2019-2020年高中數(shù)學(xué)《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》教案4 新人教A版必修5.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》教案4 新人教A版必修5 教學(xué)目的： 1．掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式證明思路． 2．會(huì)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡(jiǎn)單問題 教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo) 教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用公式解決有關(guān)問題 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教材分析： 本節(jié)是對(duì)公式的教學(xué)，要充分揭示公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的導(dǎo)出方法，理解公式的成立條件．也就是讓學(xué)生對(duì)本課要學(xué)習(xí)的新知識(shí)有一個(gè)清晰的、完整的認(rèn)識(shí)、忽視公式的推導(dǎo)和條件，直接記憶公式的結(jié)論是降低教學(xué)要求，違背教學(xué)規(guī)律的做法 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 首先回憶一下前兩節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容： 1．等比數(shù)列：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0） 2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式: ， 3．｛｝成等比數(shù)列=q（,q≠0） “≠0”是數(shù)列｛｝成等比數(shù)列的必要非充分條件 4．既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列． 5．等比中項(xiàng)：G為a與b的等比中項(xiàng). 即G=（a,b同號(hào)）. 6．性質(zhì)：若m+n=p+q， 7．判斷等比數(shù)列的方法：定義法，中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法 8．等比數(shù)列的增減性：當(dāng)q>1, >0或01, <0,或00時(shí), {}是遞減數(shù)列;當(dāng)q=1時(shí), {}是常數(shù)列;當(dāng)q<0時(shí), {}是擺動(dòng)數(shù)列; 二、講解新課： 例如求數(shù)列1，2，4，…262，263的各項(xiàng)和 即求以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列的前64項(xiàng)的和，可表示為： ① 2 ② 由②—①可得： 這種求和方法稱為“錯(cuò)位相減法” “錯(cuò)位相減法”，是研究數(shù)列求和的一個(gè)重要方法 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： ∴當(dāng)時(shí)， ① 或 ② 當(dāng)q=1時(shí)， 當(dāng)已知, q, n 時(shí)用公式①；當(dāng)已知, q, 時(shí)，用公式②. 公式的推導(dǎo)方法一： 一般地，設(shè)等比數(shù)列它的前n項(xiàng)和是 由 得 ∴當(dāng)時(shí)， ① 或 ② 當(dāng)q=1時(shí)， 公式的推導(dǎo)方法二： 有等比數(shù)列的定義， 根據(jù)等比的性質(zhì)，有 即 （結(jié)論同上） 圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比定理，導(dǎo)出了公式． 公式的推導(dǎo)方法三： ＝ ＝＝ （結(jié)論同上） “方程”在代數(shù)課程里占有重要的地位，方程思想是應(yīng)用十分廣泛的一種數(shù)學(xué)思想，利用方程思想，在已知量和未知量之間搭起橋梁，使問題得到解決 三、例題講解 例1 求等比數(shù)列1，2，4，…從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和. 解：由 ， 從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為-=1008 例2一條信息，若一人得知后用一小時(shí)將信息傳給兩個(gè)人，這兩個(gè)人又用一小時(shí)各傳給未知此信息的另外兩人，如此繼續(xù)下去，一天時(shí)間可傳遍多少人？ 解：根據(jù)題意可知，獲知此信息的人數(shù)成首項(xiàng)的等比數(shù)列 則：一天內(nèi)獲知此信息的人數(shù)為： 例3 已知{}為等比數(shù)列，且=a，=b，（ab≠0），求． 分析：要求，需知，q，而已知條件為和．能否進(jìn)一步挖掘題目的條件，使已知和未知溝通起來？ 當(dāng)時(shí) ＝a ① ＝＝＝b ② ②/①得 ③ 將③代入①，得 ∴＝＝＝ 以下再化簡(jiǎn)即可． 這樣處理問題很巧妙．沒有分別求得與q的值，而改為求與的值，這樣使問題變得簡(jiǎn)單但在分析的過程中是否完備？ 第①式就有問題，附加了條件q≠1．而對(duì)q=1情況沒有考慮． 使用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要特別注意適用條件，即 q=1時(shí)，=n；當(dāng)時(shí)， 或 （含字母已知數(shù)的等比數(shù)列求和題目，學(xué)生常忽略q=1情況，要引起足夠重視，以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性） 解法1：設(shè)等比數(shù)列{}的公比為q． 若q=1（此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列），則=n=a，=b， 從而有2a=b ∴（或） 若q≠1（即2a≠b），由已知 ＝a ① ＝b ② 又ab0,②/①得 , ③ 將③代入①，得 ∴＝＝＝ ＝ 解法2：由，－，－成等比數(shù)列（練習(xí)中證此結(jié)論）， 即a,b-a, －b成等比，所以a(－b)=( b-a) 從而有 ＝ （包含了q=1的情況） 四、練習(xí)： 是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，數(shù)列 （）是否仍成等比數(shù)列？ 解：設(shè)首項(xiàng)是，公比為q, ①當(dāng)q=－1且k為偶數(shù)時(shí)，不是等比數(shù)列. ∵此時(shí)， =0. 例如：數(shù)列1,－1,1,－1,…是公比為－1的等比數(shù)列，S2=0, ②當(dāng)q≠－1或k為奇數(shù)時(shí)， ＝ ＝ ＝ （）成等比數(shù)列 評(píng)述：應(yīng)注意等比數(shù)列中的公比q的各種取值情況的討論，還易忽視等比數(shù)列的各項(xiàng)應(yīng)全不為0的前提條件. 五、小結(jié) 1. 等比數(shù)列求和公式：當(dāng)q=1時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 或 ； 2．是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和， ①當(dāng)q=－1且k為偶數(shù)時(shí)，不是等比數(shù)列. ②當(dāng)q≠－1或k為奇數(shù)時(shí)， 仍成等比數(shù)列 3．這節(jié)課我們從已有的知識(shí)出發(fā)，用多種方法（迭加法、運(yùn)用等比性質(zhì)、錯(cuò)位相減法、方程法）推導(dǎo)出了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并在應(yīng)用中加深了對(duì)公式的認(rèn)識(shí)． 六、課后作業(yè)： 已知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，求證,－,－成等比數(shù)列. 解：（1）①當(dāng)q=1時(shí)，=7,=14, －=14－7=7,－=21－14a1=7 ∴,－,－為以7為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列. ②當(dāng)q≠1時(shí)，= ∴= ∴,－,－成等比數(shù)列. ［這一過程也可如下證明： －=－ === 同理，－== ∴,－,－為等比數(shù)列. 七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、課后記：