2019-2020年高二數(shù)學下學期期末試卷 理（含解析）.doc

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2019-2020年高二數(shù)學下學期期末試卷 理（含解析） 　 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．復(fù)數(shù)等于（　　） 　 A． 1+2i B． 1﹣2i C． 2+i D． 2﹣i 　 2．A={x||x﹣1|≥1，x∈R}，B={x|log2x＞1，x∈R}，則“x∈A”是“x∈B”的（　?。? 　 A． 充分非必要條件 B． 必要非充分條件 　 C． 充分必要條件 D． 既非充分也非必要條件 　 3．類比下列平面內(nèi)的三個結(jié)論所得的空間內(nèi)的結(jié)論成立的是（　?。? ①平行于同一直線的兩條直線平行； ②一條直線如果與兩條平行直線中的一條垂直，則必與另一條垂直； ③如果一條直線與兩條平行直線中的一條相交，則必與另一條相交． 　 A． ①② B． ①③ C． ① D． ②③ 　 4．從字母a，b，c，d，e，f中選出4個字母排成一列，其中一定要選出a和b，并且必須相鄰（a在b的前面），共有排列方法（　?。┓N． 　 A． 36 B． 72 C． 90 D． 144 　 5．已知命題p：若x＞y，則﹣x＜﹣y；命題q：若x＜y，則x2＞y2；在下列命題中：（1）p∧q；（2）p∨q；（3）p∧（￢q）；（4）（￢p）∨q，真命題是（　?。? 　 A． （1）（3） B． （1）（4） C． （2）（3） D． （2）（4） 　 6．下列推理過程是演繹推理的是（　?。? 　 A． 由平面三角形的性質(zhì)推測空間三棱錐的性質(zhì) 　 B． 某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人數(shù)都超過50人 　 C． 兩條直線平行，同位角相等；若∠A與∠B是兩條平行直線的同位角，則∠A=∠B 　 D． 在數(shù)列{an}中，a1=2，an=2an﹣1+1（n≥2），由此歸納出{an}的通項公式 　 7．函數(shù)y=ax3﹣x在（﹣∞，+∞）上的減區(qū)間是[﹣1，1]，則（　　） 　 A． a= B． a=1 C． a=2 D． a≤0 　 8．某12人的興趣小組中，有5名“三好生”，現(xiàn)從小組中任意選6人參加競賽，用ξ表示這6人中“三好生”的人數(shù)，則下列概率中等于的是（　?。? 　 A． P（ξ=2） B． P（ξ=3） C． P（ξ≤2） D． P（ξ≤3） 　 9．若（1+2x）xx=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+axxx（x∈R），則﹣+﹣+…+﹣的值為（　?。? 　 A． ﹣2 B． ﹣1 C． 1 D． 2 　 10．已知定義在實數(shù)集R的函數(shù)f（x）滿足f（1）=4，且f（x）導(dǎo)函數(shù)f′（x）＜3，則不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集為（　?。? 　 A． （1，+∞） B． （e，+∞） C． （0，1） D． （0，e） 　 　 二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.） 11．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，δ2），p（ξ≤3）=0.8413，則P（ξ≤1）=　　　　　　． 　 12．設(shè)動點P（x，y）滿足，則z=5x+2y的最大值是　　　　　　． 　 13．已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的圖象如圖所示，它與直線y=0在原點處相切，此切線與函數(shù)圖象所圍區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為，則a的值為　　　　　?。? 　 14．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去（每次跳躍時，均從一葉跳到另一葉），而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，如圖所示，假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上，則跳三次之后停在A葉上的概率是　　　　　　． 　 15．定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x∈（﹣∞，0）時，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=（logπ3）?f（logπ3），c=﹣2f（﹣2），則a，b，c的大小關(guān)系為　　　　　　． 　 　 三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 16．命題p：關(guān)于x的不等式x2+2ax+4＞0，對一切x∈R恒成立，命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）=（3﹣2a）x是增函數(shù)，若p∨q為真，p∧q為假，求實數(shù)a的取值范圍． 　 17．已知復(fù)數(shù)z=1﹣i（i是虛數(shù)單位），函數(shù)f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|． （Ⅰ）若，求實數(shù)a，b的值； （Ⅱ）解不等式f（x）＞． 　 18．觀察下列等式 照此規(guī)律下去 （Ⅰ）寫出第5個等式； （Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？請用數(shù)學歸納法證明猜想． 　 19．如圖所示，一根水平放置的長方體枕木的安全負荷與它的厚度d的平方和寬度a的乘積成正比，與它的長度l的平方成反比． （Ⅰ）在a＞d＞0的條件下，將此枕木翻轉(zhuǎn)90（即寬度變?yōu)榱撕穸龋?，枕木的安全負荷會發(fā)生變化嗎？變大還是變??？ （Ⅱ）現(xiàn)有一根橫截面為半圓（半圓的半徑為R=）的柱形木材，用它截取成橫截面為長方形的枕木，其長度即為枕木規(guī)定的長度l，問橫截面如何截取，可使安全負荷最大？ 　 20．一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得﹣200分）．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立． （Ⅰ）設(shè)每盤游戲獲得的分數(shù)為X，求X的分布列； （Ⅱ）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？ 　 21．已知函數(shù)f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R． （Ⅰ）當時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）時，令，求h（x）在[1，e]的最大值和最小值； （Ⅲ）當x∈[1，+∞）時，函數(shù)y=f（x）圖象上的點都在不等式組所表示的區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)a的取值范圍． 　 　  xx山東省濰坊市高二（下）期末數(shù)學試卷（理科） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．復(fù)數(shù)等于（　?。? 　 A． 1+2i B． 1﹣2i C． 2+i D． 2﹣i 考點： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 專題： 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)． 分析： 將分子和分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再利用兩個向量的乘法法則化簡． 解答： 解：復(fù)數(shù)===2+i， 故選C． 點評： 本題考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則的應(yīng)用，兩個復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)． 　 2．A={x||x﹣1|≥1，x∈R}，B={x|log2x＞1，x∈R}，則“x∈A”是“x∈B”的（　　） 　 A． 充分非必要條件 B． 必要非充分條件 　 C． 充分必要條件 D． 既非充分也非必要條件 考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 專題： 簡易邏輯． 分析： 根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可． 解答： 解：A={x||x﹣1|≥1，x∈R}={x|x≥2或x≤0}， B={x|log2x＞1，x∈R}={x|x＞2}， 則B?A， 則“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件， 故選：B 點評： 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的解法求出等價條件是解決本題的關(guān)鍵． 　 3．類比下列平面內(nèi)的三個結(jié)論所得的空間內(nèi)的結(jié)論成立的是（　?。? ①平行于同一直線的兩條直線平行； ②一條直線如果與兩條平行直線中的一條垂直，則必與另一條垂直； ③如果一條直線與兩條平行直線中的一條相交，則必與另一條相交． 　 A． ①② B． ①③ C． ① D． ②③ 考點： 類比推理． 專題： 推理和證明． 分析： 對每個命題進行判斷，即可得出結(jié)論 解答： 解：根據(jù)平行公理，可知①正確； ②如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則必與另一條垂直，符合異面直線所成角的定義，故正確； ③如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，與另一條不一定相交，也可能異面，故不正確． 故選：A． 點評： 本題考查了線線的平行和垂直定理，借助于具體的事物有助于理解，還能培養(yǎng)立體感． 　 4．從字母a，b，c，d，e，f中選出4個字母排成一列，其中一定要選出a和b，并且必須相鄰（a在b的前面），共有排列方法（　?。┓N． 　 A． 36 B． 72 C． 90 D． 144 考點： 排列、組合及簡單計數(shù)問題． 專題： 排列組合． 分析： 再從剩余的4個字母中選取2個，方法有種，再將這2個字母和整體ab進行排列，方法有=6種，根據(jù)分步計數(shù)原理求得結(jié)果． 解答： 解：由于ab已經(jīng)選出，故再從剩余的4個字母中選取2個，方法有=6種， 再將這2個字母和整體ab進行排列，方法有=6種， 根據(jù)分步計數(shù)原理求得所有的排列方法共有 66=36種， 故選：A． 點評： 本題主要考查排列與組合及兩個基本原理的應(yīng)用，屬于中檔題． 　 5．已知命題p：若x＞y，則﹣x＜﹣y；命題q：若x＜y，則x2＞y2；在下列命題中：（1）p∧q；（2）p∨q；（3）p∧（￢q）；（4）（￢p）∨q，真命題是（　?。? 　 A． （1）（3） B． （1）（4） C． （2）（3） D． （2）（4） 考點： 復(fù)合命題的真假． 專題： 簡易邏輯． 分析： 容易判斷命題p是真命題，q是假命題，根據(jù)p∧q，p∨q，￢p，￢q的真假和p，q真假的關(guān)系，這樣即可找出真命題． 解答： 解：顯然命題p是真命題，x＜y得不到x2＞y2，比如x=2，y=3時便得不到22＞32，所以命題q是假命題； ∴p∧q為假命題，p∨q為真命題，￢q為真命題，p∧（￢q）為真命題，￢p為假命題，（￢p）∨q為假命題； ∴真命題是（2）（3）． 故選：C． 點評： 考查不等式的性質(zhì)，不等式兩邊平方時，不等號方向可能變可能不變，p∧q，p∨q，￢q，￢p的真假和p，q真假的關(guān)系． 　 6．下列推理過程是演繹推理的是（　?。? 　 A． 由平面三角形的性質(zhì)推測空間三棱錐的性質(zhì) 　 B． 某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人數(shù)都超過50人 　 C． 兩條直線平行，同位角相等；若∠A與∠B是兩條平行直線的同位角，則∠A=∠B 　 D． 在數(shù)列{an}中，a1=2，an=2an﹣1+1（n≥2），由此歸納出{an}的通項公式 考點： 演繹推理的基本方法． 專題： 推理和證明． 分析： 根據(jù)三種推理的定義及特點，逐一分析四個答案中的推理過程，可得結(jié)論． 解答： 解：A中，由平面三角形的性質(zhì)推測空間三棱錐的性質(zhì)是類比推理； B中，某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人數(shù)都超過50人，是歸納推理； C中，兩條直線平行，同位角相等；若∠A與∠B是兩條平行直線的同位角，則∠A=∠B，是演繹推理； D中，在數(shù)列{an}中，a1=2，an=2an﹣1+1（n≥2），由此歸納出{an}的通項公式，是歸納推理． 故選：C 點評： 本題考查的知識點是演繹推理的特征，熟練掌握三種推理的定義及特點，是解答的關(guān)鍵． 　 7．函數(shù)y=ax3﹣x在（﹣∞，+∞）上的減區(qū)間是[﹣1，1]，則（　?。? 　 A． a= B． a=1 C． a=2 D． a≤0 考點： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 專題： 導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用． 分析： 由f（x）=ax3+x的減區(qū)間為[﹣1，1]，得f′（x）=3ax2﹣1=0的兩個根為﹣1，1，解出a即可． 解答： 解：f′（x）=3ax2﹣1 由題意得3ax2﹣1=0的根為﹣1，1 則3a﹣1=0，所以a=． 故選A 點評： 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可導(dǎo)函數(shù)f（x）=0的根即為單調(diào)區(qū)間的端點值，屬于簡單題型． 　 8．某12人的興趣小組中，有5名“三好生”，現(xiàn)從小組中任意選6人參加競賽，用ξ表示這6人中“三好生”的人數(shù)，則下列概率中等于的是（　?。? 　 A． P（ξ=2） B． P（ξ=3） C． P（ξ≤2） D． P（ξ≤3） 考點： 古典概型及其概率計算公式． 專題： 概率與統(tǒng)計． 分析： 先求出從12人選6人共有的種數(shù)，若ξ=3求出對應(yīng)的種數(shù)，根據(jù)概率公式計算即可． 解答： 解：從12人選6人共有C126種 若ξ=3，則6人中“三好生”的人數(shù)3人的種數(shù)為C53C73種，則P（ξ=3）=， 故選：B． 點評： 本題主要考查等可能事件的概率，屬于基礎(chǔ)題． 　 9．若（1+2x）xx=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+axxx（x∈R），則﹣+﹣+…+﹣的值為（　　） 　 A． ﹣2 B． ﹣1 C． 1 D． 2 考點： 二項式定理的應(yīng)用． 專題： 二項式定理． 分析： 利用賦值法先令x=0，得a0=1，然后再令x=﹣，即可得到結(jié)論． 解答： 解：令x=0，得a0=1， 令x=﹣，得a0+a1（﹣）+a2（﹣）2+a3（﹣）x3+…+axx（﹣）xxx=1﹣+﹣+…+﹣=（1﹣2）xx=0， 則﹣+﹣+…+﹣=﹣1， 故選：B 點評： 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，根據(jù)展開式的特點，利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵． 　 10．已知定義在實數(shù)集R的函數(shù)f（x）滿足f（1）=4，且f（x）導(dǎo)函數(shù)f′（x）＜3，則不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集為（　　） 　 A． （1，+∞） B． （e，+∞） C． （0，1） D． （0，e） 考點： 導(dǎo)數(shù)的運算；其他不等式的解法． 專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： 構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）﹣2x﹣1，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性 即可得到結(jié)論 解答： 解：設(shè)t=lnx， 則不等式f（lnx）＜3lnx+1等價為f（t）＜3t+1， 設(shè)g（x）=f（x）﹣3x﹣1， 則g′（x）=f′（x）﹣3， ∵f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＜3， ∴g′（x）=f′（x）﹣3＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減， ∵f（1）=4， ∴g（1）=f（1）﹣3﹣1=0， 則當x＞1時，g（x）＜g（1）=0， 即g（x）＜0，則此時g（x）=f（x）﹣3x﹣1＜0， 即不等式f（x）＜3x+1的解為x＞1， 即f（t）＜3t+1的解為t＞1， 由lnx＞1，解得x＞e， 即不等式f（lnx）＜3lnx+1的解集為（e，+∞）， 故選：D． 點評： 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題． 　 二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.） 11．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，δ2），p（ξ≤3）=0.8413，則P（ξ≤1）=　0.1587?。? 考點： 正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義． 專題： 計算題． 分析： 根據(jù)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），看出這組數(shù)據(jù)對應(yīng)的正態(tài)曲線的對稱軸ξ=2，根據(jù)正態(tài)曲線的特點，得到P（ξ≤1）=P（ξ＞3）=1﹣P（ξ≤3），得到結(jié)果． 解答： 解：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，δ2）， 所以P（2≤ξ≤3）=P（1≤ξ≤2），P（ξ＞2）=P（ξ＜2）， 故P（ξ≤1）=P（ξ＞3）=1﹣P（ξ≤3）=1﹣0.8413=0.1587． 故答案為：0.1587． 點評： 本題考查正態(tài)分布，正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．若一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似的服從正態(tài)分布． 　 12．設(shè)動點P（x，y）滿足，則z=5x+2y的最大值是　100?。? 考點： 簡單線性規(guī)劃． 專題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合求出z的最大值． 解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABCO）． 由z=5x+2y得y=﹣x+， 平移直線y=﹣x+， 由圖象可知當直線y=﹣x+經(jīng)過點C（20，0）時， 直線y=﹣x+的截距最大，此時z最大． 代入目標函數(shù)z=5x+2y得z=520=100． 即目標函數(shù)z=5x+2y的最大值為100． 故答案為：100． 點評： 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法． 　 13．已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的圖象如圖所示，它與直線y=0在原點處相切，此切線與函數(shù)圖象所圍區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為，則a的值為　﹣3　． 考點： 定積分． 專題： 計算題． 分析： 由圖可知f（x）=0得到x的解確定出b的值，確定出f（x）的解析式，由于陰影部分面積為，利用定積分求面積的方法列出關(guān)于a的方程求出a并判斷a的取舍即可． 解答： 解：由圖知方程f（x）=0有兩個相等的實根x1=x2=0，于是b=0， ∴f（x）=x2（x+a），有， ∴a=3． 又﹣a＞0?a＜0，得a=﹣3． 故答案為：﹣3． 點評： 考查學生利用定積分的方法求平面圖形面積的能力． 　 14．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去（每次跳躍時，均從一葉跳到另一葉），而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，如圖所示，假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上，則跳三次之后停在A葉上的概率是　?。? 考點： 相互獨立事件的概率乘法公式． 專題： 概率與統(tǒng)計． 分析： 根據(jù)條件先求出逆時針和順時針跳的概率，然后根據(jù)跳3次回到A，則應(yīng)滿足3次逆時針或者3次順時針，根據(jù)概率公式即可得到結(jié)論 解答： 解：設(shè)按照順時針跳的概率為p，則逆時針方向跳的概率為2p，則p+2p=3p=1， 解得p=，即按照順時針跳的概率為，則逆時針方向跳的概率為， 若青蛙在A葉上，則跳3次之后停在A葉上， 則滿足3次逆時針或者3次順時針， ①若先按逆時針開始從A→B，則對應(yīng)的概率為=， ②若先按順時針開始從A→C，則對應(yīng)的概率為==， 則概率為+=． 故答案為： 點評： 本題主要考查概率的計算，利用獨立重復(fù)試驗的概率公式是解決本題的關(guān)鍵． 　 15．定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x∈（﹣∞，0）時，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=（logπ3）?f（logπ3），c=﹣2f（﹣2），則a，b，c的大小關(guān)系為　b＜c＜a?。? 考點： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的運算． 專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： 構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論． 解答： 解：設(shè)g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x）， ∵當x∈（﹣∞，0）時，f（x）+xf′（x）＜0恒成立， ∴此時g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，即此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減， ∵f（x）是奇函數(shù)，∴g（x）=xf（x）是偶函數(shù)， 即當x＞0時，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增， 則a=3f（3）=g（3），b=（logπ3）?f（logπ3）=g（logπ3），c=﹣2f（﹣2）=g（﹣2）=g（2）， ∵0＜logπ3＜1＜2＜3， ∴g（logπ3）＜g（2）＜g（3）， 即b＜c＜a， 故答案為：b＜c＜a． 點評： 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵． 　 三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 16．命題p：關(guān)于x的不等式x2+2ax+4＞0，對一切x∈R恒成立，命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）=（3﹣2a）x是增函數(shù)，若p∨q為真，p∧q為假，求實數(shù)a的取值范圍． 考點： 命題的真假判斷與應(yīng)用；復(fù)合命題的真假；二次函數(shù)的性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點． 專題： 計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 由p∨q為真，p∧q為假，知p為真，q為假，或p為假，q為真．由此利用二元一次不等式和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，能求出實數(shù)a的取值范圍． 解答： 解：∵p∨q為真，p∧q為假，∴p為真，q為假，或p為假，q為真． ①當p為真，q為假時， ，解得1＜a＜． ②當p為假，q為真時， ，解得a≤﹣2 綜上，實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤﹣2或1＜a＜}． 點評： 本題考查命題的真假判斷，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，仔細解答． 　 17．已知復(fù)數(shù)z=1﹣i（i是虛數(shù)單位），函數(shù)f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|． （Ⅰ）若，求實數(shù)a，b的值； （Ⅱ）解不等式f（x）＞． 考點： 絕對值不等式的解法． 專題： 不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)． 分析： （Ⅰ）求出z2，然后利用，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件列出方程組求解即可． （Ⅱ）轉(zhuǎn)化|2x+1|﹣|x﹣4|＞2，通過令y=|2x+1|﹣|x﹣4|，畫出函數(shù)的圖象，然后求解不等式的解． 解答： 解：（Ⅰ）復(fù)數(shù)z=1﹣i，z2=（1﹣i）2=﹣2i，…（1分） 由，得﹣2i+a（1+i）+b=3﹣3i，…（2分） 即（a+b）+（a﹣2）i=3﹣3i，所以，解得a=﹣1，b=4； …（6分） （Ⅱ）由（1）知，b=4．所以f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|＞2…（7分） 令y=|2x+1|﹣|x﹣4|，則…（10分） 作出函數(shù)y=|2x+1|﹣|x﹣4|的圖象，它與直線y=2的交點為（﹣7，2）和．…（1分） 所以|2x+1|﹣|x﹣4|＞2的解集為…（12分） 注：用零點分區(qū)間法相應(yīng)給分． 點評： 本題考查絕對值不等式的解法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的基本運算，考查計算能力以及作圖能力． 　 18．觀察下列等式 照此規(guī)律下去 （Ⅰ）寫出第5個等式； （Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？請用數(shù)學歸納法證明猜想． 考點： 數(shù)學歸納法；歸納推理． 專題： 點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法． 分析： （Ⅰ）利用條件直接寫出第5個等式． （Ⅱ）猜測第n個等式為n+（n+1）+（n+2）+…（3n﹣2）=（2n﹣1）2，然后利用數(shù)學歸納法的證明步驟證明即可． 解答： 解：（Ⅰ）第5個等式 5+6+7+…+13=81…（3分） （Ⅱ）猜測第n個等式為n+（n+1）+（n+2）+…（3n﹣2）=（2n﹣1）2…（6分） 證明：（1）當n=1時顯然成立；…（7分） （2）假設(shè)n=k（k≥1，k∈N+）時也成立， 即有k+（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）=（2k﹣1）2…（8分） 那么當n=k+1時左邊=（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（3k﹣1）+（3k）+（3k+1） =k+（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（2k﹣1）+3k+3k+1 =（2k﹣1）2+（2k﹣1）+（3k）+（3k+1） =4k2﹣4k+1+8k=（2k+1）2=[2（k+1）﹣1]2…（11分） 而右邊=[2（k+1）﹣1]2 這就是說n=k+1時等式也成立． 根據(jù)（1）（2）知，等式對任何n∈N+都成立．…（12分） 點評： 本題考查數(shù)學歸納法的證明步驟的應(yīng)用，歸納推理的方法，考查計算能力． 　 19．如圖所示，一根水平放置的長方體枕木的安全負荷與它的厚度d的平方和寬度a的乘積成正比，與它的長度l的平方成反比． （Ⅰ）在a＞d＞0的條件下，將此枕木翻轉(zhuǎn)90（即寬度變?yōu)榱撕穸龋?，枕木的安全負荷會發(fā)生變化嗎？變大還是變?。? （Ⅱ）現(xiàn)有一根橫截面為半圓（半圓的半徑為R=）的柱形木材，用它截取成橫截面為長方形的枕木，其長度即為枕木規(guī)定的長度l，問橫截面如何截取，可使安全負荷最大？ 考點： 導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （Ⅰ）設(shè)安全負荷為，求出翻轉(zhuǎn)90后的表達式，然后求解比值的最大值． （Ⅱ）設(shè)截取的寬為a（0＜a＜2），高為d，，得到安全負荷為 令，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解最大值即可． 解答： 解：（Ⅰ）設(shè)安全負荷為，…（1分） 翻轉(zhuǎn)90后，…（2分） 可得：，…（3分） 當a＞d＞0時，＜1 此時枕木的安全負荷變大．…（5分） （Ⅱ）設(shè)截取的寬為a（0＜a＜2），高為d，，∴a2+d2=12 …（6分） 其長度l及k為定值，安全負荷為 令，…（8分） 此時…（9分） 由g′（a）＜0，可得， ∴…（11分） 所以當寬a=2時，g（a）取得取大值，此時高， 所以，當寬a=2，高時，安全負荷最大…（12分） 點評： 本題可拆式的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，實際問題的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力． 　 20．一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得﹣200分）．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立． （Ⅰ）設(shè)每盤游戲獲得的分數(shù)為X，求X的分布列； （Ⅱ）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？ 考點： 離散型隨機變量及其分布列；互斥事件的概率加法公式；相互獨立事件的概率乘法公式． 專題： 概率與統(tǒng)計． 分析： （Ⅰ）X可能的取值為10，20，100，﹣200．運用幾何概率公式得出求解相應(yīng)的概率，得出分布列． （Ⅱ）利用對立事件求解得出P（A1）=P（A2）=P（A3）=P（X=﹣200）=，求解P（A1A2A3）即可得出1﹣P（A1A2A3）． 解答： 解：（1）X可能的取值為10，20，100，﹣200．根據(jù)題意，有 P（X=10）=（）1（1﹣）2=， P（X=20）=（）2（1﹣）1=， P（X=100）=（）3（1﹣）0=， P（X=﹣200）=（）0（1﹣）3=． 以X的分布列為： X 10 20 100 ﹣200 P （Ⅱ）解：設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai（i=1，2，3），則 P（A1）=P（A2）=P（A3）=P（X=﹣200）=， 所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為1﹣P（A1A2A3）=1﹣（）3=． 因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是． 點評： 本題考查了離散型的概率分布問題，幾何互斥事件，對立事件概率求解即可，屬于中檔題，準確計算，思路清晰． 　 21．已知函數(shù)f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R． （Ⅰ）當時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）時，令，求h（x）在[1，e]的最大值和最小值； （Ⅲ）當x∈[1，+∞）時，函數(shù)y=f（x）圖象上的點都在不等式組所表示的區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)a的取值范圍． 考點： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （Ⅰ）通過，函數(shù)f（x），求出定義域以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并分解因式，①當0＜x＜2時，當x＞2時，分別求解導(dǎo)函數(shù)的符號，推出函數(shù)得到單調(diào)區(qū)間． （Ⅱ）求出h（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令h′（x）=0求出極值點，利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解最值． （Ⅲ）由題意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1對x∈[1，+∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），轉(zhuǎn)化為g（x）max≤0，x∈[1，+∞），然后利用導(dǎo)數(shù)，通過①當a≤0時，②當時，③當時，分別求解a的范圍，即可． 解答： 解：（Ⅰ）當時，f（x）=（x﹣1）2+lnx，（x＞0）…（1分） f′（x）===，…（2分） ①當0＜x＜2時，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）單調(diào)遞增； 當x＞2時，f′（x）＜0，f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減； 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．…（4分） （Ⅱ）時，令=（x﹣1）2+lnx=， ∴，令h′（x）=0得．…（5分） 當時h′（x）＜0，當時h（x）＞0， 故是函數(shù)h（x）在[1，e]上唯一的極小值點，…（6分） 故，又，， 所以h（x）max==…（8分） 注：列表也可． （Ⅲ）由題意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1對x∈[1，+∞）恒成立，…（9分） 設(shè)g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），則g（x）max≤0，x∈[1，+∞） 求導(dǎo)得，…（10分） ①當a≤0時，若x＞1，則g′（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；…（11分） ②當時，，g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增， 所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，則不成立；…（12分） ③當時，，則f（x）在[1，]上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增， 則存在，有， 所以不成立，…（13分） 綜上得a≤0．…（14分） 點評： 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值以及分類討論思想，考查計算能力轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．