
又-π<φ<0,則-0)的圖象向右平移個單位長度,所得圖象經(jīng)過點,則ω的最小值是 ( )
A. B.1 C. D.2
答案 D
解析 根據(jù)題意平移后函數(shù)的解析式為y=sin ω,
將代入得sin =0,則ω=2k,k∈Z,且ω>0,
故ω的最小值為2.
2. (xx上海)若Sn=sin +sin +…+sin (n∈N*),則在S1,S2,…,S100中,正數(shù)的個數(shù)是 ( )
A.16 B.72 C.86 D.100
答案 C
解析 易知S1>0,S2>0,S3>0,S4>0,S5>0,S6>0,S7>0.
S8=sin +sin +…+sin +sin
=sin +sin +…+sin >0,
S9=sin +sin +…+sin >0,
S10=sin +…+sin >0,
S11=sin +sin +sin >0,
S12=sin +sin >0,
S13=sin =0,
S14=sin +sin =0,
∴S1,S2,…,S100中,
S13=0,S14=0,S27=0,S28=0,S41=0,S42=0,S55=0,
S56=0,S69=0,S70=0,S83=0,S84=0,S97=0,S98=0,共14個.
∴在S1,S2,…,S100中,正數(shù)的個數(shù)是100-14=86(個).
3. 已知函數(shù)f(x)=2sin ωx(ω>0)在區(qū)間上的最小值是-2,則ω的最小值等于( )
A. B. C.2 D.3
答案 B
解析 ∵f(x)=2sin ωx (ω>0)的最小值是-2,
∴x=-,k∈Z,∴-≤-≤,k∈Z,
∴ω≥-6k+且ω≥8k-2,k∈Z,∴ωmin=,故選B.
二、填空題(每小題5分,共15分)
4. 函數(shù)y=2sin(3x+φ) (|φ|<)的一條對稱軸為x=,則φ=________.
答案
解析 由題意得3+φ=kπ+,k∈Z,
∴φ=kπ+,k∈Z,又|φ|<,∴φ=.
5. 函數(shù)y= (0cos x時,f(x)=sin x.
給出以下結(jié)論:
①f(x)是周期函數(shù);
②f(x)的最小值為-1;
③當且僅當x=2kπ (k∈Z)時,f(x)取得最小值;
④當且僅當2kπ-0;
⑤f(x)的圖象上相鄰兩個最低點的距離是2π.
其中正確的結(jié)論序號是________.
答案?、佗堍?
解析 易知函數(shù)f(x)是周期為2π的周期函數(shù).
函數(shù)f(x)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示.
由圖象可得,f(x)的最小值為-,當且僅當x=2kπ+ (k∈Z)時,f(x)取得最小值;當且僅當2kπ-0;f(x)的圖象上相鄰兩個最低點的距離是2π.所以正確的結(jié)論的序號是①④⑤.
三、解答題
7. (13分)已知a>0,函數(shù)f(x)=-2asin+2a+b,當x∈時,-5≤f(x)≤1.
(1)求常數(shù)a,b的值;
(2)設(shè)g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間.
解 (1)∵x∈,∴2x+∈.
∴sin∈,
∴-2asin∈[-2a,a].
∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1,
∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.
(2)由(1)得,f(x)=-4sin-1,
g(x)=f=-4sin-1
=4sin-1,
又由lg g(x)>0,得g(x)>1,
∴4sin-1>1,∴sin>,
∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,
其中當2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z時,g(x)單調(diào)遞增,即kπ
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)
4.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案
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2019
2020
年高
數(shù)學(xué)
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4.3
三角函數(shù)
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