2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 第八章 8.6 圓錐曲線的應(yīng)用教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 第八章 8.6 圓錐曲線的應(yīng)用教案 新人教A版 鞏固夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 解析幾何在日常生活中應(yīng)用廣泛,如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決應(yīng)用題的關(guān)鍵,而建立數(shù)學(xué)模型是實(shí)現(xiàn)應(yīng)用問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的常用方法.本節(jié)主要通過圓錐曲線在實(shí)際問題中的應(yīng)用,說明數(shù)學(xué)建模的方法,理解函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想. 二、點(diǎn)擊雙基 1.一拋物線形拱橋,當(dāng)水面離橋頂2 m時(shí),水面寬4 m,若水面下降1 m時(shí),則水面寬為( ) A. m B.2 m C.4.5 m D.9 m 解析:建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),由題意知,拋物線過點(diǎn)(2,-2),∴4=2p2. ∴p=1.∴x2=-2y. 當(dāng)y0=-3時(shí),得x02=6. ∴水面寬為2|x0|=2. 答案:B 2.某拋物線形拱橋的跨度是20 m,拱高是4 m,在建橋時(shí)每隔4 m需用一柱支撐,其中最長的支柱是( ) A.4 m B.3.84 m C.1.48 m D.2.92 m 解析:建立適當(dāng)坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),由題意知其過定點(diǎn)(10,-4),代入x2=-2py,得p=. ∴x2=-25y.當(dāng)x0=2時(shí),y0=, ∴最長支柱長為4-|y0|=4-=3.84(m). 答案:B 3.天安門廣場,旗桿比華表高,在地面上,觀察它們頂端的仰角都相等的各點(diǎn)所在的曲線是( ) A.橢圓 B.圓 C.雙曲線的一支 D.拋物線 解析:設(shè)旗桿高為m,華表高為n,m>n.旗桿與華表的距離為2a,以旗桿與地面的交點(diǎn)和華表與地面的交點(diǎn)的連線段所在直線為x軸、垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)曲線上任一點(diǎn)M(x,y),由題意=,即(m2-n2)x2+(m2-n2)y2-2a(m2-n2)x+(m2-n2)a2=0. 答案:B 4.探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分,光源在拋物線的焦點(diǎn),已知燈口直徑是60 cm,燈深40 cm,則光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離是________________ cm. 解析:設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),點(diǎn)(40,30)在拋物線y2=2px上, ∴900=2p40. ∴p=. ∴=.因此,光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為 cm. 答案: 5.在相距1 400 m的A、B兩哨所,聽到炮彈爆炸聲音的時(shí)間相差3 s,已知聲速340 m/s.炮彈爆炸點(diǎn)所在曲線的方程為______________________________________________________. 解析:設(shè)M(x,y)為曲線上任一點(diǎn),則|MA|-|MB|=3403=1 020<1 400. ∴M點(diǎn)軌跡為雙曲線,且a==510,c==700. ∴b2=c2-a2=(c+a)(c-a)=1 210190. ∴M點(diǎn)軌跡方程為-=1. 答案:-=1 誘思實(shí)例點(diǎn)撥 【例1】 設(shè)有一顆彗星沿一橢圓軌道繞地球運(yùn)行,地球恰好位于橢圓軌道的焦點(diǎn)處,當(dāng)此彗星離地球相距m萬千米和m萬千米時(shí),經(jīng)過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角分別為和,求該彗星與地球的最近距離. 剖析:本題的實(shí)際意義是求橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,一般的思路:由直線與橢圓的關(guān)系,列方程組解之;或利用定義法抓住橢圓的第二定義求解.同時(shí),還要注意結(jié)合橢圓的幾何意義進(jìn)行思考.仔細(xì)分析題意,由橢圓的幾何意義可知:只有當(dāng)該彗星運(yùn)行到橢圓的較近頂點(diǎn)處時(shí),彗星與地球的距離才達(dá)到最小值即為a-c,這樣把問題就轉(zhuǎn)化為求a、c或a-c. 解:建立如下圖所示直角坐標(biāo)系,設(shè)地球位于焦點(diǎn)F(-c,0)處,橢圓的方程為+=1, 當(dāng)過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角為π3時(shí),由橢圓的幾何意義可知,彗星A只能滿足∠xFA=(或∠xFA′=). 作AB⊥Ox于B,則|FB|=|FA|=m, 故由橢圓的第二定義可得 兩式相減得m=m,∴a=2c. 代入①,得m=(4c-c)=c, ∴c=m. ∴a-c=c=m. 答:彗星與地球的最近距離為m萬千米. 講評:(1)在天體運(yùn)行中,彗星繞恒星運(yùn)行的軌道一般都是橢圓,而恒星正是它的一個(gè)焦點(diǎn),該橢圓的兩個(gè)端點(diǎn),一個(gè)是近地點(diǎn),另一個(gè)則是遠(yuǎn)地點(diǎn),這兩點(diǎn)到恒星的距離一個(gè)是a-c,另一個(gè)是a+c. (2)以上給出的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的,以數(shù)學(xué)概念為根基充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.另外,數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的解決在數(shù)學(xué)化的過程中也要時(shí)刻不忘審題,善于挖掘隱含條件,有意識地訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維品質(zhì). 【例2】 某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形的坑,挖出的土只能沿道路AP、BP運(yùn)到P處(如圖所示).已知PA=100 m,PB=150 m,∠APB=60,試說明怎樣運(yùn)土最省工. 剖析:首先抽象為數(shù)學(xué)問題,半圓中的點(diǎn)可分為三類:(1)沿AP到P較近;(2)沿BP到P較近;(3)沿AP、BP到P同樣遠(yuǎn). 顯然,第三類點(diǎn)是第一、二類的分界點(diǎn),設(shè)M是分界線上的任意一點(diǎn).則有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|. 于是|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50. 從而發(fā)現(xiàn)第三類點(diǎn)M滿足性質(zhì):點(diǎn)M到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之差等于常數(shù)50,由雙曲線定義知,點(diǎn)M在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上,故問題轉(zhuǎn)化為求此雙曲線的方程. 解:以AB所在直線為x軸,線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xOy,設(shè)M(x,y)是沿AP、BP運(yùn)土同樣遠(yuǎn)的點(diǎn),則 |MA|+|PA|=|MB|+|PB|, ∴|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50. 在△PAB中,由余弦定理得|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|c(diǎn)os60=17 500, 且50<|AB|.由雙曲線定義知M點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上,設(shè)此雙曲線方程為-=1(a>0,b>0). ∵ 解之得 ∴M點(diǎn)軌跡是-=1(x≥25)在半圓內(nèi)的一段雙曲線弧.于是運(yùn)土?xí)r將雙曲線左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處,右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工. 講評:(1)本題是不等量與等量關(guān)系問題,涉及到分類思想,通過建立直角坐標(biāo)系,利用點(diǎn)的集合性質(zhì),構(gòu)造圓錐曲線模型(即分界線)從而確定出最優(yōu)化區(qū)域. (2)應(yīng)用分類思想解題的一般步驟:①確定分類的對象;②進(jìn)行合理的分類;③逐類逐級討論;④歸納各類結(jié)果. 【例3】 根據(jù)我國汽車制造的現(xiàn)實(shí)情況,一般卡車高3 m,寬1.6 m.現(xiàn)要設(shè)計(jì)橫斷面為拋物線形的雙向二車道的公路隧道,為保障雙向行駛安全,交通管理規(guī)定汽車進(jìn)入隧道后必須保持距中線0.4 m的距離行駛.已知拱口AB寬恰好是拱高OC的4倍,若拱寬為a m,求能使卡車安全通過的a的最小整數(shù)值. 剖析:根據(jù)問題的實(shí)際意義,卡車通過隧道時(shí)應(yīng)以卡車沿著距隧道中線0.4 m到2 m間的道路行駛為最佳路線,因此,卡車能否安全通過,取決于距隧道中線2 m(即在橫斷面上距拱口中點(diǎn)2 m)處隧道的高度是否夠3 m,據(jù)此可通過建立坐標(biāo)系,確定出拋物線的方程后求得. 解:如圖,以拱口AB所在直線為x軸,以拱高OC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系,由題意可得拋物線的方程為x2=-2p(y-), ∵點(diǎn)A(-,0)在拋物線上, ∴(-)2=-2p(0-),得p=. ∴拋物線方程為x2=-a(y-). 取x=1.6+0.4=2,代入拋物線方程,得 22=-a(y-),y=. 由題意,令y>3,得>3, ∵a>0,∴a2-12a-16>0. ∴a>6+2. 又∵a∈Z,∴a應(yīng)取14,15,16,…. 答:滿足本題條件使卡車安全通過的a的最小正整數(shù)為14 m. 講評: 本題的解題過程可歸納為兩步:一是根據(jù)實(shí)際問題的意義,確定解題途徑,得到距拱口中點(diǎn)2 m處y的值;二是由y>3通過解不等式,結(jié)合問題的實(shí)際意義和要求得到a的值,值得注意的是這種思路在與最佳方案有關(guān)的應(yīng)用題中是常用的.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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