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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪專題突破 專題三 數(shù)列與不等式 第4講 不等式與線性規(guī)劃 理
1．(xx浙江)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0
9
2．(xx廣東)若變量x，y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最小值為( )
A．4 B. C．6 D.
3．(xx浙江)有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同．已知三個(gè)
房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x＜y＜z，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用(單位：元)是( )
A．a(chǎn)x＋by＋cz B．a(chǎn)z＋by＋cx
C．a(chǎn)y＋bz＋cx D．a(chǎn)y＋bx＋cz
4．(xx重慶)設(shè)a，b＞0，a＋b＝5，則＋的最大值為_(kāi)_______．
1.利用不等式性質(zhì)比較大小，利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)；2.一元二次不等式常與函數(shù)、數(shù)列結(jié)合考查一元二次不等式的解法和參數(shù)取值范圍；3.利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題.
熱點(diǎn)一 不等式的解法
1．一元二次不等式的解法
先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集．
2．簡(jiǎn)單分式不等式的解法
(1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解．
例1 (1)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為，則f(10x)>0的解集為( )
A．{x|x<－1或x>－lg 2}
B．{x|－1－lg 2}
D．{x|x<－lg 2}
(2)已知函數(shù)f(x)＝(x－2)(ax＋b)為偶函數(shù)，且在(0，＋∞)單調(diào)遞增，則f(2－x)>0的解集為( )
A．{x|x>2或x<－2} B．{x|－24} D．{x|00)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝________.
(2)已知f(x)是R上的減函數(shù)，A(3，－1)，B(0,1)是其圖象上兩點(diǎn)，則不等式|f(1＋ln x)|<1的解集是________________．
熱點(diǎn)二 基本不等式的應(yīng)用
利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法則是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2(簡(jiǎn)記為：積定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值s2(簡(jiǎn)記為：和定，積有最大值)．
例2 (1)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均為正數(shù)，則＋的最小值是( )
A. B.
C．8 D．24
(2)已知關(guān)于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為( )
A．1 B.
C．2 D.
思維升華 在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．
跟蹤演練2 (1)(xx天津)已知a＞0，b＞0，ab＝8，則當(dāng)a的值為_(kāi)_______時(shí)，log2alog2(2b)取得最大值．
(2)若直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦長(zhǎng)為4，則＋的最小值是________．
熱點(diǎn)三 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題
解決線性規(guī)劃問(wèn)題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問(wèn)題要驗(yàn)證解決．
例3 (1)(xx北京)若x，y滿足則z＝x＋2y的最大值為( )
A．0 B．1
C. D．2
(2)(xx安徽)x，y滿足約束條件若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
思維升華 (1)線性規(guī)劃問(wèn)題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍．(2)一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得．
跟蹤訓(xùn)練3 已知x，y滿足且目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y的最小值為9，則實(shí)數(shù)a的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．7
1．若點(diǎn)A(a，b)在第一象限，且在直線x＋2y＝1上，則ab的最大值為( )
A．1 B. C. D.
2．已知A(1，－1)，B(x，y)，且實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則z＝的最小值為( )
A．2 B．－2
C．－4 D．－6
3．已知函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)≤4的解集為_(kāi)_______．
4．已知不等式≥|a2－a|對(duì)于x∈[2,6]恒成立，則a的取值范圍是________．
提醒：完成作業(yè) 專題三 第4講
二輪專題強(qiáng)化練
專題三
第4講 不等式與線性規(guī)劃
A組 專題通關(guān)
1．下列選項(xiàng)中正確的是( )
A．若a>b，則ac2>bc2
B．若ab>0，a>b，則<
C．若a>b，cb，c>d，則a－c>b－d
2．不等式x2＋x<＋對(duì)任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是( )
A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－2,1) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
3．(xx山東)已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a等于( )
A．3 B．2 C．－2 D．－3
4．(xx重慶)若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
5．(xx浙江杭州二中第一次月考)若關(guān)于x的不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A．(－，＋∞) B．[－，1]
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
6．已知函數(shù)f(x)＝那么不等式f(x)≥1的解集為_(kāi)_______________．
7．(xx綿陽(yáng)市一診)某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該產(chǎn)品生產(chǎn)總成本C與產(chǎn)量q(q∈N*)的函數(shù)關(guān)系式為C＝100－4q，銷(xiāo)售單價(jià)p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p＝25－q.要使每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)最大，則產(chǎn)量q＝________.
8．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋2b＝1，則a2＋4b2＋的最小值為_(kāi)_______．
9．設(shè)集合A為函數(shù)y＝ln(－x2－2x＋8)的定義域，集合B為函數(shù)y＝x＋的值域，集合C為不等式(ax－)(x＋4)≤0的解集．
(1)求A∩B；
(2)若C??RA，求a的取值范圍．
10．運(yùn)貨卡車(chē)以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米(按交通法規(guī)限制50≤x≤100)(單位：千米/小時(shí))．假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車(chē)每小時(shí)耗油(2＋)升，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元．
(1)求這次行車(chē)總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；
(2)當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車(chē)的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值．
B組 能力提高
11．(xx陜西)設(shè)f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，則下列關(guān)系式中正確的是( )
A．q＝r＜p B．q＝r＞p
C．p＝r＜q D．p＝r＞q
12．(xx課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)若x，y滿足約束條件則的最大值為_(kāi)_______．
13．(xx浙江)若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2≤1，則|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________．
14．圖(1)是某斜拉式大橋圖片，為了了解橋的一些結(jié)構(gòu)情況，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組將大橋的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了簡(jiǎn)化，取其部分可抽象成如圖(2)所示的模型，其中橋塔AB，CD與橋面AC垂直，通過(guò)測(cè)量得知AB＝50 cm，AC＝50 cm，當(dāng)P為AC中點(diǎn)時(shí)，∠BPD＝45.
(1)求CD的長(zhǎng)；
(2)試問(wèn)點(diǎn)P在線段AC的何處時(shí)，∠BPD達(dá)到最大？
學(xué)生用書(shū)答案精析
第4講 不等式與線性規(guī)劃
高考真題體驗(yàn)
1．C [由題意得
化簡(jiǎn)得解得
所以f(－1)＝c－6，
所以00.f(2－x)>0即ax(x－4)>0，
解得x<0或x>4.故選C.
跟蹤演練1 (1) (2)(，e2)
解析 (1)由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因?yàn)閍>0，所以不等式的解集為(－2a,4a)，
即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，
得4a－(－2a)＝15，解得a＝.
(2)∵|f(1＋ln x)|<1，
∴－10，y>0，
∴＋＝(＋)(2x＋3y)
＝(6＋6＋＋)≥(12＋26)＝8.
當(dāng)且僅當(dāng)3y＝2x時(shí)取等號(hào)．
(2)2x＋＝2(x－a)＋＋2a
≥2＋2a＝4＋2a，
由題意可知4＋2a≥7，得a≥，
即實(shí)數(shù)a的最小值為，故選B.
跟蹤演練2 (1)4 (2)4
解析 (1)log2alog2(2b)＝log2a(1＋log2b)≤2＝
2＝2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)log2a＝1＋log2b，即a＝2b時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)a＝4，b＝2.
(2)易知圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半徑為2，圓心為(－1,2)，因?yàn)橹本€2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦長(zhǎng)為4，所以直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)過(guò)圓心，把圓心坐標(biāo)代入得：a＋b＝1，所以＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，a＋b＝1，即a＝b＝時(shí)等號(hào)成立．
例3 (1)D (2)D
解析 (1)可行域如圖所示．目標(biāo)函數(shù)化為y＝－x＋z，當(dāng)直線y＝－x＋z過(guò)點(diǎn)A(0,1)時(shí)，z取得最大值2.
(2)如圖，由y＝ax＋z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，
故當(dāng)a>0時(shí)，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝2；
當(dāng)a<0時(shí)，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝－1.
跟蹤訓(xùn)練3 C [依題意，不等式組所表示的可行域如圖所示(陰影部分)，觀察圖象可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過(guò)點(diǎn)B(a，a)時(shí)，zmin＝2a＋a＝3a；因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z＝2x＋y的最小值為9，所以3a＝9，解得a＝3，故選C.
]
高考押題精練
1．D [因?yàn)辄c(diǎn)A(a，b)在第一象限，且在直線x＋2y＝1上，
所以a>0，b>0，且a＋2b＝1，
所以ab＝a2b≤()2＝，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝，
即a＝，b＝時(shí)，“＝”成立．
故選D.]
2．C [畫(huà)出不等式組所表示的可行域?yàn)槿鐖D所示的△ECD的內(nèi)部(包括邊界)，其中E(2,6)，C(2,0)，D(0,2)．目標(biāo)函數(shù)z＝＝x－y.
令直線l：y＝x－z，要使直線l過(guò)可行域上的點(diǎn)且在y軸上的截距－z取得最大值，只需直線l過(guò)點(diǎn)E(2,6)．
此時(shí)z取得最小值，且最小值z(mì)min＝2－6＝－4.故選C.]
3．{x|－14≤x<2或x≥}
解析 由題意得
或
解得x≥或－14≤x<2，
故不等式f(x)≤4的解集為{x|－14≤x<2或x≥}．
4．[－1,2]
解析 設(shè)y＝，
因?yàn)閥＝在x∈[2,6]上單調(diào)遞減，
即ymin＝＝，
故不等式≥|a2－a|對(duì)于x∈[2,6]恒成立等價(jià)于|a2－a|≤恒成立，化簡(jiǎn)得
解得－1≤a≤2，
故a的取值范圍是[－1,2]．
二輪專題強(qiáng)化練答案精析
第4講 不等式與線性規(guī)劃
1．B [若a>b，取c＝0，則ac2>bc2不成立，排除A；取a＝2，b＝－1，c＝1，d＝2，則選項(xiàng)C不成立，排除C；取a＝2，b＝1，c＝1，d＝－1，則選項(xiàng)D不成立，排除D.選B.]
2．C [根據(jù)題意，由于不等式x2＋x<＋對(duì)任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則x2＋x<(＋)min，
∵＋≥2＝2，
∴x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知其解集為(－2,1)．]
3．B [不
等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示．
易知A(2,0)，
由得B(1,1)．
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.
∴當(dāng)a＝－2或a＝－3時(shí)，z＝ax＋y在O(0,0)處取得最大值，最大值為zmax＝0，不滿足題意，排除C，D選項(xiàng)；當(dāng)a＝2或3時(shí)，z＝ax＋y在A(2,0)處取得最大值，
∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故選B.]
4．D [由題意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，
所以log4(3a＋4b)＝log4ab，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)(＋)
＝7＋＋
≥7＋2＝7＋4，
當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號(hào)．故選D.]
5．A [方法一 令f(x)＝x2＋ax－2，
則f(0)＝－2.
①若－≤0，即a≥0時(shí)，要使關(guān)于x的不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，則應(yīng)滿足f(5)>0，
解得a>－.所以a≥0；
②若－>0即a<0時(shí)，要使關(guān)于x的不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，也應(yīng)滿足f(5)>0，
解得a>－.所以－0在[1,5]上有解可轉(zhuǎn)化為a>－x在[1,5]上有解，
設(shè)f(x)＝－x，x∈[1,5]，易知f(x)為減函數(shù)，f(x)min＝f(5)＝－，
∴a>f(x)min＝－，
故a的取值范圍是(－，＋∞)．]
6．(－∞，0]∪[3，＋∞)
解析 當(dāng)x>0時(shí)，由log3x≥1可得x≥3，
當(dāng)x≤0時(shí)，由()x≥1可得x≤0，
∴不等式f(x)≥1的解集為(－∞，0]∪[3，＋∞)．
7．40
解析 每件產(chǎn)品的利潤(rùn)y＝25－q－＝29－(＋)≤29－2＝24，當(dāng)且僅當(dāng)＝
且q>0，即q＝40時(shí)取等號(hào)．
8.
解析 方法一 a2＋4b2＋≥＋＝＋8＝.
當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)等號(hào)成立．
方法二 因?yàn)?＝a＋2b≥2?ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝時(shí)取等號(hào)．
又因?yàn)閍2＋4b2＋≥2a(2b)＋＝4ab＋.令t＝ab，
所以f(t)＝4t＋在(0，]上單調(diào)遞減，
所以f(t)min＝f()＝.
此時(shí)a＝2b＝.
9．解 (1)由－x2－2x＋8>0
得－40，即x>－1時(shí)y≥2－1＝1，
此時(shí)x＝0，符合要求；
當(dāng)x＋1<0，即x<－1時(shí)，
y≤－2－1＝－3，
此時(shí)x＝－2，符合要求．
所以B＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)，
所以A∩B＝(－4，－3]∪[1,2)．
(2)?RA＝{x|x≤－4或x≥2}．
(ax－)(x＋4)＝0有兩根
x＝－4或x＝.
當(dāng)a>0時(shí)，C＝{x|－4≤x≤}，
不可能C??RA；
當(dāng)a<0時(shí)，C＝{x|x≤－4或x≥}，
若C??RA，則≥2，∴a2≤，
∴－≤a<0.故a的取值范圍為[－，0)．
10．解 (1)行車(chē)所用時(shí)間為t＝(h)，
y＝2(2＋)＋14，x∈[50,100]．
所以，這次行車(chē)總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是y＝＋x，x∈[50,100]．
(2)y＝＋x≥26，當(dāng)且僅當(dāng)＝x，
即x＝18時(shí)，上述不等式中等號(hào)成立．
故當(dāng)x＝18時(shí)，這次行車(chē)的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為26元．
11．C [∵0＜a＜b，∴＞，
又∵f(x)＝ln x
在(0，＋∞)上為增函數(shù)，
故f＞f()，即q＞p.
又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)
＝ln a＋ln b＝ln(ab)
＝f()＝p.
故p＝r＜q.選C.]
12．3
解析 畫(huà)出可行域如圖陰影所示，
∵表示過(guò)點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的直線的斜率，
∴點(diǎn)(x，y)在點(diǎn)A處時(shí)最大．
由 得
∴A(1,3)．∴的最大值為3.
13．3
解析 滿足x2＋y2≤1的實(shí)數(shù)x，y表示的點(diǎn)(x，y)構(gòu)成的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部．
f(x，y)＝|2x＋y－2|＋|6－x－3y|
＝|2x＋y－2|＋6－x－3y
＝
直線y＝－2x＋2與圓x2＋y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，如圖所示，易得B.
設(shè)z1＝4＋x－2y，z2＝8－3x－4y，分別作直線y＝x和y＝－x并平移，則z1＝4＋x－2y在點(diǎn)B取得最小值為3，z2＝8－3x－4y在點(diǎn)
B取得最小值為3，所以|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是3.
14．解 (1)設(shè)∠BPA＝α，∠DPC＝β，
CD＝h cm，則tan α＝2，tan β＝，
由題意得，tan(α＋β)＝＝－1，
解得h＝75.
故CD的長(zhǎng)為75 cm.
(2)設(shè)AP＝x cm(00，
∴tan∠BPD>0，即∠BPD為銳角．
令t＝x＋100∈[100,150]，
則x＝t－100，
∴tan∠BPD＝
＝，
∴tan∠BPD＝≤＝，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝，
即t＝25∈[100,150]時(shí)等號(hào)成立，
∴AP＝(25－100)cm時(shí)，∠BPD最大．
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