2019-2020年高二數(shù)學(xué)10月月考試題 理(II).doc

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2019-2020年高二數(shù)學(xué)10月月考試題 理(II) 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的) 1．在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果EF，GH 交于一點(diǎn)P，則 ( 　) A．P一定在直線BD上 B．P一定在直線AC上 C．P一定在直線AC或BD上 D．P既不在直線AC上，也不在直線BD上 2．一個(gè)正方體的體積是8，則這個(gè)正方體的內(nèi)切球的表面積是 ( ) A．8π B．6π C．4π D．π 3．設(shè)P是△ABC所在平面α外一點(diǎn)，H是P在α內(nèi)的射影，且PA，PB，PC與α所成的角相等，則H是△ABC的 (　 　) A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心 4．如圖(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2及G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)， 現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1，G2，G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G，如圖(2)所示，那么，在四面體S－EFG中必有 ( ) A．SD⊥△EFG所在平面 B．GF⊥△SEF所在平面 C．GD⊥△SEF所在平面 D．SG⊥△EFG所在平面 5.如圖，A是平面BCD外一點(diǎn)，E、F、G分別是BD、DC、CA的中點(diǎn)，設(shè)過(guò)這三點(diǎn)的平面為α，則在圖中的6條直線AB、AC、AD、BC、CD、DB中，與平面α平行的直線有(　 　) A．0條 B．1條 C．2條 D．3條 6．半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積為 (　 　) A．πR3 B．πR3 C．πR3 D．πR3 7．如圖，若Ω是長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1后得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于B1的點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB1上異于B1的點(diǎn)，且EH∥A1D1，則下列結(jié)論中不正確的是 (　 　) A．EH∥FG B．四邊形EFGH是矩形 C．Ω是棱柱 D．Ω是棱臺(tái) 8．將等腰直角△ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個(gè)二面角B′-AD-C，此時(shí)∠B′AC＝60，那么這個(gè)二面角大小是 (　 　) A．90 B．60 C．45 D．30 9．已知α、β是兩個(gè)平面，直線l?α，l?β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論構(gòu)成三個(gè)命題，則其中正確的命題有 (　 　) A．①③?②；①②?③ B．①③?②；②③?① C．①②?③；②③?① D．①③?②；①②?③；②③?① 10．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B－AC－D，則四面體ABCD的外接球的體積為 ( 　) A．π B．π C．π D．π 11．一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積(單位：cm2)為 (　 　) A．48＋24 B．36＋12 C．48＋12 D．36＋24 12．如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為 (　 　) A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3 二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上) 13．在幾何體①圓錐；②正方體；③圓柱；④球；⑤正四面體中，三視圖完全一樣的是 ________.　 14．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)邊長(zhǎng)為2的正三角形的直觀圖時(shí)，如果在已知圖形中取的x軸和正三角形的一邊平行，則這個(gè)正三角形的直觀圖的面積是________. 15．直線l與平面α所成角為30，l∩α＝A，m?α，A?m，則m與l所成角的取值范圍是________. 16．如圖是一個(gè)組合幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是________. 三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟) 17．(10分) 如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且滿足＝＝，＝＝2． (1)求證：四邊形EFGH是梯形； (2)若BD＝a，求梯形EFGH的中位線的長(zhǎng)． 18．(12分)如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為a，連接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一個(gè)三棱錐．求： (1)三棱錐A′－BC′D的表面積與正方體表面積的比值； (2)三棱錐A′－BC′D的體積． 19．(12分)如下圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)． (1)求證：AC⊥BC1； (2)求證：AC1∥平面CDB1； (3)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值． 20．(12)如圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60， (1)求三棱錐P－ABC的體積； (2)證明：在線段PC上存在點(diǎn)M，使得AC⊥BM，并求的值． 21．(12分)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點(diǎn)，P是線段AD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)． (1)在平面ABC內(nèi)，試作出過(guò)點(diǎn)P與平面 A1BC平行的直線l，說(shuō)明理由，并證明直線l⊥平面ADD1A1； (2)設(shè)(1)中的直線l交AC于點(diǎn)Q，求三棱錐A1－QC1D的體積． 22．(12分)如下圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90，E是CD的中點(diǎn)． (1)證明：CD⊥平面PAE； (2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P－ABCD的體積． 10月月考理科數(shù)學(xué)答案 一. 選擇題. B C B D C A D A C C C B 二.填空題. 13. ②④ 14. 15. 　[30，90] 16. 　36＋128π 三.解答題. 17．(1)證明　因?yàn)椋剑剑? 所以EH∥BD，且EH＝BD． 因?yàn)椋剑?， 所以FG∥BD，且FG＝BD． 因而EH∥FG，且EH＝FG， 故四邊形EFGH是梯形． 6分 (2)解　因?yàn)锽D＝a，所以EH＝a，F(xiàn)G＝a， 所以梯形EFGH的中位線的長(zhǎng)為(EH＋FG)＝a． 10分 18.　(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方體， ∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a， ∴三棱錐A′－BC′D的表面積為 4aa＝2a2. 而正方體的表面積為6a2，故三棱錐A′－BC′D的表面積與正方體表面積的比值為＝. 6分 (2)三棱錐A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一樣的． 故V三棱錐A′－BC′D＝V正方體－4V三棱錐A′－ABD ＝a3－4a2a＝. 12分 19.　(1)證明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三邊長(zhǎng)AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC． 又∵C1C⊥AC．∴AC⊥平面BCC1B1. ∵BC1?平面BCC1B，∴AC⊥BC1. 4分 (2)證明：設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連接DE，又四邊形BCC1B1為正方形． ∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn)，∴DE∥AC1. ∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1， ∴AC1∥平面CDB1. 8分 (3)解：∵DE∥AC1， ∴∠CED為AC1與B1C所成的角． 在△CED中，ED＝AC1＝， CD＝AB＝，CE＝CB1＝2， ∴cos∠CED＝＝. ∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為. 12分 20.　 (1)在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60 ?S△ABC＝ABACsin∠BAC＝12sin60＝. 又∵PA⊥面ABC， ∴PA是三棱錐P－ABC的高， ∴V三棱錐P－ABC＝PAS△ABC＝1＝. 5分 (2)過(guò)點(diǎn)B作BN垂直AC于點(diǎn)N，過(guò)N作NM∥PA交PC于M，則 ???AC⊥BM， 9分 此時(shí)M即為所找點(diǎn)，在△ABN中，易知AN＝?＝?＝?＝. 12分 21.(1)在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作直線l和BC平行． 2分 理由如下： 由于直線l不在平面A1BC內(nèi)，l∥BC， 故直線l與平面A1BC平行． 在△ABC中，∵AB＝AC，D是線段AC的中點(diǎn)， ∴AD⊥BC，∴l(xiāng)⊥AD． 又∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥l. 而AA1∩AD＝A，∴直線l⊥平面ADD1A1. 6分 (2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E. ∵側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∴三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱， 則易得DE⊥平面AA1C1C． 在Rt△ACD中，∵AC＝2，∠CAD＝60， ∴AD＝ACcos60＝1， ∴DE＝ADsin60＝. ∴S△QA1C1＝A1C1AA1＝21＝1， ∴三棱錐A1－QC1D的體積 VA1－QC1D＝VD－QA1C1＝S△QA1C1DE＝1＝. 12分 22.(1)證明：如下圖所示，連接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90，得AC＝5. 又AD＝5，E是CD的中點(diǎn)，所以CD⊥AE. ∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD． 而PA，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE. 5分 (2)過(guò)點(diǎn)B作BG∥CD，分別與AE，AD相交于F，G，連接PF. 由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BG⊥AE. 由PA⊥平面ABCD知，∠PBA為直線PB與平面ABCD所成的角． 7分 由題意，知∠PBA＝∠BPF， 因?yàn)閟in∠PBA＝，sin∠BPF＝，所以PA＝BF. 由∠DAB＝∠ABC＝90知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四邊形BCDG是平行四邊形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2. 在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以 BG＝＝2，BF＝＝＝.于是PA＝BF＝. 又梯形ABCD的面積為S＝(5＋3)4＝16，所以四棱錐P－ABCD的體積為 V＝SPA＝16＝. 12分