2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第九課時(shí) 2.5從力做的功到向量的數(shù)量積(二)教案 北師大版必修4.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第九課時(shí) 2.5從力做的功到向量的數(shù)量積(二)教案 北師大版必修4 一、教學(xué)目標(biāo):1.掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律;2.能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問(wèn)題;3.掌握兩個(gè)向量共線(xiàn)、垂直的幾何判斷,會(huì)證明兩向量垂直,以及能解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題. 二、教學(xué)重點(diǎn):平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律.教學(xué)難點(diǎn):平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 三、授課類(lèi)型:新授課 四、內(nèi)容分析:?jiǎn)l(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上,逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律,引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問(wèn)題的特點(diǎn),以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì). 五、教學(xué)過(guò)程 (一)、復(fù)習(xí)引入: 1.兩個(gè)非零向量夾角的概念 已知非零向量a與b,作=a,=b,則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a與b的夾角. 2.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義:已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角是θ,則數(shù)量|a||b|cosq叫a與b的數(shù)量積,記作ab,即有ab = |a||b|cosq, (0≤θ≤π).并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 3.“投影”的概念:作圖 C 定義:|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一個(gè)數(shù)量,不是向量;當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值;當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值;當(dāng)q為直角時(shí)投影為0;當(dāng)q = 0時(shí)投影為 |b|;當(dāng)q = 180時(shí)投影為 -|b|. 4.向量的數(shù)量積的幾何意義: 數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積. 5.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì): 設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量,e是與b同向的單位向量. 1 ea = ae =|a|cosq; 2 a^b ab = 0 3 當(dāng)a與b同向時(shí),ab = |a||b|;當(dāng)a與b反向時(shí),ab = -|a||b|. 特別的aa = |a|2或 4cosq = ;5|ab| ≤ |a||b| (二)、講解新課: 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1.交換律:a b = b a 證:設(shè)a,b夾角為q,則a b = |a||b|cosq,b a = |b||a|cosq ∴a b = b a 2.?dāng)?shù)乘結(jié)合律:(a)b =(ab) = a(b) 證:若> 0,(a)b =|a||b|cosq, (ab) =|a||b|cosq,a(b) =|a||b|cosq, 若< 0,(a)b =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq,(ab) =|a||b|cosq, a(b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq. 3.分配律:(a + b)c = ac + bc 在平面內(nèi)取一點(diǎn)O,作= a, = b,= c, ∵a + b (即)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 ∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2, ∴c(a + b) = ca + cb 即:(a + b)c = ac + bc 說(shuō)明:(1)一般地,(ab)с≠a(bс) (2)aс=bс,с≠0a=b (3)有如下常用性質(zhì):a2=|a|2, (a+b)(с+d)=aс+ad+bс+bd (a+b)2=a2+2ab+b2 (三)、講解范例: 例1、 已知a、b都是非零向量,且a + 3b與7a - 5b垂直,a - 4b與7a - 2b垂直,求a與b的夾角. 解:由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 ① (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 ② 兩式相減:2ab = b2代入①或②得:a2 = b2 設(shè)a、b的夾角為q,則cosq = ∴q = 60 例2 求證:平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)平方和等于四條邊的平方和. 解:如圖:平行四邊形ABCD中,,,= ∴||2= 而= , ∴||2= ∴||2 + ||2 = 2= 例3 四邊形ABCD中,=a,=b,=с,=d,且ab=bс=сd=da,試問(wèn)四邊形ABCD是什么圖形? 分析:四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定,關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量. 解:四邊形ABCD是矩形,這是因?yàn)椋? 一方面:∵a+b+с+d=0,∴a+b=-(с+d),∴(a+b)2=(с+d)2 即|a|2+2ab+|b|2=|с|2+2сd+|d|2 由于ab=сd,∴|a|2+|b|2=|с|2+|d|2① 同理有|a|2+|d|2=|с|2+|b|2② 由①②可得|a|=|с|,且|b|=|d|即四邊形ABCD兩組對(duì)邊分別相等. ∴四邊形ABCD是平行四邊形 另一方面,由ab=bс,有b(a-с)=0,而由平行四邊形ABCD可得a=-с,代入上式得b(2a)=0,即ab=0,∴a⊥b也即AB⊥BC. 綜上所述,四邊形ABCD是矩形. 評(píng)述:(1)在四邊形中,,,,是順次首尾相接向量,則其和向量是零向量,即a+b+с+d=0,應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用; (2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積,因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系. (四)、課堂練習(xí): 1.下列敘述不正確的是( ) A.向量的數(shù)量積滿(mǎn)足交換律 B.向量的數(shù)量積滿(mǎn)足分配律 C.向量的數(shù)量積滿(mǎn)足結(jié)合律 D.ab是一個(gè)實(shí)數(shù) 2.已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60,則(a+2b)(a-3b)等于( ) A.72 B.-72 C.36 D.-36 3.|a|=3,|b|=4,向量a+b與a-b的位置關(guān)系為( ) A.平行 B.垂直 C.夾角為 D.不平行也不垂直 4.已知|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角為150,則(a+b)2= . 5.已知|a|=2,|b|=5,ab=-3,則|a+b|=______,|a-b|= . 6.設(shè)|a|=3,|b|=5,且a+λb與a-λb垂直,則λ= . (五)、小結(jié):1.掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律;2.能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問(wèn)題;3.掌握兩個(gè)向量共線(xiàn)、垂直的幾何判斷,會(huì)證明兩向量垂直,以及能解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題. (六)、課后作業(yè):P111中3、4、5題 六、課后反思:- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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