2019-2020年高二數(shù)學上學期期中試卷 理（含解析）.doc

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2019-2020年高二數(shù)學上學期期中試卷 理（含解析） 一．選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．） 1．（5分）若集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q，則集合Q不可能是（） A． ? B． {y|y=x2，x∈R} C． {y|y=2x，x∈R} D． {y|y=log2x，x＞0} 2．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=n2，則其公差d等于（） A． 2 B． 4 C． 2 D． 4 3．（5分）如果方程表示雙曲線，則m的取值范圍是（） A． （2，+∞） B． （﹣2，﹣1） C． （﹣∞，﹣1） D． （1，2） 4．（5分）已知函數(shù)f（x）=，則x=1是f（x）=2成立的（） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 5．（5分）已知，，向量與垂直，則實數(shù)λ的值為（） A． ﹣ B． C． ﹣ D． 6．（5分）函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（5，f（5））處的切線方程是y=﹣x+8，則f（5）+f′（5）=（） A． B． 1 C． 2 D． 0 7．（5分）若直線過P（2，1）點且在兩坐標軸上的截距相等，則這樣的直線有幾條（） A． 1條 B． 2 條 C． 3條 D． 以上都有可能 8．（5分）一只螞蟻從正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點A處出發(fā)，經正方體的表面，按最短路線爬行到達頂點C1位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖是（） A． ①② B． ①③ C． ②④ D． ③④ 9．（5分）已知不等式組表示的平面區(qū)域M，若直線y=kx﹣3k與平面區(qū)域M有公共點，則k的取值范圍是（） A． B． （﹣∞，] C． （0，] D． （﹣∞，﹣] 10．（5分）已知拋物線y2=2px（p＞1）的焦點F恰為雙曲線=1（a＞0，b＞0）的右焦點，且兩曲線的交點連線過點F，則雙曲線的離心率為（） A． B． C． 2 D． 11．（5分）過雙曲線右焦點F作一條直線，當直線斜率為2時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當直線斜率為3時，直線與雙曲線右支有兩個不同交點，則雙曲線離心率的取值范圍為（） A． B． C． D． 12．（5分）若函數(shù)f（x）=﹣eax（a＞0，b＞0）的圖象在x=0處的切線與圓x2+y2=1相切，則a+b的最大值是（） A． 4 B． 2 C． 2 D． 二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填入答題紙相應位置） 13．（5分）橢圓+=1的半焦距是． 14．（5分）設p：|2x+1|＜m（m＞0），，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為． 15．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90，AC=AA1=2，AB=2，M為BB1的中點，則B1與平面ACM的距離為． 16．（5分）下面給出的四個命題中： ①以拋物線y2=4x的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為（x﹣1）2+y2=1； ②若m=﹣2，則直線（m+2）x+my+1=0與直線（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直； ③命題“?x∈R，使得x2+3x+4=0”的否定是“?x∈R，都有x2+3x+4≠0”； ④將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象． 其中是真命題的有（將你認為正確的序號都填上）． 三、解答題（共6小題，共70分；要求寫出必要的文字說明，解題過程和演算步驟） 17．（10分）如圖，已知直線l1：x+y﹣1=0以及l(fā)1上一點P（﹣2，3），直線l2：4x+y=0，求圓心在l2上且與直線l1相切于點P的圓的方程． 18．（12分）已知a＞0，設命題p：函數(shù)f（x）=sin2x﹣2cos2x+在x∈時恒成立；命題q：方程4x﹣a?2x+1+1=0有解，若p∨q是真命題，p∧q是假命題，求實數(shù)a的取值范圍． 19．（12分）已知遞增等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，且S3=2S2+1． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式； （Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足bn=2n﹣1+an（n∈N*），求{bn}的前n項和Tn． 20．（12分）在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且三角形的面積為S=accosB． （1）求角B的大小 （2）已知=4，求sinAsinC的值． 21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點． （Ⅰ）證明：BE⊥DC； （Ⅱ）求BE的長； （Ⅲ）若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值． 22．（12分）如圖，焦距為2的橢圓E的兩個頂點分別為A和B，且與共線． （Ⅰ）求橢圓E的標準方程； （Ⅱ）若直線y=kx+m與橢圓E有兩個不同的交點P和Q，且原點O總在以PQ為直徑的圓的內部，求實數(shù)m的取值范圍． 河北省衡水市冀州中學xx高二上學期期中數(shù)學試卷（理科） 參考答案與試題解析 一．選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．） 1．（5分）若集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q，則集合Q不可能是（） A． ? B． {y|y=x2，x∈R} C． {y|y=2x，x∈R} D． {y|y=log2x，x＞0} 考點： 交集及其運算． 專題： 集合． 分析： 化簡選項B，C，D，然后根據(jù)集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q分析可得集合Q不可能是{y|y=log2x，x＞0}． 解答： 解：∵{y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}， {y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}， {y|y=log2x，x＞0}=R， 且集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q， ∴集合Q不可能是{y|y=log2x，x＞0}=R． 故選：D． 點評： 本題考查了交集及其運算，考查了函數(shù)值域的求法，是基礎題． 2．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=n2，則其公差d等于（） A． 2 B． 4 C． 2 D． 4 考點： 等差數(shù)列的前n項和． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 由Sn=n2，求出a1，a2，由此能求出公差． 解答： 解：∵等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=n2， ∴a1=1，a2=4﹣1=3， ∴d=3﹣1=2． 故選：A． 點評： 本題考查公差的求法，是基礎題，解題時要認真審題． 3．（5分）如果方程表示雙曲線，則m的取值范圍是（） A． （2，+∞） B． （﹣2，﹣1） C． （﹣∞，﹣1） D． （1，2） 考點： 雙曲線的定義． 專題： 計算題． 分析： 根據(jù)雙曲線的標準方程，可得只需2+m與1+m只需異號即可，則解不等式（2+m）（1+m）＜0即可求解． 解答： 解：由題意知（2+m）（1+m）＜0， 解得﹣1＜m＜﹣1． 故λ的范圍是（﹣2，﹣1）． 故選B． 點評： 本題主要考查了雙曲線的定義，屬基礎題；解答的關鍵是根據(jù)雙曲線的標準方程建立不等關系． 4．（5分）已知函數(shù)f（x）=，則x=1是f（x）=2成立的（） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 專題： 簡易邏輯． 分析： 根據(jù)分段函數(shù)的表達式，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可． 解答： 解：當x=1時，f（x）=2，成立， 當x=﹣4時，滿足f（﹣4）=2，但x=1不成立， ∴x=1是f（x）=2成立的充分不必要條件， 故選：A． 點評： 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，比較基礎． 5．（5分）已知，，向量與垂直，則實數(shù)λ的值為（） A． ﹣ B． C． ﹣ D． 考點： 平面向量的綜合題；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系． 專題： 計算題． 分析： 先求出向量與的坐標，再利用2個向量垂直，數(shù)量積等于0，求出待定系數(shù)λ的值． 解答： 解：∵已知，，向量與垂直， ∴（）?（）=0， 即：（﹣3λ﹣1，2λ）?（﹣1，2）=0， ∴3λ+1+4λ=0，∴λ=﹣． 故選A． 點評： 本題考查兩個向量的數(shù)量積公式的應用，兩個向量垂直的性質，求得3λ+1+4λ=0，是解題的關鍵． 6．（5分）函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（5，f（5））處的切線方程是y=﹣x+8，則f（5）+f′（5）=（） A． B． 1 C． 2 D． 0 考點： 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程． 專題： 計算題；導數(shù)的綜合應用． 分析： 利用切線方程，計算f（5）、f′（5）的值，即可求得結論． 解答： 解：將x=5代入切線方程y=﹣x+8，可得y=3，即f（5）=3 ∵f′（5）=﹣1 ∴f（5）+f′（5）=3﹣1=2 故選C． 點評： 本題考查切線方程，考查學生的計算能力，屬于基礎題． 7．（5分）若直線過P（2，1）點且在兩坐標軸上的截距相等，則這樣的直線有幾條（） A． 1條 B． 2 條 C． 3條 D． 以上都有可能 考點： 直線的截距式方程． 專題： 直線與圓． 分析： 當直線過原點時，方程為 y=x，當直線不過原點時，設直線的方程為：x+y=k，把點（2，1）代入直線的方程可得k值，即得所求的直線方程． 解答： 解：當直線過原點時，方程為：y=x，即 x﹣2y=0； 當直線不過原點時，設直線的方程為：x+y=k， 把點（2，1）代入直線的方程可得 k=3， 故直線方程是 x+y﹣3=0． 綜上可得所求的直線方程為：x﹣2y=0，或 x+y﹣3=0， 故選B． 點評： 本題考查用待定系數(shù)法求直線方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，注意不要漏掉當直線過原點時的情況，屬基礎題 8．（5分）一只螞蟻從正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點A處出發(fā)，經正方體的表面，按最短路線爬行到達頂點C1位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖是（） A． ①② B． ①③ C． ②④ D． ③④ 考點： 平行投影及平行投影作圖法． 專題： 空間位置關系與距離． 分析： 本題可把正方體沿著某條棱展開到一個平面成為一個矩形，連接此時的對角線AC1即為所求最短路線． 解答： 解：由點A經正方體的表面，按最短路線爬行到達頂點C1位置，共有6種展開方式，若把平面ABA1和平面BCC1展到同一個平面內， 在矩形中連接AC1會經過BB1的中點，故此時的正視圖為②． 若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一個平面內，在矩形中連接AC1會經過CD的中點，此時正視圖會是④． 其它幾種展開方式對應的正視圖在題中沒有出現(xiàn)或者已在②④中了， 故選C 點評： 本題考查空間幾何體的展開圖與三視圖，是一道基礎題． 9．（5分）已知不等式組表示的平面區(qū)域M，若直線y=kx﹣3k與平面區(qū)域M有公共點，則k的取值范圍是（） A． B． （﹣∞，] C． （0，] D． （﹣∞，﹣] 考點： 簡單線性規(guī)劃的應用． 專題： 計算題；數(shù)形結合． 分析： 本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應用，我們要先畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，然后分析平面區(qū)域里各個角點，然后將其代入y=kx﹣3k中，求出y=kx﹣3k對應的k的端點值即可． 解答： 解：滿足約束條件的平面區(qū)域如圖示： 因為y=kx﹣3k過定點D（3，0）． 所以當y=kx﹣3k過點A（0，1）時，找到k=﹣ 當y=kx﹣3k過點B（1，0）時，對應k=0． 又因為直線y=kx﹣3k與平面區(qū)域M有公共點． 所以﹣≤k≤0． 故選A． 點評： 在解決線性規(guī)劃的小題時，我們常用“角點法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域?②求出可行域各個角點的坐標?③將坐標逐一代入目標函數(shù)?④驗證，求出最優(yōu)解． 10．（5分）已知拋物線y2=2px（p＞1）的焦點F恰為雙曲線=1（a＞0，b＞0）的右焦點，且兩曲線的交點連線過點F，則雙曲線的離心率為（） A． B． C． 2 D． 考點： 拋物線的簡單性質． 專題： 圓錐曲線的定義、性質與方程． 分析： 由于拋物線y2=2px（p＞1）的焦點F恰為雙曲線=1（a＞0，b＞0）的右焦點，可得c=．由于兩曲線的交點連線過點F，可得其中一個交點P．因此2，再利用c2﹣a2=b2即可得出． 解答： 解：∵拋物線y2=2px（p＞1）的焦點F恰為雙曲線=1（a＞0，b＞0）的右焦點， ∴c=． ∵兩曲線的交點連線過點F，∴其中一個交點． ∴2， ∴c2﹣a2=2ac， 化為e2﹣2e﹣1=0， 解得e=+1． 故選：B． 點評： 本題考查了拋物線與雙曲線的標準方程及其性質，考查了計算能力，屬于基礎題． 11．（5分）過雙曲線右焦點F作一條直線，當直線斜率為2時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當直線斜率為3時，直線與雙曲線右支有兩個不同交點，則雙曲線離心率的取值范圍為（） A． B． C． D． 考點： 雙曲線的簡單性質． 專題： 計算題． 分析： 先確定雙曲線的漸近線斜率2＜＜3，再根據(jù)，即可求得雙曲線離心率的取值范圍． 解答： 解：由題意可得雙曲線的漸近線斜率2＜＜3， ∵ ∴ ∴雙曲線離心率的取值范圍為 故選B． 點評： 本題考查雙曲線的性質，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是利用，屬于中檔題． 12．（5分）若函數(shù)f（x）=﹣eax（a＞0，b＞0）的圖象在x=0處的切線與圓x2+y2=1相切，則a+b的最大值是（） A． 4 B． 2 C． 2 D． 考點： 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程． 專題： 導數(shù)的綜合應用． 分析： 求函數(shù)的導數(shù)，求出切線方程根據(jù)直線和圓相切得到a，b的關系式，利用換元法即可得到結論． 解答： 解：函數(shù)的f（x）的導數(shù)f′（x）=， 在x=0處的切線斜率k=f′（0）=， ∵f（0）=﹣，∴切點坐標為（0，﹣）， 則在x=0處的切線方程為y+=x， 即切線方程為ax+by+1=0， ∵切線與圓x2+y2=1相切， ∴圓心到切線的距離d=， 即a2+b2=1， ∵a＞0，b＞0， ∴設a=sinx，則b=cosx，0＜x＜， 則a+b=sinx+cosx=sin（x）， ∵0＜x＜， ∴＜x＜， 即當x=時，a+b取得最大值為， 故選：D 點評： 本題主要考查導數(shù)的幾何意義，以及直線和圓的位置關系，綜合考查了換元法的應用，綜合性較強． 二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填入答題紙相應位置） 13．（5分）橢圓+=1的半焦距是3． 考點： 橢圓的簡單性質． 專題： 圓錐曲線的定義、性質與方程． 分析： 求得橢圓的a，b，由c=，即可求得c，即橢圓的半焦距． 解答： 解：橢圓+=1的a=5，b=4， c==3， 則橢圓+=1的半焦距是3． 故答案為：3． 點評： 本題考查橢圓的方程和性質，掌握橢圓的a，b，c的關系是解題的關鍵． 14．（5分）設p：|2x+1|＜m（m＞0），，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為（0，2]． 考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 專題： 探究型． 分析： 先化簡p，q，利用p是q的充分不必要條件，建立不等式關系進行求解． 解答： 解：∵m＞0，∴不等式|2x+1|＜m等價為﹣m＜2x+1＜m，解得，即p：． 由，即（x﹣1）（2x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜．即q：x＞1或x＜． ∵p是q的充分不必要條件， ∴， 解得m≤2， ∵m＞0，∴0＜m≤2， 即實數(shù)m的取值范圍為（0，2]． 故答案為：（0，2]． 點評： 本題主要考查充分條件和必要條件的應用，利用數(shù)形結合是解決此類問題的基本方法注意端點值等號的取舍問題． 15．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90，AC=AA1=2，AB=2，M為BB1的中點，則B1與平面ACM的距離為1． 考點： 點、線、面間的距離計算． 專題： 計算題；空間位置關系與距離． 分析： 根據(jù)M為BB1的中點，可得B1與平面ACM的距離等于B與平面ACM的距離，由等體積可計算B與平面ACM的距離． 解答： 解：∵M為BB1的中點， ∴B1與平面ACM的距離等于B與平面ACM的距離， ∵，∠ABC=90，AC=2，AB=2， ∴BC=2， ∵AA1=2，M為BB1的中點， ∴AM=BM=， ∴AC邊上的高為2， ∴S△MAC=?2?2=2，S△ABC=?2?2=2， 設B與平面ACM的距離為h，則 由等體積可得?2?=?2?h， ∴h=1． 故答案為：1． 點評： 本題考查點、線、面間的距離計算，考查體積計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題． 16．（5分）下面給出的四個命題中： ①以拋物線y2=4x的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為（x﹣1）2+y2=1； ②若m=﹣2，則直線（m+2）x+my+1=0與直線（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直； ③命題“?x∈R，使得x2+3x+4=0”的否定是“?x∈R，都有x2+3x+4≠0”； ④將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象． 其中是真命題的有①②③（將你認為正確的序號都填上）． 考點： 特稱命題；命題的否定；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；拋物線的簡單性質． 專題： 綜合題． 分析： ①先求拋物線是焦點為（1，0），可求圓的半徑為r=1，從而可求圓的方程 ②把m=﹣2代入兩直線方程即可檢驗直線是否垂直 ③根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題可知正確； ④函數(shù)向右平移，得到的函數(shù)為即可判斷 解答： 解：①拋物線是焦點為（1，0），圓的半徑為r=1，所以圓的方程為（x﹣1）2+y2=1，正確； ②當m=﹣2，兩直線方程為和，兩直線垂直所以正確； ③根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題可知正確； ④函數(shù)向右平移，得到的函數(shù)為，所以不正確． 所以正確的命題有①②③． 故答案為：①②③ 點評： 本題主要考查了圓的標準方程的求解，直線垂直的條件的應用，命題的否定及函數(shù)的圖象的平移等知識的綜合應用 三、解答題（共6小題，共70分；要求寫出必要的文字說明，解題過程和演算步驟） 17．（10分）如圖，已知直線l1：x+y﹣1=0以及l(fā)1上一點P（﹣2，3），直線l2：4x+y=0，求圓心在l2上且與直線l1相切于點P的圓的方程． 考點： 圓的切線方程． 專題： 計算題；數(shù)形結合；直線與圓． 分析： 設圓心為C（a，b），根據(jù)圓心在直線4x+y=0上可得b=﹣4a以及PC⊥l1可求出圓心坐標．從而得到圓的方程． 解答： 解：設圓心為C（a，b），半徑為r， ∵求圓心在直線4x+y=0上， ∴b=﹣4a． ∵直線l1 的斜率為﹣1， PC⊥l1 ∴kPC=， 解得a=﹣1，b=4． ∴圓心坐標C（﹣1，4）． 半徑r=|PC|=． ∴所求圓的方程為 （x+1）2+（y﹣4）2=2． 點評： 本題考查直線與圓相切的性質，兩點的距離公式等知識點．屬于中檔題． 18．（12分）已知a＞0，設命題p：函數(shù)f（x）=sin2x﹣2cos2x+在x∈時恒成立；命題q：方程4x﹣a?2x+1+1=0有解，若p∨q是真命題，p∧q是假命題，求實數(shù)a的取值范圍． 考點： 復合命題的真假． 專題： 計算題． 分析： 分別求得命題p、q為真時a的取值范圍，再根據(jù)復合命題真值表得：若“p或q”為真命題，“p且q”是假命題，則命題p、q一真一假，分p真q假，q真p假，求出a的范圍，再綜合． 解答： 解：∵x∈，2x∈，2x﹣∈， ∴sin（2x﹣）≥ ∴， 在x∈時恒成立 ∴命題p為真時：p：0＜a＜3 由方程4x﹣a?2x+1+1=0有解得，令t=2x 得在t∈（0，+∞）上有解， ∵t∈（0，+∞）時，t+≥2， ∴2a≥2，a≥1． ∴命題q為真時：a≥1 （1）若p真q假時，0＜a＜1； （2）若q真p假時，a≥3； 綜上：0＜a＜1或a≥3． 點評： 本題借助考查復合命題的真假判定，考查了三角函數(shù)的值域及基本不等式的應用，本題的關鍵是求命題p、q為真時a的范圍． 19．（12分）已知遞增等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，且S3=2S2+1． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式； （Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足bn=2n﹣1+an（n∈N*），求{bn}的前n項和Tn． 考點： 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式． 專題： 綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （Ⅰ）先求出公比，再求出求數(shù)列{an}的通項公式； （Ⅱ）利用分組求和，即可求{bn}的前n項和Tn． 解答： 解：（Ⅰ）設公比為q，由題意：q＞1，a1=1， 則a2=q，a3=q2， ∵S3=2S2+1，∴a1+a2+a3=2（a1+a2）+1，…（2分） 則1+q+q2=2（1+q）+1 解得：q=2或q=﹣1（舍去），…（4分） ∴an=2n﹣1…（5分） （Ⅱ）bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2n﹣1…（7分） 則=+=n2+2n﹣1…（10分） 點評： 本題考查數(shù)列的通項與求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題． 20．（12分）在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且三角形的面積為S=accosB． （1）求角B的大小 （2）已知=4，求sinAsinC的值． 考點： 正弦定理；余弦定理． 專題： 三角函數(shù)的求值． 分析： （1）根據(jù)三角形的面積，建立條件關系即可求角B的大小 （2）已知=4，根據(jù)正弦定理即可求sinAsinC的值． 解答： 解（1）在三角形ABC中，由已知可得， ∴， ∴0＜B＜π， ∴． （2）∵， ∵ 由正弦定理可得sin2B=3sinAsinC， ∵． 點評： 本題主要考查三角函數(shù)值的計算，根據(jù)三角函數(shù)的正弦定理以及三角形的面積公式是解決本題的關鍵． 21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點． （Ⅰ）證明：BE⊥DC； （Ⅱ）求BE的長； （Ⅲ）若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值． 考點： 二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關系． 專題： 空間位置關系與距離；空間角． 分析： （Ⅰ）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，求出=（0，1，1），=（2，0，0），由=0，能證明BE⊥DC． （Ⅱ）由=（0，1，1），能求出BE的長． （Ⅲ）由BF⊥AC，求出，進而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量，由此利用向量法能求出二面角F﹣AB﹣P的余弦值． 解答： （Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB， ∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸， 建立空間直角坐標系， 由題意B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0）， E（1，1，1），D（0，2，0）， =（0，1，1），=（2，0，0）， ∴=0，∴BE⊥DC． （Ⅱ）解：∵=（0，1，1）， ∴BE的長為||==． （Ⅲ）解：∵， =（2，2，0），由點F在棱PC上，設==（﹣2λ，﹣2λ，2λ），0≤λ≤1， ∴=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）， ∵BF⊥AC，∴=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得， 設平面FBA的法向量為， 則， 取c=1，得=（0，﹣3，1）， 取平面ABP的法向量=（0，1，0）， 則二面角F﹣AB﹣P的平面角滿足： cosα==， ∴二面角F﹣AB﹣P的余弦值為． 點評： 本題主要考查直線與平面、平面與平面之間的平行、垂直等位置關系，考查線線垂直、二面角的概念、求法等知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，是中檔題． 22．（12分）如圖，焦距為2的橢圓E的兩個頂點分別為A和B，且與共線． （Ⅰ）求橢圓E的標準方程； （Ⅱ）若直線y=kx+m與橢圓E有兩個不同的交點P和Q，且原點O總在以PQ為直徑的圓的內部，求實數(shù)m的取值范圍． 考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程． 專題： 綜合題． 分析： （Ⅰ）設橢圓E的標準方程為，由A（a，0）、B（0，b），知，由與共線，知，由此能求出橢圓E的標準方程． （Ⅱ）設P（x1，y1），Q（x2，y2），把直線方程y=kx+m代入橢圓方程，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，故，，△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）=16k2﹣8m2+8＞0，由此能求出實數(shù)m的取值范圍． 解答： 解：（Ⅰ）設橢圓E的標準方程為， 由已知得A（a，0）、B（0，b）， ∴， ∵與共線， ∴，又a2﹣b2=1（3分） ∴a2=2，b2=1， ∴橢圓E的標準方程為（5分） （Ⅱ）設P（x1，y1），Q（x2，y2）， 把直線方程y=kx+m代入橢圓方程， 消去y，得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0， ∴，（7分） △=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）=16k2﹣8m2+8＞0（*） （8分） ∵原點O總在以PQ為直徑的圓內， ∴，即x1x2+y1y2＜0（9分） 又 由得， 依題意且滿足（*） （11分） 故實數(shù)m的取值范圍是（12分） 點評： 本題考查橢圓參數(shù)方程的求法，考實數(shù)的取值范圍，考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．