2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)備考黃金30題 專題04 大題好拿分(提升版20題)蘇教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)備考黃金30題 專題04 大題好拿分(提升版,20題)蘇教版 一、解答題 1.(13分)如圖,橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率,直線l的方程為. (1)求橢圓C的方程; (2)是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)),設(shè)直線與直線相交于點(diǎn),記、、的斜率分別為、、.問(wèn):是否存在常數(shù),使得? 若存在,求的值; 若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1)(2). 又將代入得 , ,, 12分 故存在常數(shù)符合題意. 13分 考點(diǎn):1橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì);2直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題. 2.函數(shù). (1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的定義域; (2)若判斷的奇偶性; (3)是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)在[2,3]遞增,并且最大值為1,若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由. 【答案】(1)(2)奇函數(shù)(3) (2)易知,∵且,∴關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又∵, ∴,∴為奇函數(shù). (3)令,∵,,∴在上單調(diào)遞減,又∵函數(shù)在遞增, ∴,又∵函數(shù)在的最大值為1,∴,即,∴,∵,∴符合題意.即存在實(shí)數(shù),使函數(shù)在遞增,并且最大值為 . 點(diǎn)睛:本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì),考查奇偶性的判斷,考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí).第一問(wèn)考查函數(shù)的定義域,需要對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零.第二問(wèn)考查函數(shù)的奇偶性,判斷的時(shí)候先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,然后再判斷和的關(guān)系,由此判斷的單調(diào)性.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷主要是根據(jù)同增異減. 3.已知函數(shù), (1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間; (2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不等的根,求實(shí)數(shù)的取值范圍; (3)若存在,當(dāng)時(shí),恒有,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1)(2)(3) (2)令, 且定義域?yàn)? 所以,令,, 列表如下: 1 + 0 - 遞增 極大值 遞減 考點(diǎn):1.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性;2.函數(shù)思想及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用和零點(diǎn)判定定理的運(yùn)用; 3.函數(shù)思想及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用. 4.(xx秋?揚(yáng)州期末)若數(shù)列{an}中不超過(guò)f(m)的項(xiàng)數(shù)恰為bm(m∈N*),則稱數(shù)列{bm}是數(shù)列{an}的生成數(shù)列,稱相應(yīng)的函數(shù)f(m)是數(shù)列{an}生成{bm}的控制函數(shù). (1)已知an=n2,且f(m)=m2,寫(xiě)出b1、b2、b3; (2)已知an=2n,且f(m)=m,求{bm}的前m項(xiàng)和Sm; (3)已知an=2n,且f(m)=Am3(A∈N*),若數(shù)列{bm}中,b1,b2,b3是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,且b3=10,求d的值及A的值. 【答案】(1)b1=1;b2=2;b3=3.(2).(3)d=3,A=64或65. 【解析】 試題分析:(1)利用生成數(shù)列,與控制函數(shù)的意義即可得出. (2)對(duì)m分類討論:可得bm.進(jìn)而得出前n項(xiàng)和. (3)依題意:,f(1)=A,f(2)=8A,f(5)=125A,設(shè)b1=t,即數(shù)列{an}中,不超過(guò)A的項(xiàng)恰有t項(xiàng),所以2t≤A<2t+1,同理:2t+d≤8A<2t+d+1,2t+2d≤125A<2t+2d+1,可得d<4,d為正整數(shù),得出d=1,2,3,分類討論即可得出. 解:(1)m=1,則a1=1≤1,∴b1=1; m=2,則a1=1<4,a2=4≤4,∴b2=2; m=3,則a1=1<9,a2=4<9,a3=9≤9,∴b3=3. (2)m為偶數(shù)時(shí),則2n≤m,則; m為奇數(shù)時(shí),則2n≤m﹣1,則; ∴, m為偶數(shù)時(shí),則; m為奇數(shù)時(shí),則; ∴. ∵b3=10,∴4≤t≤7, ∵t為整數(shù),∴t=4,t=5,t=6或t=7. ∵f(3)=27A,b3=10, ∴210≤27A<211,∴. 當(dāng)t=4時(shí),,∴無(wú)解. 當(dāng)t=5時(shí),,∴無(wú)解. 當(dāng)t=6時(shí),,∴. 當(dāng)t=7時(shí),,∴無(wú)解,∴. ∵A∈N*,∴A=64或A=65. 綜上:d=3,A=64或65. 考點(diǎn):數(shù)列的應(yīng)用. 5.(xx秋?揚(yáng)州期末)已知函數(shù)f(x)=(ax2+x+2)ex(a>0),其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù). (1)當(dāng)a=2時(shí),求f(x)的極值; (2)若f(x)在[﹣2,2]上是單調(diào)增函數(shù),求a的取值范圍; (3)當(dāng)a=1時(shí),求整數(shù)t的所有值,使方程f(x)=x+4在[t,t+1]上有解. 【答案】(1),;(2)a的取值范圍是.(3)t=﹣4,0. (2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f′(x)=[ax2+(2a+1)x+3]ex≥0在x∈[﹣2,2]上恒成立; 又ex>0即ax2+(2a+1)x+3≥0在x∈[﹣2,2]上恒成立; 令g(x)=ax2+(2a+1)x+3, ∵a>0,對(duì)稱軸 ①當(dāng)﹣1﹣≤﹣2,即時(shí),g(x)在[﹣2,2]上單調(diào)增, ∴g(x)的最小值g(x)=g(﹣2)=1>0,∴0<a≤ ②當(dāng)﹣2<﹣1﹣<0,即時(shí),g(x)在[﹣2,﹣1﹣]上單調(diào)減,在[﹣1﹣,2]上單調(diào)增, ∴△=(2a+1)2﹣12a≤0,解得:, ∴<a≤1+, 綜上,a的取值范圍是. 考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 6.某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車(chē)道,車(chē)道總寬20米,要求通行車(chē)輛限高4.5米,隧道口截面的拱線近似地看成拋物線形狀的一部分,如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系. (1)若最大拱高為6米,則隧道設(shè)計(jì)的拱寬是多少? (2)為了使施工的土方工程量最小,需隧道口截面面積最小. 現(xiàn)隧道口的最大拱高不小于6米,則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高和拱寬,使得隧道口截面面積最???(隧道口截面面積公式為) 【答案】(1)40(2)拱高為米,拱寬為米 (2)拋物線最大拱高為h米,,拋物線過(guò)點(diǎn),代入拋物線方程得: 令,則,解得:,則, 即 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)減,在上單調(diào)增,在時(shí)取得最小值,此時(shí), 答:當(dāng)拱高為米,拱寬為米時(shí),使得隧道口截面面積最小. 考點(diǎn):求拋物線方程,利用導(dǎo)數(shù)求最值 7.如圖,已知橢圓()的左、右焦點(diǎn)為、,是橢圓上一點(diǎn),在上,且滿足(),,為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)若橢圓方程為,且,求點(diǎn)的橫坐標(biāo); (2)若,求橢圓離心率的取值范圍 【答案】(1)(2) 直線的方程為:,直線的方程為: 由解得: 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 (2)設(shè) , 即 聯(lián)立方程得:,消去得: 解得:或 解得: 綜上,橢圓離心率的取值范圍為. 考點(diǎn):橢圓離心率 8.在極坐標(biāo)系中,圓的極坐標(biāo)方程為,已知,為圓上一點(diǎn),求面積的最小值. 【答案】 考點(diǎn):極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程 9.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:的離心率,左頂點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn),交軸于點(diǎn). (1)求橢圓的方程; (2)已知為的中點(diǎn),是否存在定點(diǎn),對(duì)于任意的都有,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在說(shuō)明理由; (3)若過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn),求的最小值. 【答案】(1);(2);(3) 【解析】 試題分析:(1)確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,只需兩個(gè)獨(dú)立條件即可:一個(gè)是左頂點(diǎn)為,所以,另一個(gè)是,所以,(2)實(shí)質(zhì)利用斜率k表示點(diǎn),P,E,假設(shè)存在定點(diǎn),使得,因此,即恒成立,從而即(3)利用斜率k表示點(diǎn)M,因此 ,本題思路簡(jiǎn)單,但運(yùn)算量較大. 試題解析:(1)因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為,所以,又,所以 又因?yàn)椋? 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 由,得 , 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào), 所以當(dāng)時(shí),的最小值為. 考點(diǎn):直線與橢圓位置關(guān)系 10.(本小題滿分16分)已知為實(shí)數(shù),函數(shù),函數(shù). (1)當(dāng)時(shí),令,求函數(shù)的極值; (2)當(dāng)時(shí),令,是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)于函數(shù)定義域中的任意實(shí)數(shù),均存在實(shí)數(shù),有成立,若存在,求出實(shí)數(shù)的取值集合;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1)的極小值為,無(wú)極大值.(2) 【解析】 試題解析:(1), ,令,得. 1分 列表: x 0 + ↘ 極小值 ↗ 所以的極小值為,無(wú)極大值. 4分 (2)當(dāng)時(shí),假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件,則在上恒成立. 5分 1)當(dāng)時(shí), 可化為, 令,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:對(duì)任意恒成立;(*) 則,,. 令,則. ①時(shí),因?yàn)椋? 故,所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減,, 2)當(dāng)時(shí),可化為, 令,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:對(duì)任意的恒成立;(**) 則,,. 令,則. ①時(shí),, 故,所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增,, 即,從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增,所以,此時(shí)(**)成立;11分 ②當(dāng)時(shí), ?。┤?,必有,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,即,從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減,所以,此時(shí)(**)不成立; 13分 ⅱ)若,則,所以當(dāng)時(shí), , 故函數(shù)在上單調(diào)遞減,,即,所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減,所以,此時(shí)(**)不成立; 所以當(dāng),恒成立時(shí),; 15分 綜上所述,當(dāng),恒成立時(shí), ,從而實(shí)數(shù)的取值集合為. 16分 考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性 11.在數(shù)列中,已知,,,,數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,,其中為正整數(shù). (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)問(wèn)是否存在正整數(shù),,使成立?若存在,求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1) , (2) 當(dāng)時(shí),,兩式相減得, 4分 所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成公差為2的等差,偶數(shù)項(xiàng)也成公差為2的等差 又,可解得 6分 因?yàn)?,所? 又,所以數(shù)列成公比為的等比數(shù)列 所以 8分 考點(diǎn):由數(shù)列和項(xiàng)求通項(xiàng),數(shù)列綜合應(yīng)用 12.已知橢圓的上頂點(diǎn)為,直線交橢圓于兩點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為. (1)若時(shí),求的值; (2)若時(shí),證明直線過(guò)定點(diǎn). 【答案】(1) (2)詳見(jiàn)解析 試題解析:(1)將直線方程代入橢圓方程得: 2分 解得4分 所以 6分 所以8分 (2) 設(shè)將直線方程代入橢圓方程得: 10分 考點(diǎn):直線與橢圓位置關(guān)系 13.如圖,過(guò)四棱柱形木塊上底面內(nèi)的一點(diǎn)和下底面的對(duì)角線將木塊鋸開(kāi),得到截面. (1)請(qǐng)?jiān)谀緣K的上表面作出過(guò)的鋸線,并說(shuō)明理由; (2)若該四棱柱的底面為菱形,四邊形時(shí)矩形,試證明:平面平面. 【答案】(1)如圖 (2)詳見(jiàn)解析 【解析】試題分析:(1)在上底面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的平行線分別交、于、兩點(diǎn),即即為所作的鋸線. 在四棱柱中,易知四邊形是平行四邊形即∥,再由(2)證明:由于四邊形是矩形,所以,又∥,所以.又因?yàn)樗睦庵牡酌媸橇庑?,所?因?yàn)?,平面,平面,所以平面,因?yàn)槠矫媸?,所以平面平? 考點(diǎn):1.平面與平面平行的性質(zhì)及其判定定理;2.平面與平面垂直的判定定理;3.線面垂直的判定定理; 14.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2. (1)求a,b,c,d的值; (2)若x≥-2時(shí),恒有f(x)≤kg(x),求k的取值范圍. 【答案】(1)因?yàn)榍€y=f(x)和曲線y=g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0,2),所以b=d=2;因?yàn)?,故?,故,故;所以, ; (2)令,則,由題設(shè)可得,故,令得, (1)若,則,從而當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí),即在上最小值為,此時(shí)f(x)≤kg(x)恒成立; (2)若, ,故在上單調(diào)遞增,因?yàn)樗詅(x)≤kg(x)恒成立 (3)若,則,故f(x)≤kg(x)不恒成立; 綜上所述k的取值范圍為. 考點(diǎn):用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì). 視頻 15.(xx秋?揚(yáng)州期末)某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車(chē)道,車(chē)道總寬20米,要求通行車(chē)輛限高4.5米,隧道口截面的拱線近似地看成拋物線形狀的一部分,如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系xOy. (1)若最大拱高h(yuǎn)為6米,則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少? (2)為了使施工的土方工程量最小,需隧道口截面面積最小.現(xiàn)隧道口的最大拱高h(yuǎn)不小于6米,則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l,使得隧道口截面面積最?。浚ㄋ淼揽诮孛婷娣e公式為S=lh) 【答案】(1)40米;(2)當(dāng)拱高為米,拱寬為米時(shí),使得隧道口截面面積最?。? (2)拋物線最大拱高為h米,h≥6,拋物線過(guò)點(diǎn)(10,﹣(h﹣)), 代入拋物線方程得: 令y=﹣h,則,解得:, 則,, ∵h(yuǎn)≥6,∴≥6,即20<l≤40, ∴, ∴, 當(dāng)時(shí),S<0;當(dāng)時(shí),S>0, 即S在上單調(diào)減,在(20,40]上單調(diào)增, ∴S在時(shí)取得最小值,此時(shí), 答:當(dāng)拱高為米,拱寬為米時(shí),使得隧道口截面面積最?。? 考點(diǎn):直線與圓錐曲線的關(guān)系. 16.設(shè)函數(shù)。 (1)當(dāng)時(shí),函數(shù)與在處的切線互相垂直,求的值; (2)若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào),求的取值范圍; (3)是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立?若存在,求出滿足條件的實(shí)數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。 【答案】(1)5;(2);(3)存在, ,理由見(jiàn)解析. (2)易知函數(shù)的定義域?yàn)椋? 又, 由題意,得的最小值為負(fù), (注:結(jié)合函數(shù)圖象同樣可以得到), , , (以下解法供參考,請(qǐng)酌情給分) 解法2: ,其中 根據(jù)條件對(duì)任意正數(shù)恒成立 即對(duì)任意正數(shù)恒成立 且,解得且, 即時(shí)上述條件成立此時(shí). 解法3: ,其中 設(shè) , 函數(shù)單調(diào)遞增, 函數(shù)單調(diào)遞減, 要使得對(duì)任意正數(shù)恒成立, 只能是函數(shù), 的與軸的交點(diǎn)重合,即,所以. 考點(diǎn):1.導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用;2.不等式恒成立問(wèn)題. 17.已知函數(shù),設(shè)數(shù)列滿足:,. (1)求證:,都有; (2)求證: 【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析 (2)由(1)可得 兩邊同時(shí)取為底的對(duì)數(shù),可得 化簡(jiǎn)為 所以數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列 ,化簡(jiǎn)求得:, 時(shí),, 時(shí), 時(shí),, . 考點(diǎn):數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列綜合應(yīng)用 18.已知函數(shù),其中,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) (1)若函數(shù)的圖像在處的切線與直線垂直,求的值. (2)關(guān)于的不等式在上恒成立,求的取值范圍. (3)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù). 【答案】(1)(2)(3)當(dāng)時(shí),有且僅有一個(gè)極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),有三個(gè)極值點(diǎn). 試題解析:(1)由題意,, 因?yàn)榈膱D象在處的切線與直線垂直, 所以,解得. (2)法一:由,得, 即對(duì)任意恒成立, 即對(duì)任意恒成立, 因?yàn)?,所以? (3)因?yàn)橛深}意,可得, 所以只有一個(gè)極值點(diǎn)或有三個(gè)極值點(diǎn). 令, ①若有且只有一個(gè)極值點(diǎn),所以函數(shù)的圖象必穿過(guò)x軸且只穿過(guò)一次, 即為單調(diào)遞增函數(shù)或者極值同號(hào). ?。┊?dāng)為單調(diào)遞增函數(shù)時(shí),在上恒成立,得…12分 ⅱ)當(dāng)極值同號(hào)時(shí),設(shè)為極值點(diǎn),則, 由有解,得,且, 考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值 19.對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù),若同時(shí)滿足下列條件: ①在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減; ②存在區(qū)間,使在上的值域?yàn)?;那么把()叫閉函數(shù). (1)求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間; (2)判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)?并說(shuō)明理由; (3)判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)?若是閉函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1);(2)不是閉函數(shù),理由見(jiàn)解析;(3). (2)取,則,即不是上的減函數(shù), 取,即不是上的增函數(shù), 所以函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,從而該函數(shù)不是閉函數(shù). (3)若是閉函數(shù),則存在區(qū)間,在區(qū)間上,函數(shù)的值域?yàn)椋? 即,∴為方程的兩個(gè)實(shí)根, 即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根, 當(dāng)時(shí),有,解得,當(dāng)時(shí),有,無(wú)解. 綜上所述,. 考點(diǎn):1、新定義;2、函數(shù)的單調(diào)性;3、不等式的解法. 20.(本題滿分16分)已知函數(shù), . (1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍; (2)若直線是函數(shù)圖象的切線,求的最小值; (3)當(dāng)時(shí),若與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),求證: .(取為,取為,取為) 【答案】(1)(2).(3)詳見(jiàn)解析 ∴,即,為研究等式右邊范圍構(gòu)造函數(shù),易得在上單調(diào)遞增,因此當(dāng)時(shí),有即,所以,再利用基本不等式進(jìn)行放縮: , 即,再一次構(gòu)造函數(shù),易得其在上單調(diào)遞增,而,因此,即. (3)由題意知, , 兩式相加得,兩式相減得, 考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)幾何意義,導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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