2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》說(shuō)課稿 北師大版必修5.doc

《2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》說(shuō)課稿 北師大版必修5.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》說(shuō)課稿 北師大版必修5.doc（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》說(shuō)課稿 北師大版必修5 各位專家、各位同行： 現(xiàn)在，我將向大家講述“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”這節(jié)課的教學(xué)構(gòu)思與設(shè)計(jì)。 我的講述分兩個(gè)部分： 第一部分是我對(duì)這節(jié)教材的理解和根據(jù)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維特征，確定的教學(xué)模式和教學(xué)方法以及要實(shí)現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)。 第二部分是在教學(xué)過(guò)程中，如何用多媒體激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，調(diào)動(dòng)學(xué)生潛在的學(xué)習(xí)積極性，啟迪學(xué)生的思維，突破教材難點(diǎn)。我認(rèn)為課堂教學(xué)的最高原則是突破難點(diǎn)，可以全面體現(xiàn)一個(gè)教師的綜合素質(zhì)、和全面展示一個(gè)教師的教學(xué)藝術(shù)、突破難點(diǎn)可以使學(xué)生在心理上得到一種滿足和享受，從而將認(rèn)識(shí)水平達(dá)到一個(gè)新的境界。 一、教材分析 1、地位和作用 《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》是一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等等，而且公式推導(dǎo)過(guò)程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 《等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式》是高中數(shù)學(xué)二年級(jí)第二學(xué)期第十三章第五節(jié)內(nèi)容。教學(xué)對(duì)象為高二學(xué)生，教學(xué)課時(shí)為2課時(shí)。本節(jié)課為第一課時(shí)。在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義、等比數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí)內(nèi)容,這為過(guò)渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用，而本節(jié)內(nèi)容也為后面學(xué)習(xí)數(shù)列求和、數(shù)列極限打下基礎(chǔ)。本節(jié)課既是本章的重點(diǎn)，同時(shí)也是教材的重點(diǎn)。 從高中數(shù)學(xué)的整體內(nèi)容來(lái)看，《數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法》這一章是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)領(lǐng)域里占據(jù)著重要地位，也起著關(guān)鍵性的作用。首先：數(shù)列有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用。例如產(chǎn)品的規(guī)格設(shè)計(jì)、儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等。 其次：數(shù)列有著承前啟后的作用。數(shù)列是函數(shù)的延續(xù)，它實(shí)質(zhì)上是一種特殊的函數(shù)；學(xué)習(xí)數(shù)列又為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容打下基礎(chǔ)。 再次：數(shù)列也是培養(yǎng)提高學(xué)生思維能力的好題材。學(xué)習(xí)數(shù)列要經(jīng)常觀察、分析、猜想,還要綜合運(yùn)用前面的知識(shí)解決數(shù)列中的一些問(wèn)題，這些都有利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。 2、學(xué)情分析 學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學(xué)習(xí)等差、等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前Ｎ項(xiàng)和的公式，具備一定的數(shù)學(xué)思想方法，能夠就接下來(lái)的內(nèi)容展開思考，而且在情感上也具備了學(xué)習(xí)新知識(shí)的渴求。從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項(xiàng)和從公式的形成、特點(diǎn)等方面進(jìn)行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo)．不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對(duì)學(xué)生的思維是一個(gè)突破，另外，對(duì)于q = 1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過(guò)程中容易出錯(cuò)． 二、教學(xué)目標(biāo)的確定 作為一名數(shù)學(xué)老師,不僅要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí),更重要的是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)。根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征，我制定了如下的教學(xué)目標(biāo)： 1、 知識(shí)目標(biāo)： 理解并掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程、公式的特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問(wèn)題．理解等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及應(yīng)用。 2、 能力目標(biāo)： 通過(guò)對(duì)公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，向?qū)W生滲透特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力。培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、思考問(wèn)題的能力，并能靈活運(yùn)用基本概念分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,鍛煉數(shù)學(xué)思維能力。 3、 情感目標(biāo)： 通過(guò)對(duì)公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生在民主、和諧的活動(dòng)中感受學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，激發(fā)學(xué)生求知欲，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，并從中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉學(xué)生遇到困難不氣餒的堅(jiān)強(qiáng)意志和勇于創(chuàng)新的精神。 三、重、難點(diǎn)： 《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》是這一章的重點(diǎn)，期中，公式推導(dǎo)所使用的“錯(cuò)位相減法”是高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法中最常用的方法之一，它蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)教材的要求、特點(diǎn)以及學(xué)生的實(shí)際可確定本節(jié)課的重、難點(diǎn)分別如下： 1、教學(xué)重點(diǎn) 公式的推導(dǎo)、公式的特點(diǎn)和公式的運(yùn)用。 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。此推導(dǎo)過(guò)程中蘊(yùn)含了分類討論，遞推、轉(zhuǎn)化等重要思想，是解決一般數(shù)列求和問(wèn)題的關(guān)鍵，所以非常重要。為此，我給出了三種方法來(lái)推導(dǎo)公式，加深學(xué)生理解，突出重點(diǎn)。 2、教學(xué)難點(diǎn) 公式的推導(dǎo)方法和公式的靈活運(yùn)用。 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式推導(dǎo)。在此之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，但是兩者相似度低，不能通過(guò)類比得到。同時(shí)，錯(cuò)位相減法是第一次出現(xiàn)，學(xué)生不容易理解。為此，我引導(dǎo)學(xué)生分析等比數(shù)列的性質(zhì)，聯(lián)想到等比定理，首先通過(guò)等比定理推導(dǎo)出求和公式。之后再引導(dǎo)學(xué)生觀察上述公式引出錯(cuò)位相減法，如此，成功地突破難點(diǎn)。 四、教法、學(xué)法 1、教法分析： 基于本節(jié)課時(shí)公式推導(dǎo)課，應(yīng)著重采用探究式教學(xué)方法。在教學(xué)中以學(xué)生的分組討論和自主探究為主，輔之以啟發(fā)性的問(wèn)題誘導(dǎo)點(diǎn)撥，充分體現(xiàn)學(xué)生是主體，教師服務(wù)于學(xué)生的思路。 在此之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式，已經(jīng)具備了一定的知識(shí)基礎(chǔ)。在教師創(chuàng)設(shè)的情景中，結(jié)合教師點(diǎn)撥提問(wèn)，經(jīng)過(guò)交流討論，形成認(rèn)識(shí)過(guò)程。通過(guò)訓(xùn)練，發(fā)現(xiàn)自身不足并及時(shí)完善。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，提高自身的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。 數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)和發(fā)展人的思維的重要學(xué)科，因此在教學(xué)中不僅要讓學(xué)生“知其然”，還要“知其所以然”，為了體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)循序漸進(jìn)和啟發(fā)式教學(xué)原則，我進(jìn)行這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)：在教師的引導(dǎo)下，創(chuàng)設(shè)情景，通過(guò)開放式問(wèn)題的設(shè)置來(lái)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，在思考中體會(huì)數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)方法和思想，使之獲得內(nèi)心感受。本節(jié)課將采用“多媒體優(yōu)化組合—激勵(lì)—發(fā)現(xiàn)”式教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)。該模式能夠?qū)⒔虒W(xué)過(guò)程中的各要素，如教師、學(xué)生、教材、教法等進(jìn)行積極的整合，使其融為一體，創(chuàng)造最佳的教學(xué)氛圍。主要包括啟發(fā)式講解、互動(dòng)式討論、研究式探索、反饋式評(píng)價(jià)。 數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程是教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程是教師和學(xué)生之間互動(dòng)的過(guò)程，是師生共同發(fā)展的過(guò)程，這就要求教師要以全新的理念來(lái)認(rèn)識(shí)課程、對(duì)待學(xué)生，從發(fā)展學(xué)生的高度來(lái)選擇教法，在教學(xué)方法的選擇和教學(xué)手段的使用上，我的設(shè)計(jì)有以下幾點(diǎn)。 （1）．注重知識(shí)的形成過(guò)程，因而我在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)了一系列的活動(dòng)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情景，讓學(xué)生感受新知識(shí)的形成過(guò)程，始終讓學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，讓學(xué)生成為探究者，不斷地體驗(yàn)成功，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和解決問(wèn)題的能力。 （2）．在每一個(gè)知識(shí)的形成過(guò)程中，不斷地鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行交流、討論，提高對(duì)問(wèn)題的理解。 （3）．?dāng)?shù)學(xué)課堂中，講與練是相輔相成的，是對(duì)新知識(shí)的同化和順應(yīng)過(guò)程的一種檢測(cè)。編選的練習(xí)先淺顯后深入，體現(xiàn)一定的思維層次。 （4）．多媒體的使用，在本節(jié)課中，數(shù)形結(jié)合完美的展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，生動(dòng)、直觀的呈觀在學(xué)生面前，易于理解和接受，同時(shí)加大本節(jié)課的容量，提高了課堂效率，增強(qiáng)了教學(xué)效果。 2、學(xué)法分析： 根據(jù)二期課改的精神，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式也是本次課改的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育的核心學(xué)科之一，轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，變學(xué)生被動(dòng)接受式學(xué)習(xí)為主動(dòng)參與式學(xué)習(xí)，不僅有利于提高學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也有利于促進(jìn)學(xué)生整體學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。在課堂結(jié)構(gòu)上我根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知層次，設(shè)計(jì)了（１）創(chuàng)設(shè)情景（２）觀察歸納（３）討論研究（４）即時(shí)訓(xùn)練（５）總結(jié)反思（６）任務(wù)延續(xù)，六個(gè)層次的學(xué)法，他們環(huán)環(huán)相扣，層層深入，從而順利完成教學(xué)目的。自主探索、觀察發(fā)現(xiàn)、類比猜想、合作交流。 教學(xué)手段，利用多媒體和ＰＯＷＥＲＰＯＩＮＴ軟件進(jìn)行輔助教學(xué)。 本節(jié)課面向具有一定理解，分析，推理能力和良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣的普通高中學(xué)生，學(xué)生剛接觸了等比數(shù)列的概念和性質(zhì)，又接著學(xué)習(xí)等比數(shù)列，這體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)中類比和循序漸進(jìn)的思想，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，要注重公式的推導(dǎo)，使學(xué)生提高推理演算的能力。 五、教學(xué)過(guò)程 為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，我把教學(xué)過(guò)程分為如下7個(gè)階段： 1、創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)興趣，引入新課 我將用電腦演示國(guó)際象棋棋盤格子中放麥粒的故事，引入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的問(wèn)題模型，這樣可以增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的積極性，為后面的教學(xué)埋下伏筆。故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點(diǎn)。這是一個(gè)懸念式的實(shí)例，后面的“那么”又把學(xué)生帶入了實(shí)例創(chuàng)設(shè)的情境，讓學(xué)生直接參與了實(shí)際應(yīng)用。根據(jù)心理學(xué)，情境具有暗示作用，在暗示作用下，學(xué)生自覺(jué)不自覺(jué)地參與了情境中的角色，這樣他們的學(xué)習(xí)積極性和思維活動(dòng)就會(huì)極大的調(diào)動(dòng)起來(lái)。 這樣引入課題有以下幾個(gè)好處： (1) 利用學(xué)生求知好奇心理，以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題為切入點(diǎn)，便于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的趣味性和積極性。 (2)在實(shí)際情況下進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生利用已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，同化和索引出當(dāng)前學(xué)習(xí)的新知識(shí)，這樣獲取的知識(shí)，不但易于保持，而且易于遷移到陌生的問(wèn)題情境中。 (3) 問(wèn)題內(nèi)容緊扣本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的主題與重點(diǎn)。 (4) 有利于知識(shí)的遷移，使學(xué)生明確知識(shí)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用性。 在教師的誘導(dǎo)下，學(xué)生根據(jù)自己掌握的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，很快建立起兩個(gè)等比數(shù)列的數(shù)學(xué)模型。數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即常數(shù)列。數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。 = 18446744073709551615(粒) 2、師生互動(dòng)，探究問(wèn)題 引導(dǎo)學(xué)生觀察上述問(wèn)題中的數(shù)字特征，引出本節(jié)課新內(nèi)容：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 即 這種從特殊到一般的思維方式，有利于學(xué)生知識(shí)遷移。 通過(guò)學(xué)生分組討論，生生，師生探討合作，給出三種推導(dǎo)方法,分別是：利用等比定理推導(dǎo)，錯(cuò)位相減法，提取公比法。由于錯(cuò)位相減法是第一次碰到，學(xué)生難以接受。所以我首先是引導(dǎo)學(xué)生分析等比數(shù)列的性質(zhì)，從中聯(lián)想到等比定理，并運(yùn)用等比定理推導(dǎo)的出求和公式。再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上述推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行分析，自然地引出錯(cuò)位相減法，這樣就成功地突破了難點(diǎn)。在這一過(guò)程中，我采用了三種方法，一方面，學(xué)生感受到解決問(wèn)題方法的多樣性，同時(shí)也是突出重點(diǎn)的一種手段。 附：利用等比定理 錯(cuò)位相減法 提取公比q 創(chuàng)設(shè)一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，通過(guò)觀察等比數(shù)列的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，如果我們把每一項(xiàng)都乘以2，則每一項(xiàng)就變成了它的后一項(xiàng)，在引導(dǎo)學(xué)生比較這兩個(gè)式子的特點(diǎn)，留出時(shí)間讓學(xué)生充分地比較，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)式子有許多相同的項(xiàng)，自然就會(huì)想到把兩式相減，對(duì)思考積極的同學(xué)及時(shí)給予表?yè)P(yáng)和鼓勵(lì)，進(jìn)而老師指出：這就是錯(cuò)位相減法，并要求學(xué)生縱觀反思全過(guò)程。這樣主要是為了讓學(xué)生經(jīng)過(guò)繁難的計(jì)算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)錯(cuò)位相減法，不禁驚呼：真是太簡(jiǎn)潔了！讓學(xué)生在探索過(guò)程中，充分感受到成功的情感體驗(yàn)，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心． 3、類比聯(lián)想，解決問(wèn)題 這時(shí)我再順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，對(duì)一般的公比為q的等比數(shù)列，讓學(xué)生自主完成，并喊一名學(xué)生上黑板，然后對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)。 設(shè)計(jì)意圖：在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的愉快和成就感。在學(xué)生推導(dǎo)完成后，我再問(wèn)，能否直接得到，這里q能否等于1？（這里引導(dǎo)學(xué)生對(duì)q進(jìn)行分類討論，得出公式，同時(shí)為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ)。） 再通過(guò)通項(xiàng)公式和首相、公比的關(guān)系，得出前n項(xiàng)和的另外一個(gè)公式，這樣通過(guò)反問(wèn)精講，一方面使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡(jiǎn)單地模仿和接受，變?yōu)閷?duì)知識(shí)的主動(dòng)認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的能力。 本節(jié)課有兩項(xiàng)主要內(nèi)容，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及應(yīng)用。等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)是本節(jié)課的難點(diǎn)。依據(jù)如下： (1)從認(rèn)知領(lǐng)域上講,它在陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)與策略性知識(shí)的分類中，屬于學(xué)生最高需求層次的掌握策略與方法的策略性知識(shí)。 (2)從學(xué)科知識(shí)上講,推導(dǎo)屬于學(xué)科邏輯中的“瓶頸”，突破這一“瓶頸”則后面的問(wèn)題迎刃而解。 (3)從心理學(xué)上講,學(xué)生對(duì)這項(xiàng)學(xué)習(xí)內(nèi)容的“熟悉度”不高，原有知識(shí)薄弱，不易理解。 這里我講述的主要是怎樣利用多媒體激勵(lì)、啟發(fā)學(xué)生思維，突破教材難點(diǎn)。 等比數(shù)列有兩大類：公比q=1和q1兩種情形 當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1 當(dāng)q1時(shí)，Sn=a1+a1q+……+a1qn-1= q1時(shí)，Sn的結(jié)果是怎么推導(dǎo)出來(lái)的呢？本節(jié)課的難點(diǎn)就在于此。 預(yù)習(xí)過(guò)課本的學(xué)生會(huì)知道這個(gè)結(jié)果以及推導(dǎo)過(guò)程，但是他們知其然而不知其所以然，可以說(shuō)大部分學(xué)生根據(jù)他們掌握的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)是難以推出這個(gè)公式的。 這時(shí)候我們可以首先讓學(xué)生們進(jìn)行思考，如果運(yùn)用數(shù)學(xué)中“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，能不能向這個(gè)結(jié)果靠攏呢？ 我們不難得到下述結(jié)論： S1=a1, S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2) …… Sn=a1+a2+……+an=a1(1+q+q2+……+qn-1) 不少同學(xué)根據(jù)這個(gè)式子可能會(huì)想到 a1(1+q+q2+……+qn-1)= a1(1+q+q2+……+qn-1)（1-q）/(1-q)= 這時(shí)我要向?qū)W生說(shuō)明，這種從特殊到一般，逐步歸納的思想方法很好，是我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)運(yùn)用到的方法。然后又要指出在現(xiàn)階段，我們還無(wú)法對(duì)這個(gè)過(guò)程進(jìn)行證明，因此它的給出是不嚴(yán)密的。這樣不僅讓學(xué)生再一次體會(huì)到數(shù)學(xué)的最基本特點(diǎn)，嚴(yán)密的邏輯性。也為將來(lái)學(xué)習(xí)二項(xiàng)式展開的內(nèi)容打下了伏筆。 此時(shí)，僅僅從形式上進(jìn)行的歸納在現(xiàn)階段是無(wú)法進(jìn)行系統(tǒng)而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明的，那我們只能在思想的過(guò)程中另辟蹊徑，因此，要通過(guò)復(fù)習(xí)等差數(shù)列的求和公式，借助推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的思想方法，來(lái)找到推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的方法！ 讓學(xué)生們一起回憶一下等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程。 可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)我們是將a1與an， a2與an-1，所有與首末等距兩項(xiàng)交換位置，得到Sn的倒序和的形式。然后兩式相加。這樣2Sn就是一個(gè)有n 項(xiàng)的每一項(xiàng)都是a1+an的常數(shù)列。從而導(dǎo)出了Sn的公式。 等差數(shù)列的求和方法是根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)和根據(jù)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知水平產(chǎn)生的，形式上是倒序相加，本質(zhì)上就是消去數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)之間的差異，構(gòu)造一個(gè)新的各項(xiàng)相同的常數(shù)列，然后根據(jù)常數(shù)列的和導(dǎo)出 Sn的公式來(lái)，其本質(zhì)特征是等差數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都比前一項(xiàng)多了一個(gè)d。 那么等比數(shù)列是不是也可以用類似的方法，構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列或者部分常數(shù)列呢？讓學(xué)生親自去試一試，結(jié)果呢？ 這時(shí)候?qū)W生們很自然的會(huì)用倒序相加的方法來(lái)進(jìn)行思考。結(jié)果顯然是行不通的。 此時(shí)教師的主要任務(wù)是要讓學(xué)生的思維迅速發(fā)散——從倒序相加的定勢(shì)中解脫出來(lái)。抓住學(xué)生迫切想解決這個(gè)問(wèn)題的心態(tài)，及時(shí)地通過(guò)媒體進(jìn)行啟發(fā)。老師要告訴學(xué)生，構(gòu)造常數(shù)列或者部分常數(shù)列的思路是正確的。既然倒序行不通，那么還有沒(méi)有其它的方式構(gòu)造常數(shù)列呢？ 接著要引導(dǎo)學(xué)生從等比數(shù)列的定義出發(fā)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)等比數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的q倍，也就是說(shuō)將每一項(xiàng)乘以q以后就變成了它的后一項(xiàng)，那么將Sn這個(gè)和式的兩邊同時(shí)乘以q，在q Sn這個(gè)和式中的第一項(xiàng)就是Sn的第二項(xiàng)，也就是Sn和q Sn之間產(chǎn)生了一個(gè)錯(cuò)位。由兩個(gè)和式能否構(gòu)造常數(shù)列或者部分常數(shù)列的和式呢？相加行不行？顯然不行！相減行不行？顯然行。 將Sn和 q Sn相減后，中間就得到了n－1項(xiàng)各項(xiàng)都是0的常數(shù)列, 找到了這個(gè)常數(shù)列，難點(diǎn)就突破了， Sn的導(dǎo)出就容易了，導(dǎo)出了Sn就基本上達(dá)到了本節(jié)課的認(rèn)知目標(biāo)。 為了加深理解，這時(shí)還應(yīng)該對(duì)等差、等比兩種數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行類比和分析： 兩種數(shù)列求和的基本思路都是構(gòu)造常數(shù)列，構(gòu)造常數(shù)列的思想也是其他一些數(shù)列求和的基本思想。等比數(shù)列在構(gòu)造常數(shù)列的過(guò)程中，采用“錯(cuò)位相減”，等差數(shù)列采用的是“倒序相加”， 倒序相加本質(zhì)上也是“錯(cuò)位相加”，是一種大幅度的“錯(cuò)位相加”，等比數(shù)列只不過(guò)是步幅為1的小幅度的“錯(cuò)位相加”。說(shuō)明一下，在Sn的和式中，兩邊同時(shí)乘以q是解決問(wèn)題——構(gòu)造常數(shù)列的關(guān)鍵所在，是推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的一把鑰匙。 所以，這兩種數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)方法，從數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法上來(lái)講是一致的，但是它們也有差異，即錯(cuò)位的方法不同。正是由于這種差異，教師才有了更大的教學(xué)空間。當(dāng)教師把學(xué)生從“倒序相加”的思維定式中引導(dǎo)出來(lái)的時(shí)候，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的深刻性、廣闊性等思維品質(zhì)就得到了提高，思維品質(zhì)提高了，思維能力也就提高了。這樣，這節(jié)課的認(rèn)知目標(biāo)和素質(zhì)目標(biāo)就基本上都達(dá)到了。 推導(dǎo)出公式之后，對(duì)公式的特征要加以說(shuō)明，以便學(xué)生記憶。同時(shí)還要對(duì)公式的另一種表示形式和應(yīng)用中的注意事項(xiàng)加以說(shuō)明。幫助學(xué)生弄清其形式和本質(zhì)，明確其內(nèi)涵和外延，為靈活運(yùn)用公式打下基礎(chǔ)。 4、討論交流，延伸拓展 在此基礎(chǔ)上，我提出：探究等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，還有其它方法嗎？這樣可以激發(fā)學(xué)生的探索欲望，營(yíng)造一個(gè)讓學(xué)生主動(dòng)觀察、思考、討論的氛圍，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)關(guān)于的一個(gè)遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究?jī)r(jià)值，是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展有促進(jìn)作用。 5、例題講解 在分析完等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式后，要趁熱打鐵，設(shè)計(jì)幾種典型的例子，讓學(xué)生深化對(duì)前n項(xiàng)和公式的理解和，并學(xué)會(huì)應(yīng)用。本節(jié)課設(shè)置如下兩種類型的例題： 1） 等比數(shù)列中知三求二的解答題 例：求首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列的前8項(xiàng)和以及第5項(xiàng)的值。 以及書上的例4 2） 實(shí)際應(yīng)用題。 例：某制糖廠第1年制糖5萬(wàn)噸，如果平均每年的產(chǎn)量比上一年增加10%，那么從第1年起，約幾年內(nèi)可使總產(chǎn)量達(dá)到30萬(wàn)噸（保留到個(gè)位）? 這樣設(shè)置主要依據(jù)： (1)例題與大綱中規(guī)定的教學(xué)目標(biāo)與任務(wù)及本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)有相對(duì)應(yīng)的匹配關(guān)系。(2)遵循鞏固性原則和傳授——反饋——再傳授的教學(xué)系統(tǒng)的思想確立這樣的例題。 (3)應(yīng)用題比較切合對(duì)智力技能進(jìn)行檢測(cè)，有利于數(shù)學(xué)能力的提高。同時(shí)，它可以使學(xué)生在后半程學(xué)習(xí)中保持興趣的持續(xù)性和學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。 6、歸納小結(jié) 提問(wèn)學(xué)生，試著讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，老師適當(dāng)補(bǔ)充，對(duì)表現(xiàn)好的同學(xué)及時(shí)給予表?yè)P(yáng)和鼓勵(lì)，這樣可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有助于完善學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)。本節(jié)課的小結(jié)從以下幾個(gè)方面進(jìn)行： (1) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 (2) 公式的推導(dǎo)方法——錯(cuò)位相減法 (3) 求和思路——構(gòu)造常數(shù)列或部分常數(shù)列。 通過(guò)師生的共同小結(jié)，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，有利于學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，也能培養(yǎng)學(xué)生的歸納和概括能力。進(jìn)一步完成認(rèn)知目標(biāo)和素質(zhì)目標(biāo)。 7、課后作業(yè)： 選取一些作業(yè)，選出的作業(yè)，分為基礎(chǔ)題，必做題和彈性體，這樣可體現(xiàn)因材施教的原則，讓學(xué)有余力的學(xué)生有思考的空間。布置作業(yè)，預(yù)習(xí)下一節(jié)內(nèi)容。 六、評(píng)價(jià)與分析 根據(jù)高二學(xué)生心理特點(diǎn)、教材內(nèi)容、遵循因材施教原則和啟發(fā)性教學(xué)思想，本節(jié)課的教學(xué)策略與方法我采用規(guī)則學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決策略，即“案例—公式—應(yīng)用”，案例為淺層次要求，使學(xué)生有概括印象。 公式為中層次要求，由淺入深，重難點(diǎn)集中推導(dǎo)講解，便于突破。應(yīng)用為綜合要求，多角度、多情境中消化鞏固所學(xué)，反饋驗(yàn)證本節(jié)教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)。 其中，案例是基礎(chǔ)，使學(xué)生感知教材；公式為關(guān)鍵，使學(xué)生理解教材；練習(xí)為應(yīng)用，使學(xué)生鞏固知識(shí)，舉一反三。 在這三步教學(xué)中，以啟發(fā)性強(qiáng)的小設(shè)問(wèn)層層推導(dǎo)，輔之以學(xué)生的分組小討論并充分運(yùn)用直觀完整的板書和計(jì)算機(jī)課件等教輔用具、手段，改變教師講、學(xué)生聽的填鴨式教學(xué)模式，充分體現(xiàn)學(xué)生是主體，教師教學(xué)服務(wù)于學(xué)生的思路，而且學(xué)生通過(guò)“案例—公式—應(yīng)用”，由淺入深，由感性到理性，由直觀到抽象，不僅加深了學(xué)生理解鞏固與應(yīng)用，也培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力。 本節(jié)課，教師通過(guò)兩種證明方法，使學(xué)生從不同的思維角度掌握了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式．錯(cuò)位相減思想和遞推思想是中學(xué)數(shù)學(xué)里最重要的思想之一，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程中蘊(yùn)含的基本數(shù)學(xué)思想，使之獲得內(nèi)心感受，提高了思考問(wèn)題，分析問(wèn)題的能力，以及推理歸納的能力。 七、板書設(shè)計(jì) 等比數(shù)列 一、 等比數(shù)列 例題講解 作業(yè) 二、 前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo) 以上是我對(duì)這節(jié)課的教學(xué)設(shè)想，懇請(qǐng)各位評(píng)委批評(píng)指正，謝謝！