2019-2020年高中數(shù)學 排列與組合 版塊六 排列組合問題的常見模型2完整講義(學生版).doc
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2019-2020年高中數(shù)學 排列與組合 版塊六 排列組合問題的常見模型2完整講義(學生版) 知識內(nèi)容 1.基本計數(shù)原理 ⑴加法原理 分類計數(shù)原理:做一件事,完成它有類辦法,在第一類辦法中有種不同的方法,在第二類辦法中有種方法,……,在第類辦法中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.又稱加法原理. ⑵乘法原理 分步計數(shù)原理:做一件事,完成它需要分成個子步驟,做第一個步驟有種不同的方法,做第二個步驟有種不同方法,……,做第個步驟有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.又稱乘法原理. ⑶加法原理與乘法原理的綜合運用 如果完成一件事的各種方法是相互獨立的,那么計算完成這件事的方法數(shù)時,使用分類計數(shù)原理.如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的,即各個步驟都必須完成,這件事才告完成,那么計算完成這件事的方法數(shù)時,使用分步計數(shù)原理. 分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ),也是求解排列、組合問題的基本思想方法,這兩個原理十分重要必須認真學好,并正確地靈活加以應用. 2. 排列與組合 ⑴排列:一般地,從個不同的元素中任取個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列.(其中被取的對象叫做元素) 排列數(shù):從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數(shù),叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù),用符號表示. 排列數(shù)公式:,,并且. 全排列:一般地,個不同元素全部取出的一個排列,叫做個不同元素的一個全排列. 的階乘:正整數(shù)由到的連乘積,叫作的階乘,用表示.規(guī)定:. ⑵組合:一般地,從個不同元素中,任意取出個元素并成一組,叫做從個元素中任取個元素的一個組合. 組合數(shù):從個不同元素中,任意取出個元素的所有組合的個數(shù),叫做從個不同元素中,任意取出個元素的組合數(shù),用符號表示. 組合數(shù)公式:,,并且. 組合數(shù)的兩個性質(zhì):性質(zhì)1:;性質(zhì)2:.(規(guī)定) ⑶排列組合綜合問題 解排列組合問題,首先要用好兩個計數(shù)原理和排列組合的定義,即首先弄清是分類還是分步,是排列還是組合,同時要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法: 1.特殊元素、特殊位置優(yōu)先法 元素優(yōu)先法:先考慮有限制條件的元素的要求,再考慮其他元素; 位置優(yōu)先法:先考慮有限制條件的位置的要求,再考慮其他位置; 2.分類分步法:對于較復雜的排列組合問題,常需要分類討論或分步計算,一定要做到分類明確,層次清楚,不重不漏. 3.排除法,從總體中排除不符合條件的方法數(shù),這是一種間接解題的方法. 4.捆綁法:某些元素必相鄰的排列,可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素,與其它元素進行排列,然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列. 5.插空法:某些元素不相鄰的排列,可以先排其它元素,再讓不相鄰的元素插空. 6.插板法:個相同元素,分成組,每組至少一個的分組問題——把個元素排成一排,從個空中選個空,各插一個隔板,有. 7.分組、分配法:分組問題(分成幾堆,無序).有等分、不等分、部分等分之別.一般地平均分成堆(組),必須除以!,如果有堆(組)元素個數(shù)相等,必須除以! 8.錯位法:編號為1至的個小球放入編號為1到的個盒子里,每個盒子放一個小球,要求小球與盒子的編號都不同,這種排列稱為錯位排列,特別當,3,4,5時的錯位數(shù)各為1,2,9,44.關(guān)于5、6、7個元素的錯位排列的計算,可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題. 1.排列與組合應用題,主要考查有附加條件的應用問題,解決此類問題通常有三種途徑: ①元素分析法:以元素為主,應先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素; ②位置分析法:以位置為主考慮,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置; ③間接法:先不考慮附加條件,計算出排列或組合數(shù),再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù). 求解時應注意先把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題;再通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理;然后分析題目條件,避免“選取”時重復和遺漏;最后列出式子計算作答. 2.具體的解題策略有: ①對特殊元素進行優(yōu)先安排; ②理解題意后進行合理和準確分類,分類后要驗證是否不重不漏; ③對于抽出部分元素進行排列的問題一般是先選后排,以防出現(xiàn)重復; ④對于元素相鄰的條件,采取捆綁法;對于元素間隔排列的問題,采取插空法或隔板法; ⑤順序固定的問題用除法處理;分幾排的問題可以轉(zhuǎn)化為直排問題處理; ⑥對于正面考慮太復雜的問題,可以考慮反面. ⑦對于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題,需要構(gòu)造模型. 典例分析 分堆問題 【例1】 本不同的書,按照以下要求處理,各有幾種分法? ⑴ 一堆一本,一堆兩本,一堆三本; ⑵ 甲得一本,乙得兩本,丙得三本; ⑶ 一人得一本,一人得二本,一人得三本; ⑷ 平均分給甲、乙、丙三人; ⑸ 平均分成三堆. 【例2】 有6本不同的書 ⑴甲、乙、丙3人每人2本,有多少種不同的分法? ⑵分成3堆,每堆2本,有多少種不同的分堆方法? ⑶分成3堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本,有多少種不同的分堆方法? ⑷分給甲、乙、丙3人,一人1本,一人2本,一人3本,有多少不同的分配方法? ⑸分給甲1本、乙1本、丙4本,有多少種不同的分配方法? ⑹分成3堆,有2堆各一本,另一堆4本,有多少種不同的分堆方法? ⑺擺在3層書架上,每層2本,有多少種不同的擺法? 【例3】 七個人參加義務勞動,按下列方法分組有多少種不同的分法? ⑴選出5個人再分成兩組,一組2人,另一組3人; ⑵選出6個人,分成兩組,每組都是3人; ⑶選出2人一組、3人一組,輪流挖土、運土. 【例4】 將名大學生分配到個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官,每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名,則不同的分配方案有 種(用數(shù)字作答). 【例5】 把一同排6張座位編號為的電影票全部分給4個人,每人至少分1張,至多分2張,且這兩張票具有連續(xù)的編號,那么不同的分法種數(shù)是 ( ) A. B. C. D. 【例6】 現(xiàn)有3輛公交車、3 位司機和3位售票員,每輛車上需配1位司機和1位售票員,問車輛、司機、售票員搭配方案一共有多少種? 【例7】 3名醫(yī)生和6名護士被分配到3所學校為學生體檢,每校分配1名醫(yī)生和2名護士,不同的分配方法共有( ) A.90種 B.180種 C.270種 D.540種 【例8】 將5名志愿者分配到3個不同的奧運場館參加接待工作,每個場館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為( ) A. 540 B. 300 C. 180 D. 150 【例9】 某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐,每個班去一個工廠,每個工廠至少安排一個班,不同的安排方法共有 種.(用數(shù)字作答) 染色問題 【例10】 如圖,正五邊形中,若把頂點A、B、C、D、E染上紅、黃、綠三種顏色中的一種,使得相鄰頂點所染顏色不相同,則不同的染色方法有( ) A. 30種 B. 27種 C. 24種 D. 21種 【例11】 將填入的方格中,要求每行、每列都沒有重復數(shù)字,右面是一種填法,則不同的填寫方法共有____________. 【例12】 將填入的方格中,要求每行、每列都沒有重復數(shù)字,下面是一種填法,則不同的填寫方法共有( ) A.種 B.種 C.種 D.種 【例13】 用紅、黃、藍、綠四種顏色給圖中的、、、四個小方格涂色(允許只用其中幾種),使鄰區(qū)(有公共邊的小格)不同色,則不同的涂色方式種數(shù)為( ). A. B. C. D. 【例14】 將個和個共個字母填在如圖所示的個小方格內(nèi),每個小方格內(nèi)至多填個字母,若使相同字母既不同行也不同列,則不同的填法共有__________種(用數(shù)字作答). 【例15】 如圖所示、、、、為個區(qū)域,現(xiàn)備有種顏色為個區(qū)域涂色,涂色要求:每相鄰兩個區(qū)域不同色,每個區(qū)域只涂一色,共有多少種不同的涂色方法? 【例16】 如圖,用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色,每個格子涂一種顏色,要求相鄰的兩個格子顏色不同,且兩端的格子的顏色也不同,則不同的涂色方法共有種(用數(shù)字作答). 【例17】 如圖,用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色,每個格子涂一種顏色.要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同,則不同的涂色方法共有種(用數(shù)字作答). 錯位排列 【例18】 編號為的五人入座編號也為的五個座位,至多有人對號的坐法有______種. 【例19】 7個人到7個地方去旅游,甲不去A地,乙不去B地,問:共有多少種旅游方案? 【例20】 7個人到7個地方去旅游,甲不去A地,乙不去B地,丙不去C地,問:共有多少種旅游方案? 【例21】 7個人到7個地方去旅游,甲不去A地,乙不去B地,丙不去C地,丁不去D地,問:共有多少種旅游方案?- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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