2019-2020年高中數(shù)學(xué) 直線與圓錐曲線 板塊一 直線與橢圓(2)完整講義(學(xué)生版).doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 直線與圓錐曲線 板塊一 直線與橢圓(2)完整講義(學(xué)生版) 1.橢圓的定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫做橢圓. 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距. 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: ①,焦點(diǎn)是,,且. ②,焦點(diǎn)是,,且. 3.橢圓的幾何性質(zhì)(用標(biāo)準(zhǔn)方程研究): ⑴范圍:,; ⑵對(duì)稱性:以軸、軸為對(duì)稱軸,以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心,橢圓的對(duì)稱中心又叫做橢圓的中心; ⑶橢圓的頂點(diǎn):橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn),如圖中的; ⑷長(zhǎng)軸與短軸:焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸上,兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段稱為橢圓的長(zhǎng)軸,如圖中線段的;另一對(duì)頂點(diǎn)間的線段叫做橢圓的短軸,如圖中的線段. ⑸橢圓的離心率:,焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比,,越趨近于,橢圓越扁; 反之,越趨近于,橢圓越趨近于圓. 4.直線:與圓錐曲線:的位置關(guān)系: 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為:相交、相切、相離.對(duì)于拋物線來(lái)說(shuō),平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn),但并不是相切;對(duì)于雙曲線來(lái)說(shuō),平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn),但并不相切.這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為: 設(shè)直線:,圓錐曲線:,由 消去(或消去)得:. 若,,相交;相離;相切. 若,得到一個(gè)一次方程:①為雙曲線,則與雙曲線的漸近線平行;②為拋物線,則與拋物線的對(duì)稱軸平行. 因此直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件,但不是充分條件. 5.連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦. 求弦長(zhǎng)的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立,求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo),然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求; 另外一種求法是如果直線的斜率為,被圓錐曲線截得弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為,則弦長(zhǎng)公式為. 兩根差公式: 如果滿足一元二次方程:, 則(). 6.直線與圓錐曲線問(wèn)題的常用解題思路有: ①?gòu)姆匠痰挠^點(diǎn)出發(fā),利用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)進(jìn)行討論,這是用代數(shù)方法來(lái)解決幾何問(wèn)題的基礎(chǔ).要重視通過(guò)設(shè)而不求與弦長(zhǎng)公式簡(jiǎn)化計(jì)算,并同時(shí)注意在適當(dāng)時(shí)利用圖形的平面幾何性質(zhì). ②以向量為工具,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決與中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、角度相關(guān)的問(wèn)題. 典例分析 【例1】 設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn),且左焦點(diǎn)為 ⑴求橢圓的方程; ⑵當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí),在線段上取點(diǎn),滿足,證明:點(diǎn)總在某定直線上. 【例2】 已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切. ⑴求橢圓的方程; ⑵設(shè),,是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn),連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn),證明直線與軸相交于定點(diǎn); ⑶在⑵的條件下,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),求的取值范圍. 【例3】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為,最小值為. ⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; ⑵若直線與橢圓相交于,兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn)),且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). 【例4】 在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到點(diǎn),的距離之和是,點(diǎn)的軌跡是與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn),不過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和. ⑴求軌跡的方程; ⑵當(dāng)時(shí),求與的關(guān)系,并證明直線過(guò)定點(diǎn). 【例5】 在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到點(diǎn),的距離之和是,點(diǎn)的軌跡是,直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和. ⑴求軌跡的方程; ⑵是否存在常數(shù),?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【例6】 設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),且離心率,且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn). ⑴求橢圓的方程; ⑵是否存在直線,使得.若存在,求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由. ⑶若是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦,,求證:為定值. 【例7】 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為、,且四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形. ⑴求橢圓的方程; ⑵若、分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,連結(jié),交橢圓于點(diǎn). 證明:為定值. ⑶在⑵的條件下,試問(wèn)軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)直線、的交點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由. 【例8】 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,斜率為且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn),與共線. ⑴求橢圓的離心率; ⑵設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn),且,證明為定值. 【例9】 已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,經(jīng)過(guò)點(diǎn)且離心率.過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓相交于,兩點(diǎn). ⑴求橢圓的方程; ⑵在軸上是否存在點(diǎn),使為常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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