2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 2.7 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教案.doc
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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 2.7 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教案 ●知識梳理 1.指數(shù) (1)n次方根的定義:若xn=a,則稱x為a的n次方根,“”是方根的記號. 在實數(shù)范圍內,正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù),負數(shù)的奇次方根是一個負數(shù),0的奇次方根是0;正數(shù)的偶次方根是兩個絕對值相等符號相反的數(shù),0的偶次方根是0,負數(shù)沒有偶次方根. (2)方根的性質 ①當n為奇數(shù)時,=a. ②當n為偶數(shù)時,=|a|= (3)分數(shù)指數(shù)冪的意義 ①a=(a>0,m、n都是正整數(shù),n>1). ②a==(a>0,m、n都是正整數(shù),n>1). 2.指數(shù)函數(shù) (1)指數(shù)函數(shù)的定義 一般地,函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù). (2)指數(shù)函數(shù)的圖象 底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關于y軸對稱. (3)指數(shù)函數(shù)的性質 ①定義域:R. ②值域:(0,+∞). ③過點(0,1),即x=0時,y=1. ④當a>1時,在R上是增函數(shù);當0<a<1時,在R上是減函數(shù). ●點擊雙基 1.等于 A.- B.- C. D. 解析:=a(-a)=-(-a)=-(-a). 答案:A 2.(xx年鄭州市質量檢測題)函數(shù)y=2的圖象與直線y=x的位置關系是 解析:y=2=()x.∵>1,∴不可能選D. 又∵當x=1時,2>x,而當x=3時,2<x,∴不可能選A、B. 答案:C 3.(xx年湖北,文5)若函數(shù)y=ax+b-1(a>0且a≠1)的圖象經過二、三、四象限,則一定有 A.0<a<1且b>0 B.a>1且b>0 C.0<a<1且b<0 D.a>1且b<0 解析:作函數(shù)y=ax+b-1的圖象. 答案:C 4.(xx年全國Ⅱ,理6)函數(shù)y=-ex的圖象 A.與y=ex的圖象關于y軸對稱 B.與y=ex的圖象關于坐標原點對稱 C.與y=e-x的圖象關于y軸對稱 D.與y=e-x的圖象關于坐標原點對稱 解析:圖象法. 答案:D 5.(xx年湖南,文16)若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|(a>0且a≠1)的圖象有兩個公共點,則a的取值范圍是___________________. 解析:數(shù)形結合.由圖象可知0<2a<1,0<a<. 答案:0<a< 6.函數(shù)y=()的遞增區(qū)間是___________. 解析:∵y=()x在(-∞,+∞)上是減函數(shù),而函數(shù)y=x2-2x+2=(x-1)2+1的遞減區(qū)間是(-∞,1],∴原函數(shù)的遞增區(qū)間是(-∞,1]. 答案:(-∞,1] ●典例剖析 【例1】 下圖是指數(shù)函數(shù)(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的圖象,則a、b、c、d與1的大小關系是 A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 剖析:可先分兩類,即(3)(4)的底數(shù)一定大于1,(1)(2)的底數(shù)小于1,然后再從(3)(4)中比較c、d的大小,從(1)(2)中比較a、b的大小. 解法一:當指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時,圖象上升,且當?shù)讛?shù)越大,圖象向上越靠近于y軸;當?shù)讛?shù)大于0小于1時,圖象下降,底數(shù)越小,圖象向右越靠近于x軸.得b<a<1<d<c. 解法二:令x=1,由圖知c1>d1>a1>b1, ∴b<a<1<d<c. 答案:B 【例2】 已知2≤()x-2,求函數(shù)y=2x-2-x的值域. 解:∵2≤2-2(x-2),∴x2+x≤4-2x,即x2+3x-4≤0,得-4≤x≤1.又∵y=2x-2-x是[-4,1]上的增函數(shù),∴2-4-24≤y≤2-2-1.故所求函數(shù)y的值域是[-,]. 【例3】 要使函數(shù)y=1+2x+4xa在x∈(-∞,1]上y>0恒成立,求a的取值范圍. 解:由題意,得1+2x+4xa>0在x∈(-∞,1]上恒成立,即a>-在x∈(-∞,1]上恒成立.又∵-=-()2x-()x=-[()x+]2+,當x∈(-∞,1]時值域為(-∞,-],∴a>-. 評述:將不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)值域問題是解決這類問題常用的方法. ●闖關訓練 夯實基礎 1.已知f(x)=ax,g(x)=-logbx,且lga+lgb=0,a≠1,b≠1,則y=f(x)與y=g(x)的圖象 A.關于直線x+y=0對稱 B.關于直線x-y=0對稱 C.關于y軸對稱 D.關于原點對稱 解析:lga+lgb=0ab=1.∴g(x)=-logbx=-loga-1x=logax. ∴f(x)與g(x)的圖象關于y=x對稱. 答案:B 2.下列函數(shù)中值域為正實數(shù)的是 A.y=-5x B.y=()1-x C.y= D.y= 解析:∵y=()x的值域是正實數(shù),而1-x∈R,∴y=()1-x的值域是正實數(shù). 答案:B 3.化簡(a>0,b>0)的結果是___________________. 解析:原式====. 答案: 4.滿足條件m>(mm)2的正數(shù)m的取值范圍是___________________. 解析:∵m>0,∴當m>1時,有m2>2m,即m>2; 當0<m<1時,有m2<2m,即0<m<1. 綜上所述,m>2或0<m<1. 答案:m>2或0<m<1 5.(xx年湖北,理7)函數(shù)f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值與最小值的和為a,則a的值為 A. B. C.2 D.4 解析:f(x)在[0,1]上是單調函數(shù),由已知f(0)+f(1)=a1+loga1+a+loga2=aloga2=-1a=. 答案:B 6.已知9x-103x+9≤0,求函數(shù)y=()x-1-4()x+2的最大值和最小值. 解:由9x-103x+9≤0得(3x-1)(3x-9)≤0,解得1≤3x≤9.∴0≤x≤2.令()x=t,則≤t≤1,y=4t2-4t+2=4(t-)2+1.當t=即x=1時,ymin=1;當t=1即x=0時,ymax=2. 培養(yǎng)能力 7.若a2x+ax-≤0(a>0且a≠1),求y=2a2x-3ax+4的值域. 解:由a2x+ax-≤0(a>0且a≠1)知0<ax≤. 令ax=t,則0<t≤,y=2t2-3t+4.借助二次函數(shù)圖象知y∈[3,4). 8.(xx年全國Ⅲ,18)解方程4x+|1-2x|=11. 解:當x≤0時,1-2x≥0.原方程4x-2x-10=02x=2x=-<0(無解)或2x=+>1知x>0(無解). 當x>0時,1-2x<0.原方程4x+2x-12=02x=-2x=-4(無解)或2x=3x=log23(為原方程的解). 探究創(chuàng)新 9.若關于x的方程25-|x+1|-45-|x+1|-m=0有實根,求m的取值范圍. 解法一:設y=5-|x+1|,則0<y≤1,問題轉化為方程y2-4y-m=0在(0,1]內有實根.設f(y)=y2-4y-m,其對稱軸y=2,∴f(0)>0且f(1)≤0,得-3≤m<0. 解法二:∵m=y2-4y,其中y=5-|x+1|∈(0,1],∴m=(y-2)2-4∈[-3,0). ●思悟小結 1.利用分數(shù)指數(shù)冪的意義可以把根式的運算轉化為冪的運算,從而簡化計算過程. 2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象和性質受a的影響,要分a>1與0<a<1來研究. 3.指數(shù)函數(shù)的定義重在“形式”,像y=23x,y=2,y=3,y=3x+1等函數(shù)都不符合形式y(tǒng)=ax(a>0,a≠1),因此,它們都不是指數(shù)函數(shù). ●教師下載中心 教學點睛 1.本小節(jié)的重點是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質的應用.對于含有字母參數(shù)的兩個函數(shù)式比較大小或兩個函數(shù)式由于自變量的不同取值而有不同大小關系時,必須對字母參數(shù)或自變量取值進行分類討論.用好用活指數(shù)函數(shù)單調性,是解決這一類問題的關鍵. 2.對可化為a2x+bax+c=0或a2x+bax+c≥0(≤0)的指數(shù)方程或不等式,常借助換元法解決,但應提醒學生注意換元后“新元”的范圍. 拓展題例 【例1】 若60a=3,60b=5.求12的值. 解:a=log603,b=log605,1-b=1-log605=log6012,1-a-b=1-log603-log605=log604, ==log124, 12=12=12=2. 【例2】 方程2x=2-x的解的個數(shù)為______________. 解析:方程的解可看作函數(shù)y=2x和y=2-x的圖象交點的橫坐標,分別作出這兩個函數(shù)圖象(如下圖). 由圖象得只有一個交點,因此該方程只有一個解. 答案:1 評述:無法直接求解的方程問題,常用作圖法來解,注意數(shù)形結合的思想.- 配套講稿:
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