2019-2020年高考數(shù)學一輪總復習 2.7 冪函數(shù)與函數(shù)的圖象教案 理 新人教A版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學一輪總復習 2.7 冪函數(shù)與函數(shù)的圖象教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【例1】點(，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(－2，)在冪函數(shù)g(x)的圖象上. (1)求f(x)、g(x)的解析式； (2)問當x為何值時，有：①g(x)＜f(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x). 【解析】(1)設f(x)＝xa，因為點(，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，將(，2)代入f(x)＝xa中，得2＝()a，解得a＝2，即f(x)＝x2. 設g(x)＝xb，因為點(－2，)在冪函數(shù)g(x)的圖象上，將(－2，)代入g(x)＝xb中，得＝(－2)b，解得b＝－2，即g(x)＝x－2. (2)在同一坐標系中作出f(x)和g(x)的圖象，如圖所示，由圖象可知： ①當x＞1或x＜－1時，g(x)＜f(x)； ②當x＝1時，f(x)＝g(x)； ③當－1＜x＜1且x≠0時，f(x)＜g(x). 【點撥】(1)求冪函數(shù)解析式的步驟： ①設出冪函數(shù)的一般形式y(tǒng)＝xa(a為常數(shù))； ②根據(jù)已知條件求出a的值； ③寫出冪函數(shù)的解析式. 本題的第(2)問采用了數(shù)形結(jié)合的思想，即在同一坐標系下畫出兩函數(shù)的圖象，借助圖象求出不等式和方程的解.這一問也可用分類討論的思想.x2＝，即x4＝1，x＝1，以x＝1，－1為分界點分x＞1，－1＜x＜1，x＜－1，x＝1五種情況進行討論，也能得到同樣的結(jié)果. 【變式訓練1】函數(shù)f(x)＝(m2－m－1) 是冪函數(shù)，且當x∈(0，＋∞)時是減函數(shù)，求實數(shù)m. 【解析】因為f(x)為冪函數(shù)， 所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 當m＝2時，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是減函數(shù)； 當m＝－1時，f(x)＝x0在(0，＋∞)上不是減函數(shù). 所以m＝2. 題型二　作函數(shù)圖象 【例2】作下列函數(shù)圖象： (1)y＝1＋log2x； (2)y＝2|x|－1； (3)y＝|x2－4|. 【解析】(1)y＝1＋log2x的圖象是： (2)y＝2|x|－1的圖象是： (3)y＝|x2－4|的圖象是： 【變式訓練2】在下列圖象中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx與指數(shù)函數(shù)y＝()x的圖象只可能是(　　) 【解析】A. 題型三　用數(shù)形結(jié)合思想解題 【例3】已知f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求m的取值范圍，使方程f(x)＝mx有4個不同實根. 【解析】 遞增區(qū)間為[1,2]，[3，＋∞)； 遞減區(qū)間為(－∞，1)，(2,3). (2)設y＝mx與y＝f(x)有四個公共點，過原點的直線l與y＝f(x)有三個公共點，如圖所示.令它的斜率為k，則0＜m＜k. 由 ?x2＋(k－4)x＋3＝0.① 令Δ＝(k－4)2－12＝0?k＝42. 當k＝4＋2時，方程①的根x1＝x2＝－?(1,3)，舍去；當k＝4－2時，方程①的根x1＝x2＝∈(1,3)，符合題意.故0＜m＜4－2. 【點撥】(1)作出f(x)的圖象；(2)利用(1)的圖象，研究函數(shù)y＝mx與y＝f(x)的交點情況. 【變式訓練3】若不等式x2－logax＜0對x∈(0，)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A.0＜a＜1 B.≤a＜1 C.a＞1 D.0＜a≤ 【解析】原不等式為x2＜logax，設f(x)＝x2，g(x)＝logax，因為0＜x＜＜1，而logax＞x2＞0，所以0＜a＜1，作出f(x)在x∈(0，)內(nèi)的圖象，如圖所示. 因為f()＝，所以A(，)，當g(x)圖象經(jīng)過點A時，＝loga?a＝，因為當x∈(0，)時，logax＞x2，g(x)圖象按如圖虛線位置變化，所以≤a＜1，故答案為B. 題型四　有關圖象的對稱問題 【例4】設函數(shù)f(x)＝x＋，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)的圖象為C1，C1關于點A(2,1)對稱的圖象為C2，C2對應的函數(shù)為g(x). (1)求函數(shù)y＝g(x)的解析式，并確定其定義域； (2)若直線y＝b與C2只有一個交點，求b的值，并求出交點的坐標. 【解析】(1)設P(u，v)是y＝x＋上任意一點，所以v＝u＋.① 設P關于A(2,1)對稱的點為Q(x，y)， 所以? 代入①得2－y＝4－x＋?y＝x－2＋. 所以g(x)＝x－2＋，其定義域為(－∞，4)∪(4，＋∞). (2)聯(lián)立方程得 ?x2－(b＋6)x＋4b＋9＝0， 所以Δ＝(b＋6)2－4(4b＋9)＝b2－4b＝0?b＝0或b＝4.所以，當b＝0時，交點為(3,0)；當b＝4時，交點為(5,4). 【變式訓練4】函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足：f(x)是偶函數(shù)，f(x－1)是奇函數(shù).若f(0.5)＝9，則f(8.5)等于(　　) A.－9 B.9 C.－3 D.0 【解析】因為f(－x)＝f(x)，f(－x－1)＝－f(x－1)，所以f(－2＋x)＝－f(－x)＝－f(x)，則f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是函數(shù)f(x)的一個周期，所以f(8.5)＝f(0.5)＝9，故應選B.本題考查了抽象函數(shù)周期性的判斷及其函數(shù)值的求解問題，合理進行轉(zhuǎn)化是解題的關鍵. 總結(jié)提高 掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法——描點法和圖象變換法.函數(shù)圖象為研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題提供了一種直觀方法，用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學問題.函數(shù)的圖象是溝通“數(shù)”與“形”的一個重要橋梁.應用函數(shù)圖象法解數(shù)學問題往往具有直觀易懂、運算量小的優(yōu)點，但用圖象法求變量的取值范圍時，要特別注意端點值的取舍和特殊情況.