2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第2章 第10節(jié) 導數(shù)的概念及其運算課時提升練 文 新人教版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第2章 第10節(jié) 導數(shù)的概念及其運算課時提升練 文 新人教版 一、選擇題 1.下列函數(shù)求導運算正確的個數(shù)為( ) ①(3x)′=3xlog3e;②(log2x)′=;③(ex)′=ex; ④′=x;⑤(xex)′=ex+1. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】?、?3x)′=3xln 3;②(log2x)′=;③(ex)′=ex;④′=-=-;⑤(xex)′=ex+xex=ex(x+1). 【答案】 B 2.函數(shù)f(x)=(x+2a)(x-a)2的導數(shù)為( ) A.2(x2-a2) B.2(x2+a2) C.3(x2-a2) D.3(x2+a2) 【解析】 f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2). 【答案】 C 3.(xx浙江高考)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是下列四個圖象之一,且其導函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖2101所示,則該函數(shù)的圖象是( ) 圖2101 【解析】 從導函數(shù)的圖象可以看出,導函數(shù)值先增大后減小,x=0時最大,所以函數(shù)f(x)的圖象的變化率也先增大后減小,在x=0時變化率最大.A項,在x=0時變化率最小,故錯誤;C項,變化率是越來越大的,故錯誤;D項,變化率是越來越小的,故錯誤.B項正確. 【答案】 B 4.已知曲線f(x)=ax2-bln x在點P(1,1)處的切線與直線x-y+1=0垂直,則f′(3)=( ) A.-5 B.4 C.5 D.-4 【解析】 由已知可得f(1)=1,∴a12-bln 1=1, ∴a=1. ∴f(x)=x2-bln x,故f′(x)=2x-,則曲線在點P處切線的斜率k=f′(1)=2-b,由于切線與直線x-y+1=0垂直,故(2-b)1=-1,∴b=3,則f′(x)=2x-,∴f′(3)=5. 【答案】 C 5.若曲線y=x2+aln x(a>0)上任意一點處的切線斜率為k,若k的最小值為4,則此時該切點的坐標為( ) A.(1,1) B.(2,3) C.(3,1) D.(1,4) 【解析】 y=x2+aln x的定義域為(0,+∞),由導數(shù)的幾何意義知y′=2x+≥2=4,則a=2,當且僅當x=1時等號成立,代入曲線方程得y=1,∴切點坐標為(1,1). 【答案】 A 6.若曲線y=x-在點(a,a-)處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18,則a=( ) A.64 B.32 C.16 D.8 【解析】 ∵y′=-x-(x>0), ∴曲線y=x-在點(a,a-)處切線l的斜率k=y(tǒng)′|x=a=-a-,切線方程為:y-a-=-a-(x-a),可以求得切線與x軸,y軸截距分別為3a,a-,所以圍成三角形面積為:S=3aa-=a=18,∴a=64. 【答案】 A 二、填空題 7.(文)(xx廣東高考)曲線y=-5ex+3在點(0,-2)處的切線方程為________. 【解析】 因為y′|x=0=-5e0=-5,所以曲線在點(0,-2)處的切線方程為y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0. 【答案】 5x+y+2=0 8.已知a為實數(shù),函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a-2)x的導函數(shù)f′(x)是偶函數(shù),則曲線y=f(x)在原點處的切線方程是________. 【解析】 ∵f′(x)=3x2+2ax+a-2是偶函數(shù),∴a=0, ∴f(x)=x3-2x,f′(x)=3x2-2, ∴f′(0)=-2,f(0)=0, ∴切線方程為y=-2x. 【答案】 y=-2x 9.給出定義:若函數(shù)f(x)在D上可導,即f′(x)存在,且導函數(shù)f′(x)在D上也可導,則稱f(x)在D上存在二階導函數(shù),記f″(x)=(f′(x))′,若f″(x)<0在D上恒成立,則稱f(x)在D上為凸函數(shù).以下四個函數(shù)在上是凸函數(shù)的是________.(把你認為正確的序號都填上) ①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=ln x-2x; ③f(x)=-x3+2x-1;④f(x)=xex. 【解析】 在定義域內(nèi),由f″(x)=-sin x-cos x<0,得①是凸函數(shù); 由f″(x)=-<0,得②是凸函數(shù); 由f″(x)=-6x<0,得③是凸函數(shù); 由f″(x)=2ex+xex>0,得④不是凸函數(shù). 【答案】?、佗冖? 三、解答題 10.(xx北京高考)已知函數(shù)f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,求a與b的值; (2)若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,求b的取值范圍. 【解】 由f(x)=x2+xsin x+cos x,得f′(x)=x(2+cos x). (1)因為曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,所以f′(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a). 解得a=0,b=f(0)=1. (2)令f′(x)=0,得x=0. f(x)與f′(x)的變化情況如下: x (-∞,0) 0 (0,+∞) f′(x) - 0 + f(x) ↘ 1 ↗ 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(0)=1是f(x)的最小值. 當b≤1時,曲線y=f(x)與直線y=b最多只有一個交點;當b>1時,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=11時曲線y=f(x)與直線y=b有且僅有兩個不同交點. 綜上可知,如果曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,那么b的取值范圍是(1,+∞). 11.(xx課標全國卷Ⅰ)設函數(shù)f(x)=aln x+x2-bx(a≠1),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為0. (1)求b; (2)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范圍. 【解】 (1)f′(x)=+(1-a)x-b. 由題設知f′(1)=0,解得b=1. (2)f(x)的定義域為(0,+∞), 由(1)知,f(x)=aln x+x2-x, f′(x)=+(1-a)x-1=(x-1). ①若a≤,則≤1,故當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增. 所以,存在x0≥1,使得f(x0)<的充要條件為f(1)<,即-1<,解得--11,故當x∈時,f′(x)<0;當x∈時,f′(x)>0.所以f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增. 所以,存在x0≥1,使得f(x0)<的充要條件為f<. 而f=aln ++>,所以不合題意. ③若a>1,則f(1)=-1=<,符合題意. 綜上,a的取值范圍是(--1,-1)∪(1,+∞). 12.(xx北京高考)已知函數(shù)f(x)=2x3-3x. (1)求f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值; (2)若過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切,求t的取值范圍; (3)問過點A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切?(只需寫出結論) 【解】 (1)由f(x)=2x3-3x得f′(x)=6x2-3. 令f′(x)=0,得x=-或x=. 因為f(-2)=-10,f=,f=-,f(1)=-1, 所以f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值為f=. (2)設過點P(1,t)的直線與曲線y=f(x)相切于點(x0,y0), 則y0=2x-3x0,且切線斜率為k=6x-3, 所以切線方程為y-y0=(6x-3)(x-x0), 因此t-y0=(6x-3)(1-x0), 整理得4x-6x+t+3=0. 設g(x)=4x3-6x2+t+3,則“過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切”等價于“g(x)有3個不同的零點”. g′(x)=12x2-12x=12x(x-1). 當x變化時,g(x)與g′(x)的變化情況如下: x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) g′(x) + 0 - 0 + g(x) ↗ t+3 ↘ t+1 ↗ 所以,g(0)=t+3是g(x)的極大值,g(1)=t+1是g(x)的極小值. 當g(0)=t+3≤0,即t≤-3時,g(x)在區(qū)間(-∞,1]和(1,+∞)上分別至多有1個零點,所以g(x)至多有2個零點. 當g(1)=t+1≥0,即t≥-1時,g(x)在區(qū)間(-∞,0)和[0,+∞)上分別至多有1個零點,所以g(x)至多有2個零點. 當g(0)>0且g(1)<0,即-3- 配套講稿:
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