2019-2020年高考數(shù)學(xué) 常見(jiàn)題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第77講 軌跡方程的求法.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 常見(jiàn)題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第77講 軌跡方程的求法 【知識(shí)要點(diǎn)】 一、“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義 在直角坐標(biāo)系中,如果曲線上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系:(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解(純粹性);(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上(完備性).那么,這個(gè)方程叫做曲線的方程,這條曲線叫做方程的曲線. 二、求簡(jiǎn)單的曲線方程的一般步驟:建設(shè)限代化 (1) 建立直角坐標(biāo)系:利用垂直性和對(duì)稱性建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系; (2) 設(shè)點(diǎn):用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(不要把其它的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)成); (3) 列出動(dòng)點(diǎn)滿足的限制條件:用坐標(biāo)表示條件,列出方程; (4) 代點(diǎn)坐標(biāo)到方程; (5) 化簡(jiǎn):化方程為最簡(jiǎn)形式; (6) 檢驗(yàn):檢驗(yàn)?zāi)承┨厥恻c(diǎn)是否滿足題意,把不滿足的點(diǎn)排除,把滿足的點(diǎn)補(bǔ)充上來(lái).(可以省略) 三、求軌跡方程的四種主要方法 :軌跡四法 待代直參 (1)待定系數(shù)法:通過(guò)對(duì)已知條件的分析,發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)滿足某個(gè)曲線(圓、圓錐曲線)的定義,然后設(shè)出曲線的方程,求出其中的待定系數(shù),從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. (2)代入法:如果點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引起的,可以先用點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo),然后代入點(diǎn)滿足的方程,即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. (3)直接法:直接把已知的方程和條件化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. (4)參數(shù)法:動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)主要是由于某個(gè)參數(shù)的變化引起的,可以選參、設(shè)參,然后用這個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),即,再消參. 四、軌跡和軌跡方程 軌跡和軌跡方程是兩個(gè)不同的概念,軌跡表示的曲線的簡(jiǎn)單特征的描述,而求軌跡方程只求那個(gè)方程即可,不需描述曲線的特征. 【方法講評(píng)】 方法一 直接法 使用情景 已知中或圖形中有動(dòng)點(diǎn)滿足的方程. 解題步驟 直接把動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知的方程化簡(jiǎn)即可. 【例1】線段與互相垂直平分于點(diǎn),,,動(dòng)點(diǎn)滿足,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. 【解析】 【點(diǎn)評(píng)】(1)這種題目由于已知中沒(méi)有直角坐標(biāo)系,所以首先要根據(jù)垂直性和對(duì)稱性建立直角坐標(biāo)系,由于建立坐標(biāo)系的方法有多種,所以求出的軌跡方程有多種,但是都是對(duì)的;(2)這道題是直接用坐標(biāo)化簡(jiǎn)已知中的得到的軌跡方程,運(yùn)用的是直接法. 【例2】 已知圓: ,由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線、,切點(diǎn)分別為、,并且,求點(diǎn)的軌跡. 【點(diǎn)評(píng)】(1)這道題運(yùn)用的是直接法,但是它是把已知條件轉(zhuǎn)化得到的一個(gè)等式,不是現(xiàn)存的等式.(2)軌跡和軌跡方程是兩個(gè)不同的概念,軌跡包含軌跡方程和對(duì)軌跡方程表示的曲線的簡(jiǎn)單特征的描述,而求軌跡方程只求那個(gè)方程即可,不需描述曲線的特征.所以本題要描述軌跡的基本特征. 【反饋檢測(cè)1】在平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,動(dòng)點(diǎn)滿足:直線與直線的斜率之積為. (1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程; (2)設(shè)為動(dòng)點(diǎn)的軌跡的左右頂點(diǎn),為直線上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不在x軸上),連[交的軌跡于點(diǎn),連并延長(zhǎng)交的軌跡于點(diǎn),試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)?若成立,請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo),若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【反饋檢測(cè)2】一條雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn),是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn). (1)求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程式; (2)若過(guò)點(diǎn)()的兩條直線和與軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn),且 ,求的值. 方法二 待定系數(shù)法 使用情景 通過(guò)已知條件的分析可以得到動(dòng)點(diǎn)滿足某種曲線(圓、圓錐曲線)的定義. 解題步驟 (1)分析出動(dòng)點(diǎn)滿足的方程;(2)證明動(dòng)點(diǎn)滿足某曲線(圓、圓錐曲線)的定義;(3)設(shè)出該曲線的待定系數(shù)方程;(4)求出待定系數(shù),即得所求的軌跡方程. 【例3】 已知?jiǎng)訄AP與兩定圓和都外切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程. 【點(diǎn)評(píng)】(1)此道題通過(guò)對(duì)已知的分析得到,即動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差是一個(gè)常數(shù),與雙曲線的定義相符,所以其軌跡是雙曲線的一支,利用的是待定系數(shù)法;(2)利用待定系數(shù)法求軌跡方程時(shí),一定要比較全面地分析條件和曲線的定義,看是曲線的全部,還是曲線的部分,此題也不是雙曲線的全部,是雙曲線的一支. 【例4】已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到點(diǎn)到直線的距離小4; (Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程; (Ⅱ)若曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l:對(duì)稱,求直線的方程. 【解析】(1)結(jié)合圖形知,點(diǎn)不可能在軸的左側(cè),即到點(diǎn)的距離等于到直線的距離的軌跡是拋物線,為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的軌跡方程是: (2)設(shè)則 相減得 又的斜率為-4則 中點(diǎn)的坐標(biāo)為, 即 經(jīng)檢驗(yàn),此時(shí),與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),滿足題意. 【點(diǎn)評(píng)】(1)本題的第一問(wèn)利用的就是待定系數(shù)法,通過(guò)對(duì)動(dòng)點(diǎn)的分析,發(fā)現(xiàn)它滿足拋物線的定義,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線.(2)第二小問(wèn)利用了點(diǎn)差法,可以提高解題效率. 【反饋檢測(cè)3】已知垂直平分線與交于點(diǎn). (1)求點(diǎn)的軌跡方程; (2)已知點(diǎn), 過(guò)點(diǎn)且斜率為()的直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn),直線,分別交直線于點(diǎn),,線段的中點(diǎn)為,記直線的斜率為.求證:為定值. 方法三 代入法 使用情景 某被動(dòng)點(diǎn)之所以在運(yùn)動(dòng),是因?yàn)橹鲃?dòng)點(diǎn)在某曲線上運(yùn)動(dòng)引起的. 解題步驟 (1)先利用被動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo);(2)把動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入它滿足的方程化簡(jiǎn). 【例5】已知拋物線和點(diǎn),為拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)在線段上且,當(dāng)點(diǎn)在該拋物線上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡方程. 【點(diǎn)評(píng)】點(diǎn)之所以在動(dòng),就是因?yàn)辄c(diǎn)在動(dòng),所以點(diǎn)是被動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是主動(dòng)點(diǎn),這種情景,應(yīng)該利用代入法求軌跡方程. 【反饋檢測(cè)4】 已知的頂點(diǎn),頂點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng),求的重心的軌跡方程. 方法四 消參法 使用情景 如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)主要是由于某個(gè)參數(shù)的變化引起的. 解題步驟 (1)選參設(shè)參;(2)用這個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),即;(3)消去參數(shù),化簡(jiǎn). 【例6】已知曲線 (1)證明:當(dāng)時(shí),曲線是一個(gè)圓; (2)求證圓心在一條定直線上. 【點(diǎn)評(píng)】(1)此題求圓心在一定直線上,就是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條直線;(2)圓心的運(yùn)動(dòng)主要是因?yàn)閰?shù)引起的,所以選用消參法解答. 【反饋檢測(cè)5】 已知線段,直線垂直平分于,在上取兩點(diǎn),使有向線段滿足,求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程. 高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型解法歸納及反饋檢測(cè)第77講: 軌跡方程的求法參考答案 【反饋檢測(cè)1答案】(1);(2)直線恒過(guò)定點(diǎn). 【反饋檢測(cè)2答案】(1);(2). 【反饋檢測(cè)2詳細(xì)解析】由雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為得. 所以 兩式相乘得 而點(diǎn)在雙曲線上,所以即 故,即. (2)設(shè),則由知,. 將代入得 ,即, 由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知,,即. 同理,由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知,,消去得,即,從而,即. 【反饋檢測(cè)3答案】(1);(2). (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,0),且斜率為()的直線方程為,設(shè)點(diǎn),點(diǎn), 將直線方程代入橢圓: , 整理得:, 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi),所以直線和橢圓都相交,恒成立, 且. 直線的方程為,直線的方程為, 令,得點(diǎn),點(diǎn), 所以點(diǎn)的坐 直線的斜率為 . 將代入上式得, . 所以為定值. 【反饋檢測(cè)4答案】 【反饋檢測(cè)5答案】 【反饋檢測(cè)5詳細(xì)解析】如圖2,以線段所在直線為軸,以線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系. 設(shè)點(diǎn),則由題意,得. 由點(diǎn)斜式得直線的方程分別為. 兩式相乘,消去,得. 這就是所求點(diǎn)的軌跡方程.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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