2019-2020年高中數(shù)學(xué)選修2-1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)選修2-1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 教學(xué)目標(biāo) （1）了解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)已知條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）能用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程處理簡單的實(shí)際問題． 教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn) （1）重點(diǎn)：雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）難點(diǎn)：靈活運(yùn)用定義和待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 教學(xué)過程 一．問題情境 1．情境： 我們知道，橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 2．問題： 雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離的差的絕對值等于常數(shù)，那么，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么形式呢？ 二．學(xué)生活動 設(shè)雙曲線的焦距為，雙曲線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)，的距離的差的絕對值等于常數(shù)． 以，所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖），則，的坐標(biāo)分別為． 設(shè)為雙曲線上任意義點(diǎn)，根據(jù)雙曲線定義知，即．化簡，得． ∵，∴令，得，兩邊除以，得． 由上述過程可知，雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足上面這個(gè)方程，并且滿足上面這個(gè)方程的點(diǎn)都在已知的雙曲線上． 三．建構(gòu)數(shù)學(xué) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：， 焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：其中 思考：怎樣推導(dǎo)出焦點(diǎn)在軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程？ 說明：（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是與選擇的坐標(biāo)系有關(guān)的，當(dāng)且僅當(dāng)選擇對稱軸為坐標(biāo)軸時(shí)有其標(biāo)準(zhǔn)形式． （2）兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)別：與的系數(shù)符號決定了焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，當(dāng)系數(shù)為正時(shí)焦點(diǎn)在軸上，當(dāng)?shù)南禂?shù)為正時(shí)焦點(diǎn)在軸上，而與分母的大小無關(guān)． （3）以坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線可用方程表示． 四．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 1．例題： 例1．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，雙曲線上一點(diǎn)到，的距離的差的絕對值等于，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解 由題意，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 因?yàn)?，所以 因而所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為． [變式]將條件中絕對值去掉，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 例2．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1），焦點(diǎn)在軸上； （2），經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上． 解 （1）依題意，且焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線方程為 （2）焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程可設(shè)為，由，且經(jīng)過點(diǎn)，可得解得．因此，所求雙曲線的方程為． [變式]上題可不明確焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸． 例3．已知兩地相距，一炮彈在某處爆炸，在處聽到爆炸聲的時(shí)間比在處遲，設(shè)聲速為．（1）爆炸點(diǎn)在什么曲線上？（2）求這條曲線的方程． 解 （1）設(shè)為爆炸點(diǎn)，由題意得．因?yàn)楸c(diǎn)離點(diǎn)比離點(diǎn)距離更遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)在以為焦點(diǎn)且距較近的雙曲線的一支上．（如圖） （2）如右圖，以直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)為曲線上一點(diǎn)．由，得．由，得．∴． ∵，∴． 因此，所求曲線的方程為． 五．回顧小結(jié)： 1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 2．用定義和待定系數(shù)法求雙曲線的方程．