2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十一章11.6 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教案 理 北師大版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十一章11.6 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教案 理 北師大版 考綱要求 1．理解復(fù)數(shù)的基本概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件． 2．了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義． 3．會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義． 知識(shí)梳理 1．?dāng)?shù)系擴(kuò)充的脈絡(luò)是：______→______→______，用集合符號(hào)表示為_(kāi)___?____?____，實(shí)際上前者是后者的真子集． 2．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1)復(fù)數(shù)的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的____和____．若______，則a＋bi為實(shí)數(shù)；若______，則a＋bi為虛數(shù)；若__________，則a＋bi為純虛數(shù)． (2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?__________(a，b，c，d∈R)． (3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?______(a，b，c，d∈R)． (4)復(fù)平面 建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，______叫做實(shí)軸，______叫做虛軸．實(shí)軸上的點(diǎn)表示______；除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示__________；各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示非純虛數(shù)．復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)__________組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以______為起點(diǎn)的向量組成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的． (5)復(fù)數(shù)的模 向量的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作______或__________，其中|z|＝|a＋bi|＝____________. 3．復(fù)數(shù)的運(yùn)算 (1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________； ②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____________； ③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________； ④除法：＝＝＝______________(c＋di≠0)． (2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律 復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝____________. (3)復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對(duì)加法的分配律，即對(duì)任意z1，z2，z3∈C，有z1z2＝______，(z1z2)z3＝______，z1(z2＋z3)＝______. 4．熟記下列結(jié)論： (1)i4n＝1，＝i，＝－1，＝－i(n∈N＋)． (2)(1i)2＝2i，＝i，＝－i，＝－i. (3)設(shè)ω＝－＋i，則ω2＝＝＝－－i,1＋ω＋ω2＝0，ω3＝1，|ω|＝1. (4)若z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，z＝|z|2＝|z2|＝||2＝|2|＝a2＋b2. 基礎(chǔ)自測(cè) 1．下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是(　　)． ①若x，y∈C，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y(tǒng)＝1；②若a，b∈R且a＞b，則a＋i＞b＋i； ③若x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 2．(xx福建高考，理1)i是虛數(shù)單位，若集合S＝{－1,0,1}，則(　　)． A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D．∈S 3．(xx湖南高考，文2)若a，b∈R，i為虛數(shù)單位，且(a＋i)i＝b＋i，則(　　)． A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1 C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1 4．(xx廣東高考，理1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2，其中i為虛數(shù)單位，則z＝(　　)． A．1＋i B．1－i C．2＋2i D．2－2i 5．(xx遼寧高考，文2)i為虛數(shù)單位，＋＋＋＝(　　)． A．0 B．2i C．－2i D．4i 思維拓展 1．兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小嗎？ 提示：任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，只有相等與不等的關(guān)系，不能像實(shí)數(shù)那樣比較大?。挥挟?dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都為實(shí)數(shù)時(shí)，才可以比較大?。粌蓚€(gè)復(fù)數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部與虛部分別對(duì)應(yīng)相等，∴a＋bi＝0?a＝b＝0. 2．把實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)的背景是什么？有什么具體要求？ 提示：(1)為了解決x2＋1＝0這樣的方程在實(shí)數(shù)集中無(wú)解的問(wèn)題，人們引進(jìn)了一個(gè)新數(shù)i，叫做虛數(shù)單位，并且規(guī)定i2＝－1.這樣原數(shù)集中不能解決的問(wèn)題在新數(shù)集中就能夠解決了． (2)規(guī)定i與實(shí)數(shù)可以進(jìn)行四則運(yùn)算，在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立． 一、復(fù)數(shù)的分類 【例1】已知m∈R，復(fù)數(shù)z＝＋(m2＋2m－3)i，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)z∈R；(2)z是純虛數(shù)；(3)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限；(4)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x＋y＋3＝0上． 方法提煉1．判斷一個(gè)含有參數(shù)的復(fù)數(shù)在什么情況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，首先要保證含參數(shù)的式子有意義，忽略這一要求會(huì)釀成根本性的錯(cuò)誤；其次對(duì)參數(shù)值的取舍，是取“并”還是“交”，非常關(guān)鍵．因此，解答后進(jìn)行驗(yàn)算是很有必要的． 2．對(duì)于復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，既要從整體的角度去認(rèn)識(shí)它，把復(fù)數(shù)z看成一個(gè)整體，又要從實(shí)部與虛部的角度將其分解成兩部分去認(rèn)識(shí)它，這是解復(fù)數(shù)問(wèn)題的重要思路之一． 請(qǐng)做[針對(duì)訓(xùn)練]1 二、復(fù)數(shù)相等的充要條件 【例2】已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求實(shí)數(shù)m的值． 方法提煉復(fù)數(shù)相等是一個(gè)重要概念，它融合了復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的劃分等重要概念；它也是復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化的重要工具，通過(guò)設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，借助兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，可列方程來(lái)求未知數(shù)的值．若z是復(fù)數(shù)，可設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)；若z是虛數(shù)，可設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)；若z是純虛數(shù)，可設(shè)z＝bi(b∈R，b≠0)．特別地，若所求復(fù)數(shù)能夠從給定的解析式中分離出來(lái)，則可借助于復(fù)數(shù)的運(yùn)算來(lái)求復(fù)數(shù)的值． 請(qǐng)做[針對(duì)訓(xùn)練]2 三、復(fù)數(shù)的幾何意義 【例3－1】復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若∠BAC是鈍角，求實(shí)數(shù)c的取值范圍． 【例3－2】已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)且|z－2|＝，求的最大值及最小值． 方法提煉復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的符號(hào)與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限密切相關(guān)，實(shí)數(shù)、純虛數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別在實(shí)軸和虛軸上．若實(shí)部為正且虛部為正，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限；若實(shí)部為負(fù)且虛部為正，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限；若實(shí)部為負(fù)且虛部為負(fù)，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限；若實(shí)部為正且虛部為負(fù)，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限．此外，若復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在某些曲線上，還可寫(xiě)出代數(shù)形式的一般表達(dá)式．如：若復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線x＝1上，則z＝1＋bi(b∈R)；若復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線y＝x上，則z＝a＋ai(a∈R)，這在利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式解題中能起到簡(jiǎn)化作用． 請(qǐng)做[針對(duì)訓(xùn)練]3 四、復(fù)數(shù)的運(yùn)算 【例4】已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．設(shè)z＝z1－z2，且z＝13－2i，求z1，z2. 方法提煉1．復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則：(1)復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減．(2)把i看作一個(gè)字母，類比多項(xiàng)式加減中的合并同類項(xiàng)．(3)復(fù)數(shù)的加減法可以推廣到若干個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行連加、連減或混合運(yùn)算． 2．復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法相類似，只需將i2換成－1，并把實(shí)部與實(shí)部合并，虛部與虛部合并即可． 3．復(fù)數(shù)的除法與實(shí)數(shù)的除法有所不同．實(shí)數(shù)的除法可以直接約分化簡(jiǎn)，得出結(jié)論；但復(fù)數(shù)的除法因?yàn)榉帜笧閺?fù)數(shù)一般不能直接約分化簡(jiǎn)，復(fù)數(shù)除法的一般作法是，由于兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的積是一個(gè)實(shí)數(shù)，因此兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，可以先把它們的商寫(xiě)成分式的形式，然后把分子、分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，并把結(jié)果化簡(jiǎn)即可． 請(qǐng)做[針對(duì)訓(xùn)練]4 考情分析 復(fù)數(shù)是高考必考的內(nèi)容之一，對(duì)復(fù)數(shù)的考查一般固定在一個(gè)選擇題或一個(gè)填空題，難度不大，以考查復(fù)數(shù)的概念和代數(shù)運(yùn)算為主．從具體的題目分析來(lái)看，主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的商式的化簡(jiǎn)，即乘除運(yùn)算；或者利用復(fù)數(shù)相等的充要條件列方程求未知數(shù)的值．其次是考查復(fù)數(shù)的劃分，即考查虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)等概念．預(yù)計(jì)在今后的高考中，對(duì)復(fù)數(shù)的考查不會(huì)有大的變化． 針對(duì)訓(xùn)練 1．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝1＋i，z2＝2＋bi，若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)b＝(　　)． A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足＝i，則z＝(　　)． A．－2＋i B．－2－i C．2－i D．2＋i 3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________． 4．若復(fù)數(shù)z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(z1－z2)i的實(shí)部為_(kāi)_________． 5．設(shè)z是虛數(shù)，ω＝z＋是實(shí)數(shù)，且－1＜ω＜2. (1)求z的實(shí)部的取值范圍； (2)設(shè)u＝，求證：u為純虛數(shù)； (3)求ω－u2的最小值． 參考答案 基礎(chǔ)梳理自測(cè) 知識(shí)梳理 1．自然數(shù)集　有理數(shù)集　實(shí)數(shù)集　N　Q　R 2．(1)實(shí)部　虛部　b＝0　b≠0　a＝0且b≠0　(2)a＝c，b＝d　(3)a＝c，b＝－d　(4)x軸　y軸　實(shí)數(shù)　純虛數(shù)　所有的點(diǎn)　原點(diǎn)O　(5)|z|　|a＋bi|　 3．(1)①(a＋c)＋(b＋d)i　②(a－c)＋(b－d)i?、?ac－bd)＋(ad＋bc)i ④＋i　(2)z2＋z1　z1＋(z2＋z3) (3)z2z1　z1(z2z3)　z1z2＋z1z3 基礎(chǔ)自測(cè) 1．A　解析：①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，不符合復(fù)數(shù)相等的充要條件，①是假命題．②由于兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，∴②是假命題．③當(dāng)x＝1，y＝i時(shí)，x2＋y2＝0成立，∴③是假命題． 2．B　解析：∵i2＝－1，而集合S＝{－1,0,1}，∴i2∈S. 3．C　解析：由(a＋i)i＝b＋i，得ai－1＝b＋i，所以a＝1，b＝－1. 4．B　解析：由(1＋i)z＝2得z＝＝＝1－i. 5．A　解析：＋＋＋＝＋＋＋＝－＋－＝0. 考點(diǎn)探究突破 【例1】解：(1)當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，則有m2＋2m－3＝0且m－1≠0，得m＝－3， 故當(dāng)m＝－3時(shí)，z∈R. (2)當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，則有解得m＝0或m＝2. ∴當(dāng)m＝0或m＝2時(shí)，z為純虛數(shù)． (3)當(dāng)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限時(shí)， 則有 解得m＜－3或1＜m＜2. 故當(dāng)m＜－3或1＜m＜2時(shí)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限． (4)當(dāng)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x＋y＋3＝0上時(shí)，則有＋(m2＋2m－3)＋3＝0， 得＝0，解得m＝0或m＝－1. ∴當(dāng)m＝0或m＝－1時(shí)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x＋y＋3＝0上． 【例2】解：∵M(jìn)∪P＝P，∴M?P. 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1， 得解得m＝1. 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i， 得解得m＝2. 綜上可知m＝1或m＝2. 【例3－1】解：在復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,4)，B(0,0)，C(c,2c－6)，由∠BAC是鈍角得，且A，B，C不共線， 由(－3，－4)(c－3,2c－10)＜0，解得c＞. 其中當(dāng)c＝9時(shí)，＝(6,8)＝－2，此時(shí)A，B，C三點(diǎn)共線，故c≠9. 所以c的取值范圍是. 【例3－2】解：由|z－2|＝，得(x－2)2＋y2＝3. 則可看作是圓(x－2)2＋y2＝3上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率， 設(shè)＝k，則直線y＝kx與圓相切時(shí)，k可以取到最大或最小值． 即＝，解得k＝或k＝－， 即的最大值為，最小值為－. 【例4】解：z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i， 又z＝13－2i， ∴解得 于是，z1＝(32－1)＋(－1－42)i＝5－9i，z2＝(－4－22)－(52－31)i＝－8－7i. 演練鞏固提升 針對(duì)訓(xùn)練 1．D　解析：＝＝＝∈R， ∴b＝2. 2．C　解析：設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)滿足＝i， ∴1＋2i＝ai－b， ∴z＝2－i. 3．(－1,1)　解析：＝＝－1＋i，故其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(－1,1)． 4．－20　解析：∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i， ∴(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝－20－2i. ∴復(fù)數(shù)(z1－z2)i的實(shí)部為－20. 5．解：(1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)． ω＝a＋bi＋＝＋i， ∵ω是實(shí)數(shù)，b≠0，∴a2＋b2＝1. ∵ω＝2a，－1＜ω＜2，∴z的實(shí)部的取值范圍是. (2)證明：u＝＝＝ ＝＝－i. ∵a∈，b≠0，∴u為純虛數(shù)． (3)ω－u2＝2a＋＝2a＋ ＝2a－＝2a－1＋ ＝2－3. ∵a∈，∴a＋1＞0， ∴ω－u2≥22－3＝1. 當(dāng)a＋1＝，即a＝0時(shí)，上式取等號(hào)． ∴ω－u2的最小值是1.